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5. (2026·泰州月考)某体育用品商店出售的网球拍和网球的进价、售价如表：
某中学计划从该体育用品商店购买20副网球拍,720个网球.“双十一”期间,该商店推出了两种不同的促销方案:
方案一:每购买一副网球拍赠送15个网球;
方案二:每购买120个网球,赠送1副网球拍.
(1)分别按方案一、方案二购买,各需花费多少元?(结果用含a,b的代数式表示)
(2)若a=90,b=1,则按方案一、方案二购买,各需花费多少元?
(3)在(2)的条件下,若允许两种方案可以同时使用,该中学最少需花费
某中学计划从该体育用品商店购买20副网球拍,720个网球.“双十一”期间,该商店推出了两种不同的促销方案:
方案一:每购买一副网球拍赠送15个网球;
方案二:每购买120个网球,赠送1副网球拍.
(1)分别按方案一、方案二购买,各需花费多少元?(结果用含a,b的代数式表示)
(2)若a=90,b=1,则按方案一、方案二购买,各需花费多少元?
(3)在(2)的条件下,若允许两种方案可以同时使用,该中学最少需花费
5920
元.答案
(1)方案一:$20(100+a)+(720-20×15)(5+b)=2000+20a+420(5+b)=(4100+20a+420b)$元；
方案二:$720(5+b)+(20-\frac{720}{120})(100+a)=3600+720b+(20-6)(100+a)=3600+720b+14(100+a)=3600+720b+1400+14a=(720b+14a+5000)$元.
所以按方案一购买需花费$(4100+20a+420b)$元,按方案二购买需花费$(720b+14a+5000)$元.
(2)当$a=90,b=1$时,按方案一购买花费$4100+20a+420b=4100+20×90+420×1=6320$(元)；
按方案二购买花费$720b+14a+5000=720×1+14×90+5000=6980$(元).
所以按方案一购买需花费6320元,按方案二购买需花费6980元.
(3)5920 解析:若两种方案同时使用,则为方案三:先买480个网球,则送4副球拍,同时再买16副球拍,则送240个网球,则花费为$480×(5+b)+16×(100+a)=480×(5+1)+16×(100+90)=2880+3040=5920$(元),因为5920＜6320＜6980,所以两种方案同时购买的花费最少,为5920元.
方案二:$720(5+b)+(20-\frac{720}{120})(100+a)=3600+720b+(20-6)(100+a)=3600+720b+14(100+a)=3600+720b+1400+14a=(720b+14a+5000)$元.
所以按方案一购买需花费$(4100+20a+420b)$元,按方案二购买需花费$(720b+14a+5000)$元.
(2)当$a=90,b=1$时,按方案一购买花费$4100+20a+420b=4100+20×90+420×1=6320$(元)；
按方案二购买花费$720b+14a+5000=720×1+14×90+5000=6980$(元).
所以按方案一购买需花费6320元,按方案二购买需花费6980元.
(3)5920 解析:若两种方案同时使用,则为方案三:先买480个网球,则送4副球拍,同时再买16副球拍,则送240个网球,则花费为$480×(5+b)+16×(100+a)=480×(5+1)+16×(100+90)=2880+3040=5920$(元),因为5920＜6320＜6980,所以两种方案同时购买的花费最少,为5920元.
6. (2026·泰州期中)如图①,用四种大小不同的五个正方形和一个长方形(阴影部分)无重叠地拼成长方形ABCD,其中FG=3,最小的正方形的边长为x.
(1)$FH=$
(2)用含x的代数式表示长方形ABCD的周长,并求当$x=6$时,该周长的值.
(3)如图②,将正方形EFMD沿AD方向向右平移,得到两块阴影部分.若x为定值,则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值?若是,用含x的代数式表示该定值;若不是,请说明理由.
(1)$FH=$
2x
;$BH=$2x+3
.(用含x的代数式表示)(2)用含x的代数式表示长方形ABCD的周长,并求当$x=6$时,该周长的值.
(3)如图②,将正方形EFMD沿AD方向向右平移,得到两块阴影部分.若x为定值,则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值?若是,用含x的代数式表示该定值;若不是,请说明理由.
答案
(1)$2x$ $2x+3$ 解析:由图可知$FH=MC=2x$,$BH=HG=FH+FG=2x+3.$
(2)由(1)可知:$BH=2x+3$,$MC=2x$,所以$CH=2x+x=3x=FM=DM$,所以$BC=BH+CH=2x+3+3x=5x+3$,$CD=CM+DM=2x+3x=5x$,所以长方形$ABCD$的周长为$2(5x+3+5x)=20x+6$,当$x=6$时,则$20x+6=20×6+6=126.$
(3)是定值.如图,设正方形EFMD沿AD方向向右平移$m$,则有$AE=2x+3+m$,阴影部分②的长为$m$,宽为$MC=2x$,阴影部分①的周长为$2(2x+3+m+3x)=10x+2m+6$;阴影部分②的周长为$2(m+2x)=4x+2m$;所以它们的周长之差为$10x+2m+6-(4x+2m)=6x+6.$
7. 我们知道绝对值的几何意义为数轴上一点到原点的距离.如|5−3|表示5,3在数轴上对应的两点之间的距离,一般地,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,那么A,B之间的距离可表示为|a−b|.
