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14.一次函数$y_1=ax+b$与$y_2=cx+d$的图象如图所示.下列说法:①对于函数$y_1=ax+b$来说，y随x的增大而减小；②函数$y=ax+d$的图象不经过第一象限；③不等式$ax+b＞cx+d$的解集是$x＞3$；④$d-b=3(a-c)$.其中正确的有 （
A.①③
B.②③④
C.①②④
D.②③
C
）A.①③
B.②③④
C.①②④
D.②③
答案
14.C
解析
【分析】
解题时先从图像提取关键信息：一是两个一次函数的走向，可判断斜率$a、c$的正负；二是两函数交点的横坐标为3，即$x=3$时两个函数值相等。再逐一验证4个结论：①根据$y_1$的走向判断增减性；②结合$a、d$的正负判断函数$y=ax+d$经过的象限；③找$y_1$图象在$y_2$上方对应的$x$范围得到不等式解集；④利用交点处函数值相等变形验证等式是否成立。
【解析】
1. 分析结论①：$y_1=ax+b$的图象从左上向右下倾斜，说明$a＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，①正确。
2. 分析结论②：$y_2=cx+d$与$y$轴交于负半轴，因此$d＜0$，又已知$a＜0$，则函数$y=ax+d$的斜率为负、截距为负，图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，②正确。
3. 分析结论③：不等式$ax+b＞cx+d$即$y_1＞y_2$，对应图象中$y_1$在$y_2$上方的部分，观察得此时$x＜3$，即解集为$x＜3$，③错误。
4. 分析结论④：两函数交点横坐标为3，即$x=3$时$y_1=y_2$，代入得$3a+b=3c+d$，移项整理得$d-b=3(a-c)$，④正确。
综上，①②④正确，选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与不等式；一次函数的图象
【点评】
本题考查一次函数图象与性质的综合应用，核心是掌握数形结合的思想，能通过图象的走向、交点、与坐标轴的交点等信息推导函数的相关性质，属于基础的函数应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从图像提取关键信息：一是两个一次函数的走向，可判断斜率$a、c$的正负；二是两函数交点的横坐标为3，即$x=3$时两个函数值相等。再逐一验证4个结论：①根据$y_1$的走向判断增减性；②结合$a、d$的正负判断函数$y=ax+d$经过的象限；③找$y_1$图象在$y_2$上方对应的$x$范围得到不等式解集；④利用交点处函数值相等变形验证等式是否成立。
【解析】
1. 分析结论①：$y_1=ax+b$的图象从左上向右下倾斜，说明$a＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，①正确。
2. 分析结论②：$y_2=cx+d$与$y$轴交于负半轴，因此$d＜0$，又已知$a＜0$，则函数$y=ax+d$的斜率为负、截距为负，图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，②正确。
3. 分析结论③：不等式$ax+b＞cx+d$即$y_1＞y_2$，对应图象中$y_1$在$y_2$上方的部分，观察得此时$x＜3$，即解集为$x＜3$，③错误。
4. 分析结论④：两函数交点横坐标为3，即$x=3$时$y_1=y_2$，代入得$3a+b=3c+d$，移项整理得$d-b=3(a-c)$，④正确。
综上，①②④正确，选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与不等式；一次函数的图象
【点评】
本题考查一次函数图象与性质的综合应用，核心是掌握数形结合的思想，能通过图象的走向、交点、与坐标轴的交点等信息推导函数的相关性质，属于基础的函数应用类题型。
【难度系数】
0.7
15. 如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为$S_1,S_2,S_3$，若$S_3+S_2-S_1=8$，则图中阴影部分$△ BCD$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
15.2
解析
【分析】
解题时首先结合勾股定理，明确直角三角形三边与外侧三个正方形面积的对应关系：斜边对应的正方形面积等于两条直角边对应正方形面积之和。将该关系代入已知的面积等式，先求出S₂的大小，再观察阴影△BCD的底、高与正方形S₂边长的关系，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
由正方形面积等于边长的平方可知：$S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，因此$S_3 = S_1 + S_2$。
将$S_3 = S_1 + S_2$代入$S_3+S_2-S_1=8$，得：
$S_1 + S_2 + S_2 - S_1 = 8$
化简得$2S_2=8$，解得$S_2=4$。
观察图形可得：$△ BCD$的底$BD$是正方形$S_2$的边，故$BD=AB$，点$C$到$BD$所在直线的距离等于$AB$的长度，因此：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BD × AB = \frac{1}{2} AB^2 = \frac{1}{2} S_2 = \frac{1}{2} × 4 = 2$
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形面积计算结合，解题核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合图形特征找到阴影面积和正方形面积的联系，侧重考查对图形的观察分析能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合勾股定理，明确直角三角形三边与外侧三个正方形面积的对应关系：斜边对应的正方形面积等于两条直角边对应正方形面积之和。将该关系代入已知的面积等式，先求出S₂的大小，再观察阴影△BCD的底、高与正方形S₂边长的关系，即可求出阴影部分的面积。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
由正方形面积等于边长的平方可知：$S_1=AC^2$，$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，因此$S_3 = S_1 + S_2$。
将$S_3 = S_1 + S_2$代入$S_3+S_2-S_1=8$，得：
$S_1 + S_2 + S_2 - S_1 = 8$
化简得$2S_2=8$，解得$S_2=4$。
观察图形可得：$△ BCD$的底$BD$是正方形$S_2$的边，故$BD=AB$，点$C$到$BD$所在直线的距离等于$AB$的长度，因此：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BD × AB = \frac{1}{2} AB^2 = \frac{1}{2} S_2 = \frac{1}{2} × 4 = 2$
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形面积计算结合，解题核心是利用勾股定理建立三个正方形面积的等量关系，再结合图形特征找到阴影面积和正方形面积的联系，侧重考查对图形的观察分析能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
16. 如图所示,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ CAB=30°$,以线段$AB$为边在$AB$上方作等边$△ ABD$,点$F$是线段$AD$的中点,连接$CF$.
