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8. (2026·南通期中)如果点A表示的数记为a,点B表示的数记为b,那么A,B两点间的距离可记为|a−b|.请根据上述结论,解答下列问题:
(1)在数轴上表示2与−5的点之间的距离是
(2)已知a=−3,b=1.
①若数轴上一点表示的数是x,且x满足|x−a|+|x−b|=6,则x的值为
②若点P,Q分别从点A,B同时出发,沿数轴向左运动,点P的速度为每秒2个单位长度,点Q的速度为每秒1个单位长度.同时点R从表示数9的点出发,也沿数轴向左运动,速度为每秒4个单位长度.在运动过程中,小明同学发现:m·QR+PQ的值是一个定值(QR表示以Q,R为端点的线段,PQ表示以P,Q为端点的线段),请求出所有满足条件的m的值.
(1)在数轴上表示2与−5的点之间的距离是
7
;在数轴上表示数x与2的点之间的距离用含x的代数式表示为|x-2|
.(2)已知a=−3,b=1.
①若数轴上一点表示的数是x,且x满足|x−a|+|x−b|=6,则x的值为
-4或2
;②若点P,Q分别从点A,B同时出发,沿数轴向左运动,点P的速度为每秒2个单位长度,点Q的速度为每秒1个单位长度.同时点R从表示数9的点出发,也沿数轴向左运动,速度为每秒4个单位长度.在运动过程中,小明同学发现:m·QR+PQ的值是一个定值(QR表示以Q,R为端点的线段,PQ表示以P,Q为端点的线段),请求出所有满足条件的m的值.
答案
(1)7 $|x-2|$ 解析:在数轴上表示2与-5的点之间的距离是$2-(-5)=7$;在数轴上表示数$x$与2的点之间的距离用含$x$的代数式表示为$|x-2|.$
(2)①-4或2 解析:由题意得$|x+3|+|x-1|=6$,因为$1-(-3)=4＜6$,所以$x＜-3$或$x＞1$,当$x＜-3$时,则$-x-3-x+1=6$,解得$x=-4$;当$x＞1$时,则$x+3+x-1=6$,解得$x=2$.综上,$x$的值为-4或2;
②由题意得$t$秒后,点$P$表示的数为$-3-2t$,点$Q$表示的数为$1-t$,点$R$表示的数为$9-4t$,当点$R$在点$Q$右侧时,$m·QR+PQ=m(9-4t-1+t)+(1-t+3+2t)=m(8-3t)+(4+t)=(8m+4)-(3m-1)t$,当$3m-1=0$即$m=\frac{1}{3}$时,$m·QR+PQ$的值是一个定值;
当点$R$在点$Q$左侧时,$m·QR+PQ=m(1-t-9+4t)+(1-t+3+2t)=m(3t-8)+(4+t)=(-8m+4)+(3m+1)t$,当$3m+1=0$即$m=-\frac{1}{3}$时,$m·QR+PQ$的值是一个定值.
综上,$m$的值为$\pm\frac{1}{3}.$
(2)①-4或2 解析:由题意得$|x+3|+|x-1|=6$,因为$1-(-3)=4＜6$,所以$x＜-3$或$x＞1$,当$x＜-3$时,则$-x-3-x+1=6$,解得$x=-4$;当$x＞1$时,则$x+3+x-1=6$,解得$x=2$.综上,$x$的值为-4或2;
②由题意得$t$秒后,点$P$表示的数为$-3-2t$,点$Q$表示的数为$1-t$,点$R$表示的数为$9-4t$,当点$R$在点$Q$右侧时,$m·QR+PQ=m(9-4t-1+t)+(1-t+3+2t)=m(8-3t)+(4+t)=(8m+4)-(3m-1)t$,当$3m-1=0$即$m=\frac{1}{3}$时,$m·QR+PQ$的值是一个定值;
当点$R$在点$Q$左侧时,$m·QR+PQ=m(1-t-9+4t)+(1-t+3+2t)=m(3t-8)+(4+t)=(-8m+4)+(3m+1)t$,当$3m+1=0$即$m=-\frac{1}{3}$时,$m·QR+PQ$的值是一个定值.
综上,$m$的值为$\pm\frac{1}{3}.$
9. (2025·扬州期中)数轴上点A表示-8，点B表示6，点C表示12，点D表示18.如图，将数轴在原点O和点B,C处各折一下，得到一条“折线数轴”.在折线数轴上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的“和谐距离”.例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为$|-8-18|=26$个单位长度.动点M从点A出发，以4个单位长度/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动.从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动，点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动的时间为t s.