(1)$|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+···+|x-50|$的最小值是
(2)$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|$的最小值为
(3)$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36$,则$x+2y+3z$的最大值为
(1)$|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+···+|x-50|$的最小值是
625
;(2)$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|$的最小值为
11
;(3)$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36$,则$x+2y+3z$的最大值为
15
,最小值为-6
.答案
(1)625 解析:根据绝对值的几何意义与奇点偶段法可知,当$x$在25~26之间时(含端点)有最小值为$|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+···+|x-50|=x-1+x-2+x-3+x-4+···+x-25+26-x+27-x+···+50-x=-1-2-3-4-···-25+26+27+···+49+50=625.$
(2)11 解析:$|a+3|+|a-2|+|a-2|+|a-4|+|a-4|+|a-4|$的几何意义为表示$a$的点分别到表示$-3,2,2,4,4,4$的点的距离之和,当$a$在2~4之间时(含端点)有最小值,此时原式=11.
一题多解 当$a$大于或等于4时,$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|=a+3+2a-4+3a-12=6a-13$,当$a=4$时,取得最小值为$6×4-13=11$;当$a$在2和4之间(不含4)时,$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|=a+3+2a-4-3a+12=11$;当$a$在-3和2之间(不含2)时,$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|=a+3-2a+4-3a+12=-4a+19$,此时无最小值;当$a＜-3$时,$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|=-a-3-2a+4-3a+12=-6a+13$,此时无最小值.综上可得,式子的最小值为11.
(3)15 -6 解析:$|x+1|+|x-2|$表示数轴上表示数$x$的点到表示$-1$和2的点的距离之和,当$x$在$-1$与2之间时(含端点),$|x+1|+|x-2|=3$,当$x$在$-1$的左侧时,$x$到2的距离大于3,当$x$在2的右侧时,$x$到$-1$的距离大于3,所以当$x$在$-1$和2之间时,$|x+1|+|x-2|$有最小值3,同理,当$y$在$-1$和2之间时,$|y-2|+|y+1|$有最小值3,当$z$在$-1$和3之间时,$|z-3|+|z+1|$有最小值4.
因为$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36$,所以各自均取最小值,当$x=-1,y=-1,z=-1$时,$x+2y+3z$的值最小,$x+2y+3z=-6$,当$x=2,y=2,z=3$时,$x+2y+3z$的值最大,$x+2y+3z=15$.综上所述,$x+2y+3z$的最大值为15,最小值为-6.
(2)11 解析:$|a+3|+|a-2|+|a-2|+|a-4|+|a-4|+|a-4|$的几何意义为表示$a$的点分别到表示$-3,2,2,4,4,4$的点的距离之和,当$a$在2~4之间时(含端点)有最小值,此时原式=11.
一题多解 当$a$大于或等于4时,$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|=a+3+2a-4+3a-12=6a-13$,当$a=4$时,取得最小值为$6×4-13=11$;当$a$在2和4之间(不含4)时,$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|=a+3+2a-4-3a+12=11$;当$a$在-3和2之间(不含2)时,$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|=a+3-2a+4-3a+12=-4a+19$,此时无最小值;当$a＜-3$时,$|a+3|+2|a-2|+3|a-4|=-a-3-2a+4-3a+12=-6a+13$,此时无最小值.综上可得,式子的最小值为11.
(3)15 -6 解析:$|x+1|+|x-2|$表示数轴上表示数$x$的点到表示$-1$和2的点的距离之和,当$x$在$-1$与2之间时(含端点),$|x+1|+|x-2|=3$,当$x$在$-1$的左侧时,$x$到2的距离大于3,当$x$在2的右侧时,$x$到$-1$的距离大于3,所以当$x$在$-1$和2之间时,$|x+1|+|x-2|$有最小值3,同理,当$y$在$-1$和2之间时,$|y-2|+|y+1|$有最小值3,当$z$在$-1$和3之间时,$|z-3|+|z+1|$有最小值4.
因为$(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36$,所以各自均取最小值,当$x=-1,y=-1,z=-1$时,$x+2y+3z$的值最小,$x+2y+3z=-6$,当$x=2,y=2,z=3$时,$x+2y+3z$的值最大,$x+2y+3z=15$.综上所述,$x+2y+3z$的最大值为15,最小值为-6.
