15. （★★）如图，四边形ABCD是正方形， E是DC上一点，F是CB的延长线上的点，且 DE=BF，连接AE，AF，EF.
(1) 求证： $ △ A D E≌ △ A B F. $
(2) 若 BC=9，DE=3，求 EF的长.

15. (1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADE = ∠ABC = ∠C = 90°，AD = AB.
∴ ∠ABF = 180° - ∠ABC = 90°.
∴ ∠ADE = ∠ABF.
在△ADE和△ABF中，
{
AD=AB,
∠ADE=∠ABF,
DE=BF
}
∴ △ADE≌△ABF(SAS).
(2)
∵ △ADE≌△ABF，DE = 3，
∴ BF = DE = 3.
∵ DC = BC = 9，
∴ CF = BC + BF = 9 + 3 = 12，CE = DC - DE = 9 - 3 = 6.
在Rt△FCE中，EF = √(CF² + CE²)= √(12² + 6²)= 6√5，即EF的长为6√5.

 16. （★★★）如图，P是边长为4的正方形 ABCD的边BC上任意一点，过点B作 BG $ \bot $ AP于点G，过点C作 CE $ \bot $ AP于点E，连接BE.
(1) 如图 $ \textcircled{1} $，若P是BC的中点，求CE的长；
(2) 如图 $ \textcircled{2} $ ，当点 P在 BC边上运动时（不与点 B，C重合），求证： $ B E=\sqrt{2} ( A G-C E ). $

16. (1)当P是BC的中点时，如图:

∵ 四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴ AB = CB = 4，∠ABC = 90°.
∵ P是BC的中点，
∴ BP = CP = 1/2BC = 2.
在Rt△ABP中，AP = √(AB² + BP²)= √(4² + 2²)= 2√5.
∵ BG⊥AP，
∴ S△ABP = 1/2AP·BG = 1/2AB·BP.
∴ BG = (AB·BP)/AP = (4×2)/(2√5)= 4√5/5.
∵ BG⊥AE，CE⊥AE，
∴ ∠BGP = ∠CEP = 90°.
在△BPG和△CPE中，
{
∠BGP=∠CEP,
∠BPG=∠CPE,
BP=CP
}
∴ △BPG≌△CPE(AAS).
∴ CE = BG = 4√5/5.
(2)当点P在BC边上运动时(不与点B，C重合)，在AG上取一点F，使AF = CE，连接BF，如图:

∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = CB，∠ABC = 90°.
在Rt△ABP中，∠BAF + ∠APB = 90°.
∵ CE⊥PE，
∴ △CPE是直角三角形.
在Rt△CPE中，∠BCE + ∠CPE = 90°.
∵ ∠APB = ∠CPE，
∴ ∠BAF = ∠BCE.
在△ABF和△CBE中，
{
AB=CB,
∠BAF=∠BCE,
AF=CE
}
∴ △ABF≌△CBE(SAS).
∴ BF = BE，∠ABF = ∠CBE.
∵ ∠ABF + ∠CBF = ∠ABC = 90°，
∴ ∠CBE + ∠CBF = 90°，即∠EBF = 90°.
∵ BE = BF，
∴ △BEF是等腰直角三角形.
∵ BG⊥EF，
∴ BG = FG = EG.
在Rt△GBF中，BF = √(BG² + FG²)= √2FG.
∴ BE = √2FG.
∵ FG = AG - AF = AG - CE，
∴ BE = √2(AG - CE).