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8. 如图，已知点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 外。
(1)根据下列语句作图：画直线 $ PA $，画射线 $ PB $，连接 $ PC $；
(2)写出图中所有的线段。
(1)根据下列语句作图：画直线 $ PA $，画射线 $ PB $，连接 $ PC $；
(2)写出图中所有的线段。
答案
8. (1)如图所示。
(2)线段 PA，线段 PB，线段 PC，线段 AC，线段 AB，线段 BC。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据直线、射线、线段的定义完成作图：直线无端点，可向两方无限延伸，故过P、A两点作直线即为直线PA；射线有1个端点，向一方无限延伸，故以P为端点、经过B方向作射线即为射线PB；连接P、C两点得到线段PC。第(2)问需根据线段的定义，找出图中所有两点间的部分，按顺序计数避免遗漏。
【解析】
(1) 作图步骤：① 过点P、A作直线，得到直线PA；② 以点P为端点，向B方向作射线，得到射线PB；③ 连接点P和点C，得到线段PC，作图结果符合要求。
(2) 按端点顺序查找线段：以A为端点的线段有AC、AB、AP；以B为端点的线段有BC、BP；以C为端点的线段有CP，整理后所有线段为PA、PB、PC、AC、AB、BC。
【答案】
(1) 作图如图所示；(2) 线段PA，线段PB，线段PC，线段AC，线段AB，线段BC。
【知识点】
直线、射线、线段作图；线段计数
【点评】
本题考查几何基本作图和线段的识别，属于基础题型，需准确掌握直线、射线、线段的定义，作图时注意端点特征，数线段时按端点逐一查找即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问需根据直线、射线、线段的定义完成作图：直线无端点，可向两方无限延伸，故过P、A两点作直线即为直线PA；射线有1个端点，向一方无限延伸，故以P为端点、经过B方向作射线即为射线PB；连接P、C两点得到线段PC。第(2)问需根据线段的定义，找出图中所有两点间的部分，按顺序计数避免遗漏。
【解析】
(1) 作图步骤：① 过点P、A作直线，得到直线PA；② 以点P为端点，向B方向作射线，得到射线PB；③ 连接点P和点C，得到线段PC，作图结果符合要求。
(2) 按端点顺序查找线段：以A为端点的线段有AC、AB、AP；以B为端点的线段有BC、BP；以C为端点的线段有CP，整理后所有线段为PA、PB、PC、AC、AB、BC。
【答案】
(1) 作图如图所示；(2) 线段PA，线段PB，线段PC，线段AC，线段AB，线段BC。
【知识点】
直线、射线、线段作图；线段计数
【点评】
本题考查几何基本作图和线段的识别，属于基础题型，需准确掌握直线、射线、线段的定义，作图时注意端点特征，数线段时按端点逐一查找即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
9. 观察下列图形，阅读图形下面的文字，并解决问题。
问题：
(1)$ 5 $ 条直线相交，最多有几个交点？
(2)$ 6 $ 条直线相交，最多有几个交点？
(3)$ n $ 条直线相交，最多有几个交点？
问题：
(1)$ 5 $ 条直线相交，最多有几个交点？
(2)$ 6 $ 条直线相交，最多有几个交点？
(3)$ n $ 条直线相交，最多有几个交点？
答案
9. 解：(1)$\frac{5×(5 - 1)}{2}=\frac{5×4}{2}=10$（个）。
(2)$\frac{6×(6 - 1)}{2}=\frac{6×5}{2}=15$（个）。
(3)$\frac{n(n - 1)}{2}$个
(2)$\frac{6×(6 - 1)}{2}=\frac{6×5}{2}=15$（个）。
(3)$\frac{n(n - 1)}{2}$个
解析
【分析】首先观察题目给出的示例：2条直线相交最多1个交点，3条直线相交最多3个交点，4条直线相交最多6个交点。我们发现核心逻辑：任意两条直线最多只有1个交点，总交点数等价于从n条直线中选2条的组合数（每两条直线确定1个不重复的交点）。接下来根据这个规律推导5条、6条、n条直线的最多交点数。
【解析】先总结已知数据的规律：
2条直线：最多交点数 = $\frac{2×(2-1)}{2}=1$
