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17.某商店计划购进一批体温枪和电子体温计共100件，体温枪的进价是41元/件，销售价是55元/件；电子体温计的进价是12元/件，销售价是15元/件.设该店购进体温枪x件，两种测温器全部销售完后获得利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该店用不超过2000元的资金一次性购进两种测温器，求x的取值范围，并说明如何进货利润最大.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该店用不超过2000元的资金一次性购进两种测温器，求x的取值范围，并说明如何进货利润最大.
答案
17.解:(1)根据题意,得$y=(55-41)x+(15-12)(100-x)=11x+300$.
答:$y$与$x$之间的函数关系式为$y=11x+300$.
(2)
∵用不超过2 000元资金一次性购进两种测温器,
∴$41x+12(100-x)≤2 000$,解得$x≤27\frac{17}{29}$.
∴$x$的取值范围是$0≤x≤27\frac{17}{29}$且$x$是整数.
在$y=11x+300$中,
∵$11＞0$,
∴$y$随$x$的增大而增大.
∴当$x=27$时,$y$取最大值,最大值为$11×27+300=597$(元),此时$100-x=100-27=73$(件).
答:$x$的取值范围是$0≤x≤27\frac{17}{29}$且$x$是整数,当购进体温枪27件,电子体温计73件时,利润最大,最大利润为597元.
答:$y$与$x$之间的函数关系式为$y=11x+300$.
(2)
∵用不超过2 000元资金一次性购进两种测温器,
∴$41x+12(100-x)≤2 000$,解得$x≤27\frac{17}{29}$.
∴$x$的取值范围是$0≤x≤27\frac{17}{29}$且$x$是整数.
在$y=11x+300$中,
∵$11＞0$,
∴$y$随$x$的增大而增大.
∴当$x=27$时,$y$取最大值,最大值为$11×27+300=597$(元),此时$100-x=100-27=73$(件).
答:$x$的取值范围是$0≤x≤27\frac{17}{29}$且$x$是整数,当购进体温枪27件,电子体温计73件时,利润最大,最大利润为597元.
解析
【分析】
(1) 求y与x的函数关系式，核心利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系：先分别算出体温枪、电子体温计的单件利润，再乘以各自的进货数量，两者求和即为总利润y，最后化简得到函数式即可。
(2) 首先根据“进货总资金不超过2000元”的限制条件，列出关于x的一元一次不等式，解不等式得到x的取值上限，结合x为非负整数的实际意义确定x的取值范围；再根据一次函数的增减性判断最值：由于一次项系数大于0，y随x的增大而增大，因此x取最大整数值时总利润最大，据此计算最优进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设购进体温枪x件，则购进电子体温计$(100-x)$件，根据总利润的计算方法得：
$\begin{aligned}y&=(55-41)x+(15-12)(100-x)\\&=14x+3(100-x)\\&=11x+300\end{aligned}$
(2) 由进货总资金不超过2000元，列不等式：
$41x+12(100-x)≤2000$
展开化简得：$29x≤800$，解得$x≤27\frac{17}{29}$
结合x为非负整数，可得x的取值范围是$0≤x≤27\frac{17}{29}$且x为整数，即$0≤x≤27$且x为整数。
在一次函数$y=11x+300$中，$11＞0$，因此y随x的增大而增大，当x取最大值27时，y取得最大值：
$y_{max}=11×27+300=597$（元）
此时电子体温计进货量为$100-27=73$（件）
【答案】
(1) $y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=11x+300}$；
(2) $x$的取值范围是$\boldsymbol{0≤x≤27\frac{17}{29}}$且x为整数，当购进体温枪27件、电子体温计73件时利润最大，最大利润为597元。
【知识点】
一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质
【点评】
本题结合生活中销售利润的实际场景命题，综合考查一次函数与一元一次不等式的应用，解题关键是准确梳理数量关系，正确列出函数关系式和不等式，再结合一次函数的增减性求解最值，是实际应用类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求y与x的函数关系式，核心利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系：先分别算出体温枪、电子体温计的单件利润，再乘以各自的进货数量，两者求和即为总利润y，最后化简得到函数式即可。
