周六,一向善于思考的亮亮在玩橡皮泥的过程中,突发奇想:如果我把这团橡皮泥捏成一个长方体,从中挖去一个正方体,那么长方体的表面积会不会发生变化呢?
亲爱的同学们,让我们一起跟着亮亮去探究吧!
提出问题
从一个长方体中挖去一个正方体,长方体的表面积会发生变化吗? 如果会,那么会发生怎样的变化呢?
猜想假设
亮亮：我猜无论从长方体的哪个位置挖去一个正方体,长方体的表面积都不会发生变化。
：真的是这样吗?先操作看看吧!
实践操作
操作①:从一个长9 cm、宽8 cm、高6 cm的长方体中挖去一个棱长2 cm的正方体。

：如果正方体的棱长变大,那么表面积变化情况和上面一样吗?
操作②:从一个长9 cm、宽8 cm、高6 cm的长方体中挖去一个最大的正方体。

得出结论

：我发现:从一个长方体中挖去一个正方体,不挖穿时,长方体的表面积有时（）,有时（）;挖穿时,长方体的表面积有时（）,有时（）,有时（）。"变"或"不变"要看具体情况,画出示意图就一目了然了。

实践操作
前面、上面 后面、左面、右面、下面 增加2个面的面积
前面 后面、左面、右面、上面、下面 增加4个面的面积
前面、上面、下面 后面、左面、右面 不变
上面、下面 前面、后面、左面、右面 增加2个面的面积
得出结论
2 增加 4 减少 2 增加 2
不变 增加 减少 不变 增加

【分析】
要判断长方体挖去正方体后表面积的变化，需从表面积的定义出发，核心是比较挖去正方体时，长方体原本失去的面的面积和新露出的面的面积：
1. 先区分“不挖穿”和“挖穿”两种大场景；
2. 不挖穿时，分顶点、棱上、面中间三种位置：在顶点挖时，失去的3个面和新露出的3个面面积相等，表面积不变；在棱上挖时，失去2个面，新露出4个面，表面积增加；在面中间挖时，失去1个面，新露出5个面，表面积增加；
3. 挖穿时，需考虑挖穿的路径和正方体大小：若挖穿后失去的面面积大于新露出的，表面积减少；若失去的和新露出的面积相等，表面积不变；若新露出的面面积更大，表面积增加。通过画图能更直观地分析面的变化情况。
【解析】
1. 不挖穿情况分析：
顶点处挖去正方体：原长方体表面减少3个正方体的面，同时新露出3个面积相等的正方体的面，总表面积不变；
棱上（非顶点）挖去正方体：原长方体表面减少2个正方体的面，新露出4个正方体的面，总表面积增加2个正方体面的面积；
面中间挖去正方体：原长方体表面减少1个正方体的面，新露出5个正方体的面，总表面积增加4个正方体面的面积。
2. 挖穿情况分析：
若挖穿后，原长方体失去的面的总面积大于新露出的面的总面积，表面积减少；
若失去的面的总面积等于新露出的面的总面积，表面积不变；
若新露出的面的总面积大于失去的面的总面积，表面积增加。
结合操作得出结论：从一个长方体中挖去一个正方体，不挖穿时，长方体的表面积有时（不变），有时（增加）；挖穿时，长方体的表面积有时（减少），有时（不变），有时（增加）。
【答案】
不变 增加 减少 不变 增加
【知识点】
长方体正方体表面积，立体图形切割的表面积变化
【点评】
本题通过实践操作探究立体图形挖取后的表面积变化，侧重考查对表面积概念的深度理解，需要学生具备较强的空间想象能力，通过分析面的增减情况判断表面积变化，有助于培养逻辑分析与动手探究能力。
【难度系数】
0.4