3条直线：最多交点数 = $\frac{3×(3-1)}{2}=3$
4条直线：最多交点数 = $\frac{4×(4-1)}{2}=6$
由此可得，n条直线相交时，最多交点数的公式为：每两条直线相交产生1个交点，总交点数为从n条直线中选2条的组合数，即$\frac{n(n-1)}{2}$个。
(1) 5条直线相交，最多交点数：$\frac{5×(5-1)}{2}=\frac{5×4}{2}=10$（个）
(2) 6条直线相交，最多交点数：$\frac{6×(6-1)}{2}=\frac{6×5}{2}=15$（个）
(3) n条直线相交，最多交点数：$\frac{n(n-1)}{2}$个
【答案】(1)10个；(2)15个；(3)$\frac{n(n-1)}{2}$个
【知识点】直线相交的交点规律、找规律
【点评】本题通过观察图形和已知数据归纳规律，核心是理解“每两条直线最多1个交点”的逻辑，考查学生的归纳推理能力，属于基础规律探究题。
【难度系数】0.5
【解析】先总结已知数据的规律：
2条直线：最多交点数 = $\frac{2×(2-1)}{2}=1$
3条直线：最多交点数 = $\frac{3×(3-1)}{2}=3$
4条直线：最多交点数 = $\frac{4×(4-1)}{2}=6$
由此可得，n条直线相交时，最多交点数的公式为：每两条直线相交产生1个交点，总交点数为从n条直线中选2条的组合数，即$\frac{n(n-1)}{2}$个。
(1) 5条直线相交，最多交点数：$\frac{5×(5-1)}{2}=\frac{5×4}{2}=10$（个）
(2) 6条直线相交，最多交点数：$\frac{6×(6-1)}{2}=\frac{6×5}{2}=15$（个）
(3) n条直线相交，最多交点数：$\frac{n(n-1)}{2}$个
【答案】(1)10个；(2)15个；(3)$\frac{n(n-1)}{2}$个
【知识点】直线相交的交点规律、找规律
【点评】本题通过观察图形和已知数据归纳规律，核心是理解“每两条直线最多1个交点”的逻辑，考查学生的归纳推理能力，属于基础规律探究题。
【难度系数】0.5
10. 如图，平面上有 $ T $，$ Y $，$ R $，$ S $ 四点。
(1)根据下列语句作图：
①作射线 $ TR $；
②作直线 $ TY $，$ RS $，直线 $ TY $ 与 $ RS $ 相交于点 $ M $；
③作线段 $ TS $，$ RY $，线段 $ TS $ 与 $ RY $ 相交于点 $ O $。
(2)我们可以观察到，经过图中的不在同一条直线上的 $ 4 $ 个点中的 $ 2 $ 个点，最多能画出
(3)在同一平面内，有 $ 20 $ 个不在同一条直线上的点，经过其中的 $ 2 $ 个点，一共能画出多少条线段？
(4)依据以上规律解决下列问题：
①有 $ 8 $ 支球队参加比赛，如果进行的是单循环赛(每两支球队只比赛一场)，那么需要进行多少场比赛？
②某球迷乘火车从 $ A $ 站出发，沿途经过 $ C $，$ D $，$ E $ $ 3 $ 站后到达 $ B $ 站，那么 $ A $，$ B $ 两站之间有多少种不同的票价(每两站之间的票价不一样，来回的票价一样)？车站需要准备多少种车票？
(1)根据下列语句作图：
①作射线 $ TR $；
②作直线 $ TY $，$ RS $，直线 $ TY $ 与 $ RS $ 相交于点 $ M $；
③作线段 $ TS $，$ RY $，线段 $ TS $ 与 $ RY $ 相交于点 $ O $。
(2)我们可以观察到，经过图中的不在同一条直线上的 $ 4 $ 个点中的 $ 2 $ 个点，最多能画出
6
条直线；经过不在同一条直线上的 $ 5 $ 个点中的 $ 2 $ 个点，最多能画出10
条直线。(3)在同一平面内，有 $ 20 $ 个不在同一条直线上的点，经过其中的 $ 2 $ 个点，一共能画出多少条线段？
(4)依据以上规律解决下列问题：
①有 $ 8 $ 支球队参加比赛，如果进行的是单循环赛(每两支球队只比赛一场)，那么需要进行多少场比赛？
②某球迷乘火车从 $ A $ 站出发，沿途经过 $ C $，$ D $，$ E $ $ 3 $ 站后到达 $ B $ 站，那么 $ A $，$ B $ 两站之间有多少种不同的票价(每两站之间的票价不一样，来回的票价一样)？车站需要准备多少种车票？
答案
10. 解：(1)如图所示。
(2)6 10