(1)当$t=2$时，M,N两点在折线数轴上的和谐距离$|MN|$为
(2)当$t=$
(3)当$t=$
(4)当t为几时，M,O两点在折线数轴上的和谐距离与N,B两点在折线数轴上的和谐距离相等？(请写出解题过程)
(1)当$t=2$时，M,N两点在折线数轴上的和谐距离$|MN|$为
12
；(2)当$t=$
$\frac{22}{5}$
时，M,N两点在折线段O-B-C上相遇；(3)当$t=$
$\frac{18}{5}$或$\frac{26}{5}$
时，M,N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；(4)当t为几时，M,O两点在折线数轴上的和谐距离与N,B两点在折线数轴上的和谐距离相等？(请写出解题过程)
答案
(1)12 解析:当$t=2$时,点$M$表示的数是$-8+2×4=0$,点$N$表示的数是$18-3×2=12$,所以$M,N$两点在折线数轴上的和谐距离$|MN|$为$|12-0|=12.$
(2)$\frac{22}{5}$ 解析:当点$M$运动到点$O$时,$t=\frac{8}{4}=2(s)$,当点$M$运动到点$C$时,$t=\frac{8}{4}+\frac{12}{2}=8(s)$,当点$N$运动到点$C$时,$t=\frac{18-12}{3}=2(s)$,当点$N$运动到点$O$时,$t=\frac{18}{3}=6(s)$,所以当点$M,N$都运动到折线段$O-B-C$上时,$t$在2和6之间,所以点$M$表示的数为$2(t-2)=2t-4$,点$N$表示的数为$18-3t$,所以$O,M$两点间的和谐距离$|OM|=2t-4$;$C,N$两点间的和谐距离$|CN|=|18-3t-12|=3t-6$;
当$M,N$两点相遇时,$2t-4+3t-6=12$,解得$t=\frac{22}{5}.$
(3)$\frac{18}{5}$或$\frac{26}{5}$ 解析:由(2)可得当$M,N$两点相遇前相距4个单位长度,则$2t-4+3t-6+4=12$,解得$t=\frac{18}{5}$;相遇后相距4个单位长度,则$2t-4+3t-6-4=12$,解得$t=\frac{26}{5}.$
(4)当点$M$在$OA$上,即$t$在0和2之间(不含0)时,点$M$表示的数为$4t-8$,点$N$表示的数为$18-3t$,依题意得$0-(4t-8)=(18-3t)-6$,解得$t=-4$(不合题意,舍去);
当点$M$在折线段$O-B-C$上,即$t$在2和8之间(不含2)时,点$M$表示的数为$2t-4$,点$N$表示的数为$18-3t$,由题意得$2t-4=(18-3t)-6$或$2t-4=6-(18-3t)$,解得$t=\frac{16}{5}$或$t=8$;
当点$M$在$CD$上,即$t$在8和$\frac{26}{3}$之间(不含8)时,点$M$表示的数为$4(t-8)+12$,点$N$表示的数为$18-3t$,则点$N$在点$B$的左侧,依题意得$4(t-8)+12=6-(18-3t)$,解得$t=8$(不合题意,舍去).综上,当$t$为$\frac{16}{5}$或8时,$M,O$两点在折线数轴上的和谐距离与$N,B$两点在折线数轴上的和谐距离相等.
(2)$\frac{22}{5}$ 解析:当点$M$运动到点$O$时,$t=\frac{8}{4}=2(s)$,当点$M$运动到点$C$时,$t=\frac{8}{4}+\frac{12}{2}=8(s)$,当点$N$运动到点$C$时,$t=\frac{18-12}{3}=2(s)$,当点$N$运动到点$O$时,$t=\frac{18}{3}=6(s)$,所以当点$M,N$都运动到折线段$O-B-C$上时,$t$在2和6之间,所以点$M$表示的数为$2(t-2)=2t-4$,点$N$表示的数为$18-3t$,所以$O,M$两点间的和谐距离$|OM|=2t-4$;$C,N$两点间的和谐距离$|CN|=|18-3t-12|=3t-6$;
当$M,N$两点相遇时,$2t-4+3t-6=12$,解得$t=\frac{22}{5}.$
(3)$\frac{18}{5}$或$\frac{26}{5}$ 解析:由(2)可得当$M,N$两点相遇前相距4个单位长度,则$2t-4+3t-6+4=12$,解得$t=\frac{18}{5}$;相遇后相距4个单位长度,则$2t-4+3t-6-4=12$,解得$t=\frac{26}{5}.$
(4)当点$M$在$OA$上,即$t$在0和2之间(不含0)时,点$M$表示的数为$4t-8$,点$N$表示的数为$18-3t$,依题意得$0-(4t-8)=(18-3t)-6$,解得$t=-4$(不合题意,舍去);
当点$M$在折线段$O-B-C$上,即$t$在2和8之间(不含2)时,点$M$表示的数为$2t-4$,点$N$表示的数为$18-3t$,由题意得$2t-4=(18-3t)-6$或$2t-4=6-(18-3t)$,解得$t=\frac{16}{5}$或$t=8$;
当点$M$在$CD$上,即$t$在8和$\frac{26}{3}$之间(不含8)时,点$M$表示的数为$4(t-8)+12$,点$N$表示的数为$18-3t$,则点$N$在点$B$的左侧,依题意得$4(t-8)+12=6-(18-3t)$,解得$t=8$(不合题意,舍去).综上,当$t$为$\frac{16}{5}$或8时,$M,O$两点在折线数轴上的和谐距离与$N,B$两点在折线数轴上的和谐距离相等.