(2) 首先根据“进货总资金不超过2000元”的限制条件，列出关于x的一元一次不等式，解不等式得到x的取值上限，结合x为非负整数的实际意义确定x的取值范围；再根据一次函数的增减性判断最值：由于一次项系数大于0，y随x的增大而增大，因此x取最大整数值时总利润最大，据此计算最优进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设购进体温枪x件，则购进电子体温计$(100-x)$件，根据总利润的计算方法得：
$\begin{aligned}y&=(55-41)x+(15-12)(100-x)\\&=14x+3(100-x)\\&=11x+300\end{aligned}$
(2) 由进货总资金不超过2000元，列不等式：
$41x+12(100-x)≤2000$
展开化简得：$29x≤800$，解得$x≤27\frac{17}{29}$
结合x为非负整数，可得x的取值范围是$0≤x≤27\frac{17}{29}$且x为整数，即$0≤x≤27$且x为整数。
在一次函数$y=11x+300$中，$11＞0$，因此y随x的增大而增大，当x取最大值27时，y取得最大值：
$y_{max}=11×27+300=597$（元）
此时电子体温计进货量为$100-27=73$（件）
【答案】
(1) $y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=11x+300}$；
(2) $x$的取值范围是$\boldsymbol{0≤x≤27\frac{17}{29}}$且x为整数，当购进体温枪27件、电子体温计73件时利润最大，最大利润为597元。
【知识点】
一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用、一次函数的性质
【点评】
本题结合生活中销售利润的实际场景命题，综合考查一次函数与一元一次不等式的应用，解题关键是准确梳理数量关系，正确列出函数关系式和不等式，再结合一次函数的增减性求解最值，是实际应用类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
18. 请完成第(1)(2)题：
(1)如图甲所示是生活中常见的钟表. 请求出时针从某天中午12时至晚上12时转过的角度θ(单位:°)与转动时间t(单位:h)之间的函数关系式.
(2)如图乙所示,小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为2 cm²,容积为20 cm³的圆柱体漏刻(浮子体积忽略不计),观测并记录了水位h(单位:cm)与时间t(单位:min)之间的数据如下:
①请写出水位h与时间t之间的函数关系式,并确定自变量的取值范围；
②当h=5 cm时,求对应的时间t,并说明它表示的实际意义.
(1)如图甲所示是生活中常见的钟表. 请求出时针从某天中午12时至晚上12时转过的角度θ(单位:°)与转动时间t(单位:h)之间的函数关系式.
(2)如图乙所示,小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为2 cm²,容积为20 cm³的圆柱体漏刻(浮子体积忽略不计),观测并记录了水位h(单位:cm)与时间t(单位:min)之间的数据如下:
①请写出水位h与时间t之间的函数关系式,并确定自变量的取值范围；
②当h=5 cm时,求对应的时间t,并说明它表示的实际意义.
答案
18.解:(1)$360°÷12=30°$,所以时针每转动1 h转动30°,故$θ=30t(0≤t≤12)$.
(2)①分析表格可得,初始时,水位的高度为1 cm,时间每增加1 min,水位的高度增加0.25 cm,故水位$h$与时间$t$之间的函数关系式为$h=0.25t+1$.
因为漏刻的容积为20 cm³,底面积为2 cm²,所以漏刻的高度为$20÷2=10$(cm).
当$h=10$时,$10=0.25t+1$,解得$t=36$,所以自变量的取值范围为$0≤t≤36$.
②当$h=5$ cm时,$5=0.25t+1$,解得$t=16$.
它的实际意义:当计时时长为16 min时,漏刻水位高度为5 cm.
(2)①分析表格可得,初始时,水位的高度为1 cm,时间每增加1 min,水位的高度增加0.25 cm,故水位$h$与时间$t$之间的函数关系式为$h=0.25t+1$.
因为漏刻的容积为20 cm³,底面积为2 cm²,所以漏刻的高度为$20÷2=10$(cm).
当$h=10$时,$10=0.25t+1$,解得$t=36$,所以自变量的取值范围为$0≤t≤36$.
②当$h=5$ cm时,$5=0.25t+1$,解得$t=16$.
它的实际意义:当计时时长为16 min时,漏刻水位高度为5 cm.
