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1.(2025·烟台期末)一项工作,甲单独做8小时完成,乙单独做6小时完成,现在先由甲单独做2小时,剩下的由甲、乙合作,还需几小时完成?若设剩下的工作还需x小时完成,则下列方程正确的是
（
A.$\frac{2}{8}+\frac{x}{8}+\frac{x}{6}=1$
B.$\frac{2}{8}-\frac{x}{8}+\frac{x}{6}=1$
C.$\frac{2}{8}+\frac{x}{8}-\frac{x}{6}=1$
D.$\frac{2}{8}-\frac{x}{8}-\frac{x}{6}=1$
（
A
）A.$\frac{2}{8}+\frac{x}{8}+\frac{x}{6}=1$
B.$\frac{2}{8}-\frac{x}{8}+\frac{x}{6}=1$
C.$\frac{2}{8}+\frac{x}{8}-\frac{x}{6}=1$
D.$\frac{2}{8}-\frac{x}{8}-\frac{x}{6}=1$
答案
1.A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确工程问题的基本思路：将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷工作时间。首先分别求出甲、乙的工作效率，再根据“甲先做2小时的工作量+甲合作x小时的工作量+乙合作x小时的工作量=总工作量1”的等量关系列方程，再对应选项判断即可。
【解析】
把这项工作的总工作量看作单位“1”：
1. 求工作效率：甲单独做8小时完成，甲的工作效率为$\frac{1}{8}$；乙单独做6小时完成，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
2. 计算各部分工作量：甲先单独做2小时，完成的工作量为$\frac{2}{8}$；剩下的x小时甲乙合作，甲在合作阶段完成的工作量为$\frac{x}{8}$，乙在合作阶段完成的工作量为$\frac{x}{6}$。
3. 列方程：总工作量为1，因此各部分工作量之和等于总工作量，可得方程$\frac{2}{8}+\frac{x}{8}+\frac{x}{6}=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程类方程应用的基础题型，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理不同阶段的工作量，抓住“总工作量等于各部分工作量之和”的等量关系列式即可。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确工程问题的基本思路：将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷工作时间。首先分别求出甲、乙的工作效率，再根据“甲先做2小时的工作量+甲合作x小时的工作量+乙合作x小时的工作量=总工作量1”的等量关系列方程，再对应选项判断即可。
【解析】
把这项工作的总工作量看作单位“1”：
1. 求工作效率：甲单独做8小时完成，甲的工作效率为$\frac{1}{8}$；乙单独做6小时完成，乙的工作效率为$\frac{1}{6}$。
2. 计算各部分工作量：甲先单独做2小时，完成的工作量为$\frac{2}{8}$；剩下的x小时甲乙合作，甲在合作阶段完成的工作量为$\frac{x}{8}$，乙在合作阶段完成的工作量为$\frac{x}{6}$。
3. 列方程：总工作量为1，因此各部分工作量之和等于总工作量，可得方程$\frac{2}{8}+\frac{x}{8}+\frac{x}{6}=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程类方程应用的基础题型，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理不同阶段的工作量，抓住“总工作量等于各部分工作量之和”的等量关系列式即可。
【难度系数】
0.8
2.(2025·镇平县期末)甲、乙两人检修一条长 600 m 的密封管道,甲的检修速度为 14 m/h,乙的检修速度为 12 m/h,若甲先检修 2 h,后由甲、乙两人合作完成剩余管道的检修,则甲检修管道共用的时间是 (
A.22 h
B.24 h
C.26 h
D.27 h
B
)A.22 h
B.24 h
C.26 h
D.27 h
答案
2.B
解析
【分析】
本题属于一元一次方程应用中的工作量问题，解题思路如下：首先确定核心等量关系：甲的总检修长度 + 乙的检修长度 = 管道总长度600m；我们直接设所求量甲的总检修时间为未知数，可推出乙的检修时间为甲总时间减去甲先单独检修的2小时；再根据“工作量=工作效率×工作时间”分别表示甲、乙的工作量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设甲检修管道共用的时间是$ x \, \mathrm{h} $，则乙参与检修的时间为$ (x-2) \, \mathrm{h} $。
根据总工作量等于各部分工作量之和，列方程得：
$ 14x + 12(x-2) = 600 $
去括号，得：
$ 14x + 12x - 24 = 600 $
移项、合并同类项，得：
$ 26x = 624 $
系数化为1，得：
$ x = 24 $
即甲检修管道共用的时间是24h。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用，工作量问题
