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1. (2026·连云港期中)在有理数范围内,定义
一种新运算“△”: $a △ b=\begin{cases}a^2 - b&(a≥ b),\\a - b^2&(a ＜ b),\end{cases}$例如:
$3△(-2)=3^2 - (-2)=11$,则$(-4)△[4△(-4)]=$.
一种新运算“△”: $a △ b=\begin{cases}a^2 - b&(a≥ b),\\a - b^2&(a ＜ b),\end{cases}$例如:
$3△(-2)=3^2 - (-2)=11$,则$(-4)△[4△(-4)]=$.
答案
-404 解析:$(-4) △[4△(-4)] = (-4) △[4^2 - (-4)] = (-4) △20 = -4 - 20^2 = -4 - 400 = -404.$
2. (2026·苏州月考)定义:对于任意一个两位数m,如果m满足个位数字与十位数字互不相等,且都不为零,那么称这个两位数为“差数”.将一个“差数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,把原两位数与新两位数的差与9的商记为$f(m)$.例如:$m=23$,对调个位数字与十位数字得到新的两位数32,原两位数与新两位数的差为$23-32=-9$,差$-9$与9的商为$-9÷9=-1$,所以$f(23)=-1$.根据以上定义,回答下列问题:
(1)填空:①下列数中:20,58,88中,“差数”为
(2)如果一个“差数”$m$的十位数字为$x$,个位数字是$y$,则$f(m)=$
(3)如果一个“差数”$m$的十位数字为$n$,个位数字是$2n+1$,且$f(m)=-3$,请求出“差数”$m$.
(1)填空:①下列数中:20,58,88中,“差数”为
58
;②计算,$f(62)=$4
;(2)如果一个“差数”$m$的十位数字为$x$,个位数字是$y$,则$f(m)=$
x-y
(用含有$x,y$的代数式来表示).(3)如果一个“差数”$m$的十位数字为$n$,个位数字是$2n+1$,且$f(m)=-3$,请求出“差数”$m$.
答案
(1)①58 ②4 解析:①根据“差数”的定义,58是“差数”;20,88都不是“差数”.②把62的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,即为26,所以$f(62)=\frac{62-26}{9}=\frac{36}{9}=4$,即$f(62)=4.$
(2)$x-y$ 解析:因为一个“差数”$m$的十位数字为$x$,个位数字是$y$,所以这个“差数”$m=10x+y$,这个“差数”$m$的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,即为$10y+x$,$f(m)=\frac{10x+y-(10y+x)}{9}=\frac{9x-9y}{9}=x-y.$
(3)因为一个“差数”$m$的十位数字为$n$,个位数字是$2n+1$,所以“差数”$m$的值为$10n+2n+1=12n+1$,这个“差数”$m$的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,即为$10×(2n+1)+n=21n+10$,则$f(m)=\frac{12n+1-(21n+10)}{9}=\frac{-9n-9}{9}=-n-1$,因为$f(m)=-3$,所以$-3=-n-1$,所以$n=2$,所以$12n+1=12×2+1=25$,所以“差数”$m$的值为25.
(2)$x-y$ 解析:因为一个“差数”$m$的十位数字为$x$,个位数字是$y$,所以这个“差数”$m=10x+y$,这个“差数”$m$的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,即为$10y+x$,$f(m)=\frac{10x+y-(10y+x)}{9}=\frac{9x-9y}{9}=x-y.$
(3)因为一个“差数”$m$的十位数字为$n$,个位数字是$2n+1$,所以“差数”$m$的值为$10n+2n+1=12n+1$,这个“差数”$m$的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,即为$10×(2n+1)+n=21n+10$,则$f(m)=\frac{12n+1-(21n+10)}{9}=\frac{-9n-9}{9}=-n-1$,因为$f(m)=-3$,所以$-3=-n-1$,所以$n=2$,所以$12n+1=12×2+1=25$,所以“差数”$m$的值为25.