(1)若$BC=3$,求$AD$的长;
(2)求证:四边形$BCFD$是平行四边形.
(1)若$BC=3$,求$AD$的长;
(2)求证:四边形$BCFD$是平行四边形.
答案
16.解:(1)$AD$的长为6.
(2)证明:
∵$△ABD$是等边三角形,
∴$AB=AD,∠BAD=60°$.
∵点$F$是线段$AD$的中点,
∴$DF=\frac{1}{2}AD$.
在$△ABC$中,$∠ACB=90°,∠CAB=30°$,
∴$BC=\frac{1}{2}AB$.
∴$DF=BC$.
则$∠ACB+∠CAD=∠ACB+∠CAB+∠BAD=90°+30°+60°=180°$,
∴$AD//BC$.即$DF//BC$.
∴四边形$BCFD$是平行四边形.
(2)证明:
∵$△ABD$是等边三角形,
∴$AB=AD,∠BAD=60°$.
∵点$F$是线段$AD$的中点,
∴$DF=\frac{1}{2}AD$.
在$△ABC$中,$∠ACB=90°,∠CAB=30°$,
∴$BC=\frac{1}{2}AB$.
∴$DF=BC$.
则$∠ACB+∠CAD=∠ACB+∠CAB+∠BAD=90°+30°+60°=180°$,
∴$AD//BC$.即$DF//BC$.
∴四边形$BCFD$是平行四边形.
解析
【分析】
（1）求AD的长，已知△ABD是等边三角形，故AD=AB，只需先求出AB的长度即可。在Rt△ABC中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知BC的长度，可先求出AB，进而得到AD的长。
（2）要证明四边形BCFD是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先结合等边三角形性质和直角三角形30°角的性质，证明DF=BC；再通过角度计算证明AD//BC，即DF//BC，即可完成证明。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CAB=30°$，根据直角三角形的性质可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
代入$BC=3$，解得$AB=2BC=6$
$\because △ ABD$是等边三角形，等边三角形三边相等
$\therefore AD=AB=6$
(2) 证明：
$\because △ ABD$是等边三角形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=60°$，
$\because$点F是线段AD的中点，
$\therefore DF=\frac{1}{2}AD$，
在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CAB=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore DF=BC$，
又$\because ∠ CAD=∠ CAB+∠ BAD=30°+60°=90°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ CAD=90°+90°=180°$，
$\therefore AD// BC$，即$DF// BC$，
$\because DF$与$BC$平行且相等，
$\therefore$四边形$BCFD$是平行四边形。
【答案】
(1) $AD$的长为6；
(2) 四边形$BCFD$是平行四边形，证明成立。
【知识点】
直角三角形30°角性质，等边三角形性质，平行四边形判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是熟练掌握特殊三角形的边角性质，通过边角关系推导平行四边形判定所需的边的等量关系和位置关系，考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求AD的长，已知△ABD是等边三角形，故AD=AB，只需先求出AB的长度即可。在Rt△ABC中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知BC的长度，可先求出AB，进而得到AD的长。
（2）要证明四边形BCFD是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先结合等边三角形性质和直角三角形30°角的性质，证明DF=BC；再通过角度计算证明AD//BC，即DF//BC，即可完成证明。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CAB=30°$，根据直角三角形的性质可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
代入$BC=3$，解得$AB=2BC=6$
$\because △ ABD$是等边三角形，等边三角形三边相等
$\therefore AD=AB=6$
(2) 证明：
$\because △ ABD$是等边三角形，
$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=60°$，
$\because$点F是线段AD的中点，
$\therefore DF=\frac{1}{2}AD$，
在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CAB=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore DF=BC$，
又$\because ∠ CAD=∠ CAB+∠ BAD=30°+60°=90°$，
$\therefore ∠ ACB+∠ CAD=90°+90°=180°$，
$\therefore AD// BC$，即$DF// BC$，
$\because DF$与$BC$平行且相等，
$\therefore$四边形$BCFD$是平行四边形。
【答案】
(1) $AD$的长为6；
(2) 四边形$BCFD$是平行四边形，证明成立。
【知识点】
直角三角形30°角性质，等边三角形性质，平行四边形判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是熟练掌握特殊三角形的边角性质，通过边角关系推导平行四边形判定所需的边的等量关系和位置关系，考查学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