【点评】
本题是典型的合作类工作量应用题，解题关键是准确把握各主体的工作时间，抓住总工作量等于各部分工作量之和的等量关系，熟练掌握列方程解应用题的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程应用中的工作量问题，解题思路如下：首先确定核心等量关系：甲的总检修长度 + 乙的检修长度 = 管道总长度600m；我们直接设所求量甲的总检修时间为未知数，可推出乙的检修时间为甲总时间减去甲先单独检修的2小时；再根据“工作量=工作效率×工作时间”分别表示甲、乙的工作量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设甲检修管道共用的时间是$ x \, \mathrm{h} $，则乙参与检修的时间为$ (x-2) \, \mathrm{h} $。
根据总工作量等于各部分工作量之和，列方程得：
$ 14x + 12(x-2) = 600 $
去括号，得：
$ 14x + 12x - 24 = 600 $
移项、合并同类项，得：
$ 26x = 624 $
系数化为1，得：
$ x = 24 $
即甲检修管道共用的时间是24h。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用，工作量问题
【点评】
本题是典型的合作类工作量应用题，解题关键是准确把握各主体的工作时间，抓住总工作量等于各部分工作量之和的等量关系，熟练掌握列方程解应用题的步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
3.一条山洞长 500 m，甲、乙两个工程队从两头同时施工，甲队每天钻山洞15 m，20天后甲、乙两队会合，则乙队每天钻山洞
10
m.答案
3.10
解析
【分析】
这是一道工程合作类应用题，解题核心是明确等量关系：甲队20天的开凿长度 + 乙队20天的开凿长度 = 山洞总长度。我们可以通过设未知数列一元一次方程求解，也可以先算出甲队的总工作量，用总长度减去甲的工作量得到乙队的总工作量，再除以工作时间得到乙队的工作效率。
【解析】
方法一（一元一次方程法）：
设乙队每天钻山洞$x$米。
根据“工作总量=工作效率×工作时间”，甲队20天的开凿长度为$15×20$米，乙队20天的开凿长度为$20x$米，两队开凿总长度等于山洞总长500米，可列方程：
$15×20 + 20x = 500$
计算得：
$300 + 20x = 500$
移项计算：
$20x = 500 - 300$
$20x = 200$
解得$x=10$
方法二（算术法）：
先计算甲队20天开凿的长度：$15×20=300$（米）
乙队20天需要开凿的长度：$500-300=200$（米）
乙队每天开凿的长度：$200÷20=10$（米）
【答案】
10
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
【点评】
本题是基础的合作类应用题，只要抓住两队工作量之和等于总工作量这一核心等量关系，就能快速解题，是对一元一次方程实际应用的基础考察。
【难度系数】
0.9
这是一道工程合作类应用题，解题核心是明确等量关系：甲队20天的开凿长度 + 乙队20天的开凿长度 = 山洞总长度。我们可以通过设未知数列一元一次方程求解，也可以先算出甲队的总工作量，用总长度减去甲的工作量得到乙队的总工作量，再除以工作时间得到乙队的工作效率。
【解析】
方法一（一元一次方程法）：
设乙队每天钻山洞$x$米。
根据“工作总量=工作效率×工作时间”，甲队20天的开凿长度为$15×20$米，乙队20天的开凿长度为$20x$米，两队开凿总长度等于山洞总长500米，可列方程：
$15×20 + 20x = 500$
计算得：
$300 + 20x = 500$
移项计算：
$20x = 500 - 300$
$20x = 200$
解得$x=10$
方法二（算术法）：
先计算甲队20天开凿的长度：$15×20=300$（米）
乙队20天需要开凿的长度：$500-300=200$（米）
乙队每天开凿的长度：$200÷20=10$（米）
【答案】
10
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
【点评】
本题是基础的合作类应用题，只要抓住两队工作量之和等于总工作量这一核心等量关系，就能快速解题，是对一元一次方程实际应用的基础考察。
【难度系数】
0.9
4.某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成.现在先由两队从两端同时施工6天,然后由甲队单独施工完成,甲队还需要
3
天.答案
4.3
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成总工作量的时间”先分别求出甲、乙两队的工作效率。接着梳理工作量的构成：总工作量等于两队同时施工6天的工作量加上甲队单独施工的工作量，据此设未知数列方程即可求解。
【解析】
解：设甲队还需要$x$天完成剩余工程。
把总工作量看作单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{18}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{12}$。
根据总工作量为1，列方程：
$6×(\frac{1}{18}+\frac{1}{12}) + \frac{1}{18}x = 1$
先计算括号内的部分：$\frac{1}{18}+\frac{1}{12}=\frac{2+3}{36}=\frac{5}{36}$