3. (2026·南京期中)已知$A=3a^2b-2ab^2+abc$，晓风错将“$2A-B$”看成“$2A+B$”，算得结果$C=4a^2b-3ab^2+4abc$。
(1)计算B的表达式。
(2)求正确的结果的表达式。
(3)晓华说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若$a=\frac{1}{8},b=\frac{1}{5}$，求(2)中代数式的值。
(1)计算B的表达式。
(2)求正确的结果的表达式。
(3)晓华说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若$a=\frac{1}{8},b=\frac{1}{5}$，求(2)中代数式的值。
答案
(1)因为$2A+B=C$,所以$B=C-2A=4a^2b-3ab^2+4abc-2(3a^2b-2ab^2+abc)=4a^2b-3ab^2+4abc-6a^2b+4ab^2-2abc=-2a^2b+ab^2+2abc.$
故$B$的表达式为$-2a^2b+ab^2+2abc.$
(2)$2A-B=2(3a^2b-2ab^2+abc)-(-2a^2b+ab^2+2abc)=6a^2b-4ab^2+2abc+2a^2b-ab^2-2abc=8a^2b-5ab^2.$故正确的结果的表达式为$8a^2b-5ab^2.$
(3)由(2)得$2A-B=8a^2b-5ab^2$,因为代数式中无字母$c$,所以其值与$c$无关是对的,将$a=\frac{1}{8},b=\frac{1}{5}$代入得$2A-B=8a^2b-5ab^2=8×(\frac{1}{8})^2×\frac{1}{5}-5×\frac{1}{8}×(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{40}-\frac{1}{40}=0.$
故$B$的表达式为$-2a^2b+ab^2+2abc.$
(2)$2A-B=2(3a^2b-2ab^2+abc)-(-2a^2b+ab^2+2abc)=6a^2b-4ab^2+2abc+2a^2b-ab^2-2abc=8a^2b-5ab^2.$故正确的结果的表达式为$8a^2b-5ab^2.$
(3)由(2)得$2A-B=8a^2b-5ab^2$,因为代数式中无字母$c$,所以其值与$c$无关是对的,将$a=\frac{1}{8},b=\frac{1}{5}$代入得$2A-B=8a^2b-5ab^2=8×(\frac{1}{8})^2×\frac{1}{5}-5×\frac{1}{8}×(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{40}-\frac{1}{40}=0.$
4. 若多项式$ M,N $满足：
$ M+2N=8xy-3x-4y-2,2M-N=xy-6x+2y+11 $.
我们可以通过添加括号求出多项式$ M $,过程如下：
$ 5M=(M+2N)+2(2M-N) $
$ =(8xy-3x-4y-2)+2(xy-6x+2y+11), $
$ =10xy-15x+20, $
则$ M=2xy-3x+4 $.
(1)请用类似的方法求出多项式$ N $；
(2)当$ x,y $互为倒数,多项式$ M $的值为0时,求此时多项式$ N $的值；
(3)当$ y=\_\_\_\_\_\_ $时,无论字母$ x $取何值,多项式$ M $的值总比多项式$ N $的值大1.
$ M+2N=8xy-3x-4y-2,2M-N=xy-6x+2y+11 $.
我们可以通过添加括号求出多项式$ M $,过程如下：
$ 5M=(M+2N)+2(2M-N) $
$ =(8xy-3x-4y-2)+2(xy-6x+2y+11), $
$ =10xy-15x+20, $
则$ M=2xy-3x+4 $.
(1)请用类似的方法求出多项式$ N $；
(2)当$ x,y $互为倒数,多项式$ M $的值为0时,求此时多项式$ N $的值；
(3)当$ y=\_\_\_\_\_\_ $时,无论字母$ x $取何值,多项式$ M $的值总比多项式$ N $的值大1.
答案
(1)因为$M+2N=8xy-3x-4y-2,2M-N=xy-6x+2y+11$,所以$5N=2(M+2N)-(2M-N)=2(8xy-3x-4y-2)-(xy-6x+2y+11)=16xy-6x-8y-4-xy+6x-2y-11=15xy-10y-15$,所以$N=3xy-2y-3.$
(2)因为$x,y$互为倒数,所以$xy=1$.又因为$M=2xy-3x+4=0$,所以$2-3x+4=0$,所以$x=2$,则$y=\frac{1}{2}$,所以$N=3xy-2y-3=3-2×\frac{1}{2}-3=-1.$
(3)$-3$ 解析:$M-N=(2xy-3x+4)-(3xy-2y-3)=2xy-3x+4-3xy+2y+3=-xy-3x+2y+7=-(3+y)x+2y+7$,因为无论字母$x$取何值,多项式$M$的值总比多项式$N$的值大1,所以$3+y=0$,解得$y=-3$,此时$-(3+y)x+2y+7=0+2×(-3)+7=1.$
(2)因为$x,y$互为倒数,所以$xy=1$.又因为$M=2xy-3x+4=0$,所以$2-3x+4=0$,所以$x=2$,则$y=\frac{1}{2}$,所以$N=3xy-2y-3=3-2×\frac{1}{2}-3=-1.$
(3)$-3$ 解析:$M-N=(2xy-3x+4)-(3xy-2y-3)=2xy-3x+4-3xy+2y+3=-xy-3x+2y+7=-(3+y)x+2y+7$,因为无论字母$x$取何值,多项式$M$的值总比多项式$N$的值大1,所以$3+y=0$,解得$y=-3$,此时$-(3+y)x+2y+7=0+2×(-3)+7=1.$