(3)因为每 2 个点能确定一条线段，
所以这 20 个点中的每个点都能跟剩余的 19 个点确定一条线段，
所以$\frac{20×19}{2}=190$（条），
即一共能画出 190 条线段。
(4)①因为每支球队都要跟剩余的 7 支球队进行一场比赛，且每两支球队只比赛一场，
所以$\frac{8×7}{2}=28$（场），
即需要进行 28 场比赛。
②由题意知，A，B 两站之间不同的票价一共有$\frac{5×(5 - 1)}{2}=\frac{5×4}{2}=10$（种）。
因为从 A 站到 B 站和从 B 站到 A 站的车票种类不一样，
所以需要准备的车票有$10×2 = 20$（种）。
解析
【分析】
本题分为四个部分，第(1)问是基础作图题，需依据射线、直线、线段的定义按要求画图并找到交点；第(2)问探究n个不共线的点确定直线的数量，核心是“两点确定一条直线”且无重复计数，公式为$\frac{n(n-1)}{2}$；第(3)问线段计数与直线计数逻辑一致，每两点确定1条线段；第(4)问是实际应用，单循环赛等价于线段计数，票价是两站间单向组合、车票是双向需乘2，需区分顺序问题。
【解析】
(1) 按要求作图：①以T为端点向R方向作射线TR；②过T、Y作直线TY，过R、S作直线RS，两直线交于点M；③连接T、S得线段TS，连接R、Y得线段RY，两线段交于点O，图形如参考答案所示。
(2) 对于n个不共线的点，每两点确定1条直线，无重复，数量为$\frac{n(n-1)}{2}$。当n=4时，$\frac{4×3}{2}=6$；当n=5时，$\frac{5×4}{2}=10$。
(3) 20个点中，每两点确定1条线段，总数为$\frac{20×19}{2}=190$条。
(4) ①单循环赛每两队赛1场，等价于线段计数，8支球队比赛场数为$\frac{8×7}{2}=28$场；②A、B间共5个站点，不同票价为两站间组合，共$\frac{5×4}{2}=10$种；车票是双向的，总数为$10×2=20$种。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 6；10
(3) 190条
(4) ①28场；②10种票价，20种车票
【知识点】
直线计数、线段计数、组合应用
【点评】
本题结合几何计数与实际应用，核心是理解“两点确定一条直线/线段”的原理，通过组合数公式解决重复计数问题，需注意实际问题中是否考虑顺序，难度适中，是基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
本题分为四个部分，第(1)问是基础作图题，需依据射线、直线、线段的定义按要求画图并找到交点；第(2)问探究n个不共线的点确定直线的数量，核心是“两点确定一条直线”且无重复计数，公式为$\frac{n(n-1)}{2}$；第(3)问线段计数与直线计数逻辑一致，每两点确定1条线段；第(4)问是实际应用，单循环赛等价于线段计数，票价是两站间单向组合、车票是双向需乘2，需区分顺序问题。
【解析】
(1) 按要求作图：①以T为端点向R方向作射线TR；②过T、Y作直线TY，过R、S作直线RS，两直线交于点M；③连接T、S得线段TS，连接R、Y得线段RY，两线段交于点O，图形如参考答案所示。
(2) 对于n个不共线的点，每两点确定1条直线，无重复，数量为$\frac{n(n-1)}{2}$。当n=4时，$\frac{4×3}{2}=6$；当n=5时，$\frac{5×4}{2}=10$。
(3) 20个点中，每两点确定1条线段，总数为$\frac{20×19}{2}=190$条。
(4) ①单循环赛每两队赛1场，等价于线段计数，8支球队比赛场数为$\frac{8×7}{2}=28$场；②A、B间共5个站点，不同票价为两站间组合，共$\frac{5×4}{2}=10$种；车票是双向的，总数为$10×2=20$种。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) 6；10
(3) 190条
(4) ①28场；②10种票价，20种车票
【知识点】
直线计数、线段计数、组合应用
【点评】
本题结合几何计数与实际应用，核心是理解“两点确定一条直线/线段”的原理，通过组合数公式解决重复计数问题，需注意实际问题中是否考虑顺序，难度适中，是基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
