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10. 如图所示，已知函数$y=ax+b$和$y=kx$的图象交于点$P$，则根据图象可得，关于$\begin{cases}y=ax+b, \\ y=kx\end{cases}$的二元一次方程组的解是 ______ 。
答案
10.$\begin{cases} x=-4,\\ y=-2 \end{cases}$
解析
【分析】
解答本题的核心是明确二元一次方程组的解与对应一次函数图象交点的关系：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。解题时先从图象中读取两个函数交点的横、纵坐标，即可直接得到方程组的解。
【解析】
二元一次方程组的解就是组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标，交点的横坐标对应方程组中x的值，纵坐标对应方程组中y的值。
由题图可知，函数$y=ax+b$和$y=kx$的图象交于点$P$，$P$点的坐标为$(-4,-2)$，因此该二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=-4,\\ y=-2 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=-4,\\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题，考查对一次函数与二元一次方程组联系的掌握，解题关键是理解两个一次函数的交点坐标就是对应方程组的解，只需准确读取图象中交点的坐标即可得到答案。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是明确二元一次方程组的解与对应一次函数图象交点的关系：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。解题时先从图象中读取两个函数交点的横、纵坐标，即可直接得到方程组的解。
【解析】
二元一次方程组的解就是组成方程组的两个一次函数图象的交点坐标，交点的横坐标对应方程组中x的值，纵坐标对应方程组中y的值。
由题图可知，函数$y=ax+b$和$y=kx$的图象交于点$P$，$P$点的坐标为$(-4,-2)$，因此该二元一次方程组的解为$\begin{cases} x=-4,\\ y=-2 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=-4,\\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题，考查对一次函数与二元一次方程组联系的掌握，解题关键是理解两个一次函数的交点坐标就是对应方程组的解，只需准确读取图象中交点的坐标即可得到答案。
【难度系数】
0.9
11.已知$y$与$x+1$成正比例关系，且当$x=2$时，$y=3$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x=-3$时，求$y$的值.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x=-3$时，求$y$的值.
答案
11.解:(1)
∵$y$与$x+1$成正比例关系,
∴设$y$关于$x+1$的函数解析式为$y=k(x+1)(k≠0)$.
∵当$x=2$时,$y=3$,
∴$3=3k$.解得$k=1$.
∴$y=x+1$.
(2)当$x=-3$时,$y=-3+1=-2$.
∵$y$与$x+1$成正比例关系,
∴设$y$关于$x+1$的函数解析式为$y=k(x+1)(k≠0)$.
∵当$x=2$时,$y=3$,
∴$3=3k$.解得$k=1$.
∴$y=x+1$.
(2)当$x=-3$时,$y=-3+1=-2$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问的核心是掌握正比例关系的定义：若两个量a、b成正比例，则可设a=kb（k为常数，且k≠0）。题目中y与x+1成正比例，因此可以把x+1看作整体，设y=k(x+1)（k≠0），再将已知的x=2、y=3代入式子，即可求出k的值，整理后得到y关于x的函数解析式。
(2) 第二问是求函数值的基础题型，只需将x=-3直接代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到y的值。
【解析】
(1)
∵y与x+1成正比例关系，
∴设y与x+1的函数关系式为$y=k(x+1)\ (k≠0)$，
把$x=2，y=3$代入关系式得：$3=k×(2+1)$，即$3=3k$，
解得$k=1$，
∴y关于x的函数解析式为$y=x+1$。
(2) 把$x=-3$代入$y=x+1$中，得：$y=-3+1=-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x+1}$
(2) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
正比例的定义，待定系数法求解析式，求函数值
【点评】
本题是函数板块的基础题型，重点考查对正比例关系的理解以及待定系数法的运用，解题的关键是正确理解“y与x+1成正比例”的含义，学会整体代入设出函数关系式，掌握该类题型的解法可为后续学习一次函数打下良好基础。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问的核心是掌握正比例关系的定义：若两个量a、b成正比例，则可设a=kb（k为常数，且k≠0）。题目中y与x+1成正比例，因此可以把x+1看作整体，设y=k(x+1)（k≠0），再将已知的x=2、y=3代入式子，即可求出k的值，整理后得到y关于x的函数解析式。
