根据生活经验，我们发现：两点之间的所有连线中，最短。

线段

【分析】
这道题考查几何中的基础公理，我们可以结合生活经验思考：比如从一处到另一处，走直线（线段）比走曲线、折线更短，由此回忆两点之间连线的性质，就能得出答案。
【解析】
根据线段的基本性质：两点之间的所有连线中，线段是最短的，这是经过实践验证的几何公理，因此此处应填线段。
【答案】
线段
【知识点】
线段的性质、两点之间线段最短
【点评】
本题是基础几何概念题，结合生活经验即可轻松解答，属于对几何基本事实的直接考查。
【难度系数】
0.9

如图，用尺规作图的方法画一条线段等于线段 $ AB $：画射线 $ CM $；以为圆心，以的长为半径画弧，交射线 $ CM $ 于点 $ D $，则线段 $ CD = AB $。

点C AB

【分析】要画出等于线段AB的线段CD，需利用尺规作一条线段等于已知线段的基本方法：先确定射线的端点作为圆心，再以已知线段的长度为半径画弧，使弧与射线的交点和圆心的距离等于已知线段的长度，因此需要明确圆心和半径对应的线段。
【解析】根据尺规作线段等于已知线段的步骤：画射线CM后，应以射线的端点C为圆心，以线段AB的长为半径画弧，弧与射线CM的交点D到点C的距离就等于AB的长度，即CD=AB。
【答案】点C；AB
【知识点】尺规作图、线段相等
【点评】本题考查尺规作图中作一条线段等于已知线段的基础操作，属于作图类基础题，掌握基本作图方法即可完成解答。
【难度系数】0.8

如果一个点把一条线段分成的两条线段，那么这个点就是这条线段的中点。

相等

【分析】
本题考查线段中点的定义，解题时需紧扣线段中点的核心概念：若一个点将一条线段分成两条长度相等的线段，该点即为这条线段的中点，因此横线处应填写表示两条线段长度关系的“相等”。
【解析】
根据线段中点的定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点，所以横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
线段中点的定义
【点评】
本题为基础概念识记题，直接考查线段中点的定义，难度较低，学生只要牢记相关定义即可轻松作答。
【难度系数】
0.9

例 1 如图，已知直线 $ MN $ 表示一条公路，点 $ A $ 和点 $ B $ 均表示工厂。现要在这条公路上找一个点，使它到这两
个工厂的距离之和最短。那么，这个点应在何处？

【分析】要在公路MN上找一点，使该点到A、B两工厂的距离之和最短，依据“两点之间线段最短”的几何性质，连接A、B两点，所得线段与直线MN的交点就是满足条件的点，因为该点在MN上，且到A、B的距离和等于线段AB的长度，这是最短的距离和。
【解析】连接线段AB，线段AB与直线MN相交于点O，点O即为所求的点。
【答案】所求点为线段AB与直线MN的交点O，如图所示（对应图中，连接A、B，与MN交于O点）。
【知识点】两点之间线段最短；直线与线段的交点
【点评】本题是利用线段的基本性质解决实际的最短路径问题，属于几何基础应用，思路清晰，难度适中。
【难度系数】0.5

【变式训练 1】小王准备从 $ A $ 地出发前往 $ B $ 地。如图，导航提供的三条可选路线的长度分别为 $ 131 \mathrm{ km} $，$ 108 \mathrm{ km} $，$ 120 \mathrm{ km} $。实际上，$ A $，$ B $ 两地之间的距离为 $ 95.5 \mathrm{ km} $。导航提供的三条路线的长度都大于 $ 95.5 \mathrm{ km} $ 的原因是()


A.两点之间线段最短
B.经过两点有且只有一条直线
C.两点之间直线最短
D.两点确定一条直线

变式训练1　A

【分析】首先明确A、B两地的实际距离是两点之间线段的长度，为95.5km，导航提供的三条路线均为两点间的弯曲路径，长度都大于线段长度，结合线段的性质逐一分析选项即可得出答案。
【解析】逐一分析各选项：
选项A：两点之间线段最短，A、B两地的实际距离是两点间线段的长度，导航的路线是曲线，长度大于线段长度，符合题意；
选项B：“经过两点有且只有一条直线”描述的是直线的存在性，与路径长度无关，错误；
选项C：直线没有长度，不存在“两点之间直线最短”的说法，该表述错误；
选项D：“两点确定一条直线”描述的是确定直线的规则，与路径长度无关，错误。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】线段的性质，两点之间线段最短
【点评】本题考查线段的基础性质，属于概念类基础题，需准确区分直线与线段的相关性质，难度较低。
【难度系数】0.2

例 2 已知线段 $ AB = 12 $，直线 $ AB $ 上有一点 $ C $，且 $ BC = 6 $，点 $ M $ 是线段 $ AC $ 的中点，求线段 $ AM $ 的长度。

当点$ C $在线段$ AB $上时：

因为点$ M $是线段$ AC $的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC $。
$ AC = AB - BC = 12 - 6 = 6 $，故$ AM = \frac{1}{2}×6 = 3 $。
当点$ C $在线段$ AB $的延长线上时：

因为点$ M $是线段$ AC $的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC $。
$ AC = AB + BC = 12 + 6 = 18 $，故$ AM = \frac{1}{2}×18 = 9 $。
线段$ AM $的长度为$ 3 $或$ 9 $。

【分析】本题中，点C在直线AB上，其位置有两种可能：在线段AB上，或在线段AB的延长线上，需分情况讨论。先根据线段和差求出AC的长度，再利用线段中点的性质（中点将线段分为相等的两段，即AM=½AC），即可计算出AM的长度。
【解析】分两种情况讨论：
1. 当点$ C $在线段$ AB $上时：
因为点$ M $是线段$ AC $的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC $。
此时$ AC = AB - BC = 12 - 6 = 6 $，
因此$ AM = \frac{1}{2}×6 = 3 $。
2. 当点$ C $在线段$ AB $的延长线上时：
因为点$ M $是线段$ AC $的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC $。
此时$ AC = AB + BC = 12 + 6 = 18 $，
因此$ AM = \frac{1}{2}×18 = 9 $。
综上，线段$ AM $的长度为$ 3 $或$ 9 $。
【答案】当点$ C $在线段$ AB $上时：

因为点$ M $是线段$ AC $的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC $。
$ AC = AB - BC = 12 - 6 = 6 $，故$ AM = \frac{1}{2}×6 = 3 $。
当点$ C $在线段$ AB $的延长线上时：

因为点$ M $是线段$ AC $的中点，所以$ AM = \frac{1}{2}AC $。
$ AC = AB + BC = 12 + 6 = 18 $，故$ AM = \frac{1}{2}×18 = 9 $。
线段$ AM $的长度为$ 3 $或$ 9 $。
【知识点】线段中点、线段和差、分类讨论
【点评】本题考查线段中点的性质与线段和差的计算，关键在于明确点C在直线AB上的位置不唯一，需分情况讨论，避免漏解，是初中几何的基础题型。
【难度系数】0.6