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9. （★★）如图，四边形ABCD为正方形，点 E在BD的延长线上，连接EA，EC.
(1) 求证： $ △ E A B≌ △ E C B; $
(2) 若 DC=6， $ ∠ A E C=4 5° $ ，求 DE的长.
(1) 求证： $ △ E A B≌ △ E C B; $
(2) 若 DC=6， $ ∠ A E C=4 5° $ ，求 DE的长.
答案
9. (1)
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=CB，∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC = 45°.
在△EAB和△ECB中，
{
AB=CB,
∠ABE=∠CBE,
BE=BE
}
∴ △EAB≌△ECB(SAS).
(2)由(1)知，△EAB≌△ECB.
∴ ∠BEC=∠BEA=1/2∠AEC = 1/2×45° = 22.5°.
∵ ∠BDC = 45°，
∴ ∠DCE = ∠BDC - ∠BEC = 22.5°.
∴ ∠DEC = ∠DCE = 22.5°.
∴ DE = DC = 6.
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=CB，∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC = 45°.
在△EAB和△ECB中，
{
AB=CB,
∠ABE=∠CBE,
BE=BE
}
∴ △EAB≌△ECB(SAS).
(2)由(1)知，△EAB≌△ECB.
∴ ∠BEC=∠BEA=1/2∠AEC = 1/2×45° = 22.5°.
∵ ∠BDC = 45°，
∴ ∠DCE = ∠BDC - ∠BEC = 22.5°.
∴ ∠DEC = ∠DCE = 22.5°.
∴ DE = DC = 6.
10. （★★）如图，E是正方形ABCD内一点， $ △ C D E $是等边三角形，连接EB，EA，延长 BE交边AD于点F.
(1) 求证： $ △ A D E≌ △ B C E; $
(2) 求 $ ∠ A F B $的度数.
(1) 求证： $ △ A D E≌ △ B C E; $
(2) 求 $ ∠ A F B $的度数.
答案
10. (1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD = BC，∠ADC = ∠BCD = 90°.
又
∵ △CDE是等边三角形，
∴ CE = DE，∠EDC = ∠ECD = 60°.
∴ ∠ADE = ∠BCE.
在△ADE和△BCE中，
{
AD=BC,
∠ADE=∠BCE,
DE=CE
}
∴ △ADE≌△BCE(SAS).
(2)
∵ △CDE是等边三角形，
∴ CE = CD = DE.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CD = BC.
∴ CE = BC.
∴ △CBE为等腰三角形，且顶角∠ECB = 90° - 60° = 30°.
∴ ∠EBC = 1/2×(180° - 30°) = 75°.
∵ AD//BC，
∴ ∠AFB = ∠EBC = 75°.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD = BC，∠ADC = ∠BCD = 90°.
又
∵ △CDE是等边三角形，
∴ CE = DE，∠EDC = ∠ECD = 60°.
∴ ∠ADE = ∠BCE.
在△ADE和△BCE中，
{
AD=BC,
∠ADE=∠BCE,
DE=CE
}
∴ △ADE≌△BCE(SAS).
(2)
∵ △CDE是等边三角形，
∴ CE = CD = DE.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CD = BC.
∴ CE = BC.
∴ △CBE为等腰三角形，且顶角∠ECB = 90° - 60° = 30°.
∴ ∠EBC = 1/2×(180° - 30°) = 75°.
∵ AD//BC，
∴ ∠AFB = ∠EBC = 75°.
11. （★）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为 $ S_{1}, S_{2} $的两个正方形所拼成的，且 $ S_{1}=2 5, S_{2}=1 4 4 $ ，则直角三角形的斜边 DE的长为 【 】
A.9
B.12
C.13
D.$ 8 \sqrt{2} $
A.9
B.12
C.13
D.$ 8 \sqrt{2} $
答案
11. C
12. （★）如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且 BP=BC，则 $ ∠ B P C $的度数是 ___.
答案
12. 67.5°
13. （★★）如图，以正方形 ABCD的边 AB为边向其内部作等边三角形 ABE，连接 CE， DE. 若 AB=2，则 $ △ C D E $的面积为_______.
答案
13. 2 - √3
14. （★★）如图，动点 P在正方形 ABCD内部，E为边 BC的中点，且 $ P E=C E=1. $
(1) 当 $ ∠ PCB=2 5° $时， $ ∠ P B C $的度数为 ___；
(2) 点 $ D $ 到点 $ P $ 的最小距离为 ___.
(1) 当 $ ∠ PCB=2 5° $时， $ ∠ P B C $的度数为 ___；
(2) 点 $ D $ 到点 $ P $ 的最小距离为 ___.
答案
14. (1)65° (2)√5 - 1