(2) 第二问是求函数值的基础题型，只需将x=-3直接代入第一问求出的函数解析式，计算即可得到y的值。
【解析】
(1)
∵y与x+1成正比例关系，
∴设y与x+1的函数关系式为$y=k(x+1)\ (k≠0)$，
把$x=2，y=3$代入关系式得：$3=k×(2+1)$，即$3=3k$，
解得$k=1$，
∴y关于x的函数解析式为$y=x+1$。
(2) 把$x=-3$代入$y=x+1$中，得：$y=-3+1=-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x+1}$
(2) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
正比例的定义，待定系数法求解析式，求函数值
【点评】
本题是函数板块的基础题型，重点考查对正比例关系的理解以及待定系数法的运用，解题的关键是正确理解“y与x+1成正比例”的含义，学会整体代入设出函数关系式，掌握该类题型的解法可为后续学习一次函数打下良好基础。
【难度系数】
0.8
12. 如图所示，在四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=2√5，AC⊥BC。求证：AD//BC。
答案
12. 证明:
∵$AB=5,BC=3,AC⊥BC$,
∴$AC=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵$CD=6,AD=2\sqrt{5}$,
∴$CD^2=AC^2+AD^2=36$.
∴$△ACD$是直角三角形.
∴$∠DAC=∠ACB=90°$.
∴$AD//BC$.
∵$AB=5,BC=3,AC⊥BC$,
∴$AC=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵$CD=6,AD=2\sqrt{5}$,
∴$CD^2=AC^2+AD^2=36$.
∴$△ACD$是直角三角形.
∴$∠DAC=∠ACB=90°$.
∴$AD//BC$.
解析
【分析】
要证明AD//BC，已知AC⊥BC，因此只需证明AC⊥AD，即∠DAC=90°即可。第一步先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长度；第二步将AC的长度代入△ACD的边长关系中，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若∠DAC是直角，可得∠DAC=∠ACB=90°，根据内错角相等两直线平行即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$AB=5,BC=3,AC⊥BC$,
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵$CD=6,AD=2\sqrt{5}$,
∴$AC^2+AD^2=4^2+(2\sqrt{5})^2=16+20=36$，$CD^2=6^2=36$，即$CD^2=AC^2+AD^2$。
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°。
∴$∠DAC=∠ACB=90°$。
∴$AD//BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明:
∵$AB=5,BC=3,AC⊥BC$,
∴$AC=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵$CD=6,AD=2\sqrt{5}$,
∴$CD^2=AC^2+AD^2=36$.
∴$△ACD$是直角三角形.
∴$∠DAC=∠ACB=90°$.
∴$AD//BC$.
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过勾股定理求出公共边AC的长度，再借助勾股定理逆定理得到相等的直角，最终用平行线判定定理得出结论，能有效考查学生的逻辑推理能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明AD//BC，已知AC⊥BC，因此只需证明AC⊥AD，即∠DAC=90°即可。第一步先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长度；第二步将AC的长度代入△ACD的边长关系中，用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若∠DAC是直角，可得∠DAC=∠ACB=90°，根据内错角相等两直线平行即可完成证明。
【解析】
证明：
∵$AB=5,BC=3,AC⊥BC$,
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
∵$CD=6,AD=2\sqrt{5}$,
∴$AC^2+AD^2=4^2+(2\sqrt{5})^2=16+20=36$，$CD^2=6^2=36$，即$CD^2=AC^2+AD^2$。
∴△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°。
∴$∠DAC=∠ACB=90°$。
∴$AD//BC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
证明:
∵$AB=5,BC=3,AC⊥BC$,
∴$AC=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵$CD=6,AD=2\sqrt{5}$,
∴$CD^2=AC^2+AD^2=36$.
∴$△ACD$是直角三角形.
∴$∠DAC=∠ACB=90°$.
∴$AD//BC$.