解析
【分析】
(1) 要推导时针转过角度θ与时间t的函数关系，首先需明确时针的转动速度：钟表一圈为360°，时针转完整一圈需要12小时，先计算时针每小时转过的角度，再根据“总转动角度=单位时间转动角度×转动时间”写出关系式，最后结合“从中午12时至晚上12时”的时间限制确定t的取值范围。
(2) ①观察水位和时间的变化规律可知二者是一次函数关系：先确定t=0时的初始水位，再计算每分钟水位上升的高度，即可写出函数解析式；再根据漏刻的容积和底面积计算漏刻的最大水位，将最大水位代入解析式求出最长计时时间，即可确定自变量t的取值范围。②将h=5代入已求出的函数解析式求解t，再结合漏刻的计时功能解释实际意义即可。
【解析】
(1) 时针转一圈（360°）需要12小时，因此时针每小时转过的角度为：$360°÷12=30°$。
根据总转动角度的计算逻辑可得$θ=30t$，结合计时范围是中午12时到晚上12时，共12小时，因此$0≤t≤12$，最终函数关系式为$θ=30t(0≤t≤12)$。
(2) ①根据观测数据可知，初始时刻（$t=0$）水位高度为1cm，时间每增加1min，水位升高0.25cm，因此水位h与时间t的函数关系式为$h=0.25t+1$。
已知圆柱体漏刻底面积为$2\mathrm{cm}^2$，容积为$20\mathrm{cm}^3$，因此漏刻的最大高度为：$20÷2=10(\mathrm{cm})$。
当水位达到最大高度10cm时，代入解析式得：$10=0.25t+1$，解得$t=36$，因此自变量t的取值范围为$0≤t≤36$。
②将$h=5\mathrm{cm}$代入函数解析式$h=0.25t+1$，得：
$5=0.25t+1$
移项计算得$0.25t=4$，解得$t=16$。
实际意义：当计时时长为16min时，漏刻的水位高度为5cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{θ=30t(0≤ t≤12)}$
(2) ①$\boldsymbol{h=0.25t+1(0≤ t≤36)}$；②$\boldsymbol{t=16}$，实际意义为当计时时长为16min时，漏刻水位高度为5cm
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 自变量取值范围确定
3. 钟面角度计算
【点评】
本题结合生活中常见的钟表、漏刻计时场景考查函数的实际应用，解题核心是找准变量之间的数量关系，同时要注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，题目贴合生活实际，能有效锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 要推导时针转过角度θ与时间t的函数关系，首先需明确时针的转动速度：钟表一圈为360°，时针转完整一圈需要12小时，先计算时针每小时转过的角度，再根据“总转动角度=单位时间转动角度×转动时间”写出关系式，最后结合“从中午12时至晚上12时”的时间限制确定t的取值范围。
(2) ①观察水位和时间的变化规律可知二者是一次函数关系：先确定t=0时的初始水位，再计算每分钟水位上升的高度，即可写出函数解析式；再根据漏刻的容积和底面积计算漏刻的最大水位，将最大水位代入解析式求出最长计时时间，即可确定自变量t的取值范围。②将h=5代入已求出的函数解析式求解t，再结合漏刻的计时功能解释实际意义即可。
【解析】
(1) 时针转一圈（360°）需要12小时，因此时针每小时转过的角度为：$360°÷12=30°$。
根据总转动角度的计算逻辑可得$θ=30t$，结合计时范围是中午12时到晚上12时，共12小时，因此$0≤t≤12$，最终函数关系式为$θ=30t(0≤t≤12)$。
(2) ①根据观测数据可知，初始时刻（$t=0$）水位高度为1cm，时间每增加1min，水位升高0.25cm，因此水位h与时间t的函数关系式为$h=0.25t+1$。
已知圆柱体漏刻底面积为$2\mathrm{cm}^2$，容积为$20\mathrm{cm}^3$，因此漏刻的最大高度为：$20÷2=10(\mathrm{cm})$。
当水位达到最大高度10cm时，代入解析式得：$10=0.25t+1$，解得$t=36$，因此自变量t的取值范围为$0≤t≤36$。
②将$h=5\mathrm{cm}$代入函数解析式$h=0.25t+1$，得：
$5=0.25t+1$
移项计算得$0.25t=4$，解得$t=16$。
实际意义：当计时时长为16min时，漏刻的水位高度为5cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{θ=30t(0≤ t≤12)}$
(2) ①$\boldsymbol{h=0.25t+1(0≤ t≤36)}$；②$\boldsymbol{t=16}$，实际意义为当计时时长为16min时，漏刻水位高度为5cm
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 自变量取值范围确定
3. 钟面角度计算
【点评】
本题结合生活中常见的钟表、漏刻计时场景考查函数的实际应用，解题核心是找准变量之间的数量关系，同时要注意结合实际场景的限制条件确定自变量的取值范围，题目贴合生活实际，能有效锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