代入方程得：$6×\frac{5}{36} + \frac{x}{18} = 1$
化简得：$\frac{5}{6} + \frac{x}{18} = 1$
移项得：$\frac{x}{18} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
解得：$x = \frac{1}{6} × 18 = 3$
【答案】
3
【知识点】
工程问题求解、一元一次方程应用、工作量计算公式
【点评】
本题属于工程类基础常考题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确拆分各部分工作量，找到等量关系列方程，考察学生对基础应用题的分析建模能力。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成总工作量的时间”先分别求出甲、乙两队的工作效率。接着梳理工作量的构成：总工作量等于两队同时施工6天的工作量加上甲队单独施工的工作量，据此设未知数列方程即可求解。
【解析】
解：设甲队还需要$x$天完成剩余工程。
把总工作量看作单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{18}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{12}$。
根据总工作量为1，列方程：
$6×(\frac{1}{18}+\frac{1}{12}) + \frac{1}{18}x = 1$
先计算括号内的部分：$\frac{1}{18}+\frac{1}{12}=\frac{2+3}{36}=\frac{5}{36}$
代入方程得：$6×\frac{5}{36} + \frac{x}{18} = 1$
化简得：$\frac{5}{6} + \frac{x}{18} = 1$
移项得：$\frac{x}{18} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$
解得：$x = \frac{1}{6} × 18 = 3$
【答案】
3
【知识点】
工程问题求解、一元一次方程应用、工作量计算公式
【点评】
本题属于工程类基础常考题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确拆分各部分工作量，找到等量关系列方程，考察学生对基础应用题的分析建模能力。
【难度系数】
0.8
5.为了进一步缓解交通拥堵，某市决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
答案
5.解:设原计划完成这项工程用x个月,则实际用(x-3)个月,记原工作效率为1,根据题意,得1·x=(1+12%)(x-3),解得x=28.
答:原计划完成这项工程用28个月.
答:原计划完成这项工程用28个月.
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，解题核心是抓住总工作量不变这一隐含等量关系。首先设原计划完成工程的时间为x个月，则实际完成时间为(x-3)个月；为简化计算，可将原工作效率设为单位1，提高后的工作效率就是1+12%；再根据“总工作量=工作效率×工作时间”，原计划总工作量和实际总工作量相等，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设原计划完成这项工程用x个月，则实际用时为(x-3)个月，记原工作效率为1，根据总工作量相等列方程：
$1· x=(1+12\%)(x-3)$
展开得：$x=1.12x - 3.36$
移项合并得：$0.12x=3.36$
解得：$x=28$
答：原计划完成这项工程用28个月。
【答案】
28个月
【知识点】
一元一次方程应用、工程问题计算
【点评】
本题是工程问题的常规考法，解题关键是抓住总工作量不变的等量关系，将原工作效率设为单位1可简化计算过程，掌握这类基础应用题是后续解决复杂工程类问题的基础。
【难度系数】
0.75
这是工程类一元一次方程应用题，解题核心是抓住总工作量不变这一隐含等量关系。首先设原计划完成工程的时间为x个月，则实际完成时间为(x-3)个月；为简化计算，可将原工作效率设为单位1，提高后的工作效率就是1+12%；再根据“总工作量=工作效率×工作时间”，原计划总工作量和实际总工作量相等，据此列方程求解即可。
【解析】
解：设原计划完成这项工程用x个月，则实际用时为(x-3)个月，记原工作效率为1，根据总工作量相等列方程：
$1· x=(1+12\%)(x-3)$
展开得：$x=1.12x - 3.36$
移项合并得：$0.12x=3.36$
解得：$x=28$
答：原计划完成这项工程用28个月。
【答案】
28个月
【知识点】
一元一次方程应用、工程问题计算
【点评】
本题是工程问题的常规考法，解题关键是抓住总工作量不变的等量关系，将原工作效率设为单位1可简化计算过程，掌握这类基础应用题是后续解决复杂工程类问题的基础。
【难度系数】
0.75
6.有一个水池,只打开进水管,2 h可把空水池注满;只打开出水管,3 h可把满池水放空.若两管同时打开,则把空水池注满到水池的$\frac{5}{6}$需要的时间是 （
A.3 h
B.4 h
C.5 h
D.6 h
C
）A.3 h
B.4 h
C.5 h
D.6 h
答案
6.C
解析
【分析】