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过勾股定理求出公共边AC的长度，再借助勾股定理逆定理得到相等的直角，最终用平行线判定定理得出结论，能有效考查学生的逻辑推理能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
13.如图所示，长方形ABCD的边AB在x轴上，点A，B关于y轴对称，点D的坐标为(-2,3)，求直线AC的解析式. 
答案
13.解:
∵四边形$ABCD$为长方形,且点$D$的坐标为$(-2,3)$,点$A,B$关于$y$轴对称,
∴$A(-2,0),C(2,3)$.
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$,
将$(-2,0),(2,3)$代入,得$\begin{cases} 0=-2k+b,\\ 3=2k+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{3}{4},\\ b=\frac{3}{2}, \end{cases}$即直线$AC$的解析式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$.
∵四边形$ABCD$为长方形,且点$D$的坐标为$(-2,3)$,点$A,B$关于$y$轴对称,
∴$A(-2,0),C(2,3)$.
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$,
将$(-2,0),(2,3)$代入,得$\begin{cases} 0=-2k+b,\\ 3=2k+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{3}{4},\\ b=\frac{3}{2}, \end{cases}$即直线$AC$的解析式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
要求直线AC的解析式，需使用待定系数法，因此要先确定直线AC上两个点的坐标。首先根据长方形的性质，AB在x轴上，点D坐标为(-2,3)，可得点A的纵坐标为0、横坐标与D相同，先求出A点坐标；再结合A、B关于y轴对称，得到B点坐标，而点C的横坐标与B相同、纵坐标与D相同，即可求出C点坐标；最后将A、C两点坐标代入一次函数一般式，解方程组求出系数即可得到解析式。
【解析】
解：
∵四边形ABCD为长方形，AB在x轴上，点D的坐标为(-2,3)，
∴AD垂直于x轴，点A的坐标为(-2,0)，
又
∵点A，B关于y轴对称，
∴点B的坐标为(2,0)，
∵BC垂直于x轴，BC=AD=3，
∴点C的坐标为(2,3)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，
将$A(-2,0)$、$C(2,3)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 0=-2k+b\\ 3=2k+b \end{cases}$
两式相加得$3=2b$，解得$b=\frac{3}{2}$，
将$b=\frac{3}{2}$代入$0=-2k+b$，得$0=-2k+\frac{3}{2}$，解得$k=\frac{3}{4}$，
即方程组的解为$\begin{cases} k=\frac{3}{4}\\ b=\frac{3}{2} \end{cases}$。
【答案】
$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与一次函数结合的基础题，解题关键是利用几何图形性质和轴对称特征准确求出点的坐标，再熟练运用待定系数法求解，计算时注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.75
要求直线AC的解析式，需使用待定系数法，因此要先确定直线AC上两个点的坐标。首先根据长方形的性质，AB在x轴上，点D坐标为(-2,3)，可得点A的纵坐标为0、横坐标与D相同，先求出A点坐标；再结合A、B关于y轴对称，得到B点坐标，而点C的横坐标与B相同、纵坐标与D相同，即可求出C点坐标；最后将A、C两点坐标代入一次函数一般式，解方程组求出系数即可得到解析式。
【解析】
解：
∵四边形ABCD为长方形，AB在x轴上，点D的坐标为(-2,3)，
∴AD垂直于x轴，点A的坐标为(-2,0)，
又
∵点A，B关于y轴对称，
∴点B的坐标为(2,0)，
∵BC垂直于x轴，BC=AD=3，
∴点C的坐标为(2,3)。
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，
将$A(-2,0)$、$C(2,3)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 0=-2k+b\\ 3=2k+b \end{cases}$
两式相加得$3=2b$，解得$b=\frac{3}{2}$，
将$b=\frac{3}{2}$代入$0=-2k+b$，得$0=-2k+\frac{3}{2}$，解得$k=\frac{3}{4}$，
即方程组的解为$\begin{cases} k=\frac{3}{4}\\ b=\frac{3}{2} \end{cases}$。
【答案】
$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系与一次函数结合的基础题，解题关键是利用几何图形性质和轴对称特征准确求出点的坐标，再熟练运用待定系数法求解，计算时注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.75
