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10. 计算：
（1）$\sqrt{12}(\sqrt{75} + 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} - \sqrt{48})$；
（2）$(3\sqrt{18} + \dfrac{1}{5}\sqrt{50} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}}) ÷ \sqrt{32}$。
（1）$\sqrt{12}(\sqrt{75} + 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} - \sqrt{48})$；
（2）$(3\sqrt{18} + \dfrac{1}{5}\sqrt{50} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}}) ÷ \sqrt{32}$。
答案
10. (1) 12 (2) 2
解析
【分析】
这两道题均属于二次根式的混合运算，解题遵循“先化简、再运算”的原则：①先把式子中所有二次根式化为最简二次根式；②有括号的先计算括号内的加减（合并同类二次根式），再计算括号外的乘除；也可根据式子特点灵活运用乘法分配律简化计算，最终结果要化为最简形式。
【解析】
（1）
方法一：先合并括号内同类二次根式再计算
先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{3}×(5\sqrt{3}+\sqrt{3}-4\sqrt{3})\\&=2\sqrt{3}×2\sqrt{3}\\&=4×3\\&=12\end{aligned}$
方法二：利用乘法分配律计算
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{12×75}+3\sqrt{12×\dfrac{1}{3}}-\sqrt{12×48}\\&=\sqrt{900}+3\sqrt{4}-\sqrt{576}\\&=30+6-24\\&=12\end{aligned}$
（2）
先化简各二次根式：$3\sqrt{18}=9\sqrt{2}$，$\dfrac{1}{5}\sqrt{50}=\sqrt{2}$，$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}\\&=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
（1）12；（2）2
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题型，核心考查二次根式的化简方法和四则运算法则，计算时先将所有根式化为最简再运算，能有效降低出错率，也可根据式子结构选择运算律简化计算过程。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于二次根式的混合运算，解题遵循“先化简、再运算”的原则：①先把式子中所有二次根式化为最简二次根式；②有括号的先计算括号内的加减（合并同类二次根式），再计算括号外的乘除；也可根据式子特点灵活运用乘法分配律简化计算，最终结果要化为最简形式。
【解析】
（1）
方法一：先合并括号内同类二次根式再计算
先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$3\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2\sqrt{3}×(5\sqrt{3}+\sqrt{3}-4\sqrt{3})\\&=2\sqrt{3}×2\sqrt{3}\\&=4×3\\&=12\end{aligned}$
方法二：利用乘法分配律计算
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{12×75}+3\sqrt{12×\dfrac{1}{3}}-\sqrt{12×48}\\&=\sqrt{900}+3\sqrt{4}-\sqrt{576}\\&=30+6-24\\&=12\end{aligned}$
（2）
先化简各二次根式：$3\sqrt{18}=9\sqrt{2}$，$\dfrac{1}{5}\sqrt{50}=\sqrt{2}$，$4\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2})÷4\sqrt{2}\\&=8\sqrt{2}÷4\sqrt{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
（1）12；（2）2
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题型，核心考查二次根式的化简方法和四则运算法则，计算时先将所有根式化为最简再运算，能有效降低出错率，也可根据式子结构选择运算律简化计算过程。
【难度系数】
0.8
11. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1×(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{4})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2$；
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=$
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1×(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{4})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2$；
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=$
$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$
（$n≥2$）.（2）利用上面所提供的解法，请化简：
答案
11. (1) $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$ (2) $\sqrt{10}-1$
解析
【分析】
第（1）问：解题核心是利用平方差公式进行分母有理化，对于分母为两个二次根式之和的分式，给分子分母同时乘分母的有理化因式（即把分母中间的加号改为减号得到的式子），可将分母化为整数，进而化简得到结果。
第（2）问：直接利用第（1）问推导的通用规律，将每一个分式拆分为两个二次根式相减的形式，拆分后中间的相邻项会相互抵消，仅剩余首尾两项，即可快速算出结果。
【解析】
（1）对$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$：
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1×(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}$
根据平方差公式计算分母：$(\sqrt{n})^2-(\sqrt{n-1})^2=n-(n-1)=1$
因此$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}（n≥2）$。
（2）待化简式为$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$，按（1）的规律拆分每一项：
原式=$(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{10}-\sqrt{9})$
中间相邻项抵消后剩余：$\sqrt{10}-1$。
【答案】
（1）$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$；（2）$\sqrt{10}-1$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题重点考查二次根式的化简技巧，掌握分母有理化的方法是解题前提，用裂项相消的思路处理多个同类分式相加的问题，能有效降低计算难度，避免繁琐的分步计算错误。
【难度系数】
0.7
第（1）问：解题核心是利用平方差公式进行分母有理化，对于分母为两个二次根式之和的分式，给分子分母同时乘分母的有理化因式（即把分母中间的加号改为减号得到的式子），可将分母化为整数，进而化简得到结果。
第（2）问：直接利用第（1）问推导的通用规律，将每一个分式拆分为两个二次根式相减的形式，拆分后中间的相邻项会相互抵消，仅剩余首尾两项，即可快速算出结果。
【解析】
（1）对$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$：
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1×(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}$
根据平方差公式计算分母：$(\sqrt{n})^2-(\sqrt{n-1})^2=n-(n-1)=1$
因此$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}（n≥2）$。
（2）待化简式为$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$，按（1）的规律拆分每一项：
原式=$(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{10}-\sqrt{9})$
中间相邻项抵消后剩余：$\sqrt{10}-1$。
【答案】
（1）$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$；（2）$\sqrt{10}-1$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题重点考查二次根式的化简技巧，掌握分母有理化的方法是解题前提，用裂项相消的思路处理多个同类分式相加的问题，能有效降低计算难度，避免繁琐的分步计算错误。
【难度系数】
0.7