这是典型的进出水类工程应用题，解题时先将满水池的总水量看作单位“1”，分别计算进水管、出水管的工作效率：进水管2小时注满，每小时注水量为总容量的$\frac{1}{2}$；出水管3小时放空，每小时放水量为总容量的$\frac{1}{3}$。两管同时打开时，每小时实际净注入的水量为进水管效率减去出水管效率。我们可以设需要的时间为$x$小时，根据“净工作效率×工作时间=需要注入的工作量（水池的$\frac{5}{6}$）”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设把空水池注满到$\frac{5}{6}$需要的时间为$x$小时，将满水池总水量看作单位“1”。
1. 计算单管工作效率：
进水管每小时注水量：$\frac{1}{2}$
出水管每小时放水量：$\frac{1}{3}$
2. 两管同时开的净工作效率为：$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
3. 根据等量关系列方程：
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})x=\frac{5}{6}$
化简得：$\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$
两边同时乘6，解得：$x=5$
【答案】
C
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用、工作效率计算
【点评】
本题属于工程类基础应用题，解题核心是明确总水量为单位“1”，准确计算两管同开的净工作效率，掌握工作量、工作效率、工作时间三者的等量关系就能快速求解，这类题型是方程实际应用的常见考法，要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
这是典型的进出水类工程应用题，解题时先将满水池的总水量看作单位“1”，分别计算进水管、出水管的工作效率：进水管2小时注满，每小时注水量为总容量的$\frac{1}{2}$；出水管3小时放空，每小时放水量为总容量的$\frac{1}{3}$。两管同时打开时，每小时实际净注入的水量为进水管效率减去出水管效率。我们可以设需要的时间为$x$小时，根据“净工作效率×工作时间=需要注入的工作量（水池的$\frac{5}{6}$）”的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设把空水池注满到$\frac{5}{6}$需要的时间为$x$小时，将满水池总水量看作单位“1”。
1. 计算单管工作效率：
进水管每小时注水量：$\frac{1}{2}$
出水管每小时放水量：$\frac{1}{3}$
2. 两管同时开的净工作效率为：$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
3. 根据等量关系列方程：
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})x=\frac{5}{6}$
化简得：$\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$
两边同时乘6，解得：$x=5$
【答案】
C
【知识点】
工程问题、一元一次方程应用、工作效率计算
【点评】
本题属于工程类基础应用题，解题核心是明确总水量为单位“1”，准确计算两管同开的净工作效率，掌握工作量、工作效率、工作时间三者的等量关系就能快速求解，这类题型是方程实际应用的常见考法，要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7.一项工程，A单独做10天完成，B单独做15天完成，若A先做5天，A，B再一起做，共完成全部工程的$\frac{2}{3}$，剩下的由B单独完成，则完成这项工程共耗时（
A.8天
B.7天
C.6天
D.11天
D
）A.8天
B.7天
C.6天
D.11天
答案
7.D
解析
【分析】
这是典型的分阶段工程问题，解题核心是把总工作量看作单位“1”，先求出A、B的工作效率，再分阶段梳理工作量关系：首先计算A单独做5天的工作量，再通过“前两阶段总工作量为$\frac{2}{3}$”的条件求出AB合作的时间，最后计算剩余工作量由B单独完成的时间，三段时间相加就是总耗时，用一元一次方程求解合作时间思路更清晰。
【解析】
解：将这项工程的总工作量看作单位“1”，则A的工作效率为$\frac{1}{10}$/天，B的工作效率为$\frac{1}{15}$/天。
设A、B合作了$x$天，根据题意可列方程：
$5×\frac{1}{10} + (\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x = \frac{2}{3}$
化简得：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6}x = \frac{2}{3}$
移项计算：
$\frac{1}{6}x = \frac{2}{3}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
解得$x=1$，即AB合作了1天。
此时已用总时间为$5+1=6$天，剩余工作量为$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，由B单独完成需要的时间为：
$\frac{1}{3}÷\frac{1}{15}=5天$
因此完成这项工程共耗时$6+5=11$天。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于分阶段工程类应用题，解题关键是明确工作效率、工作时间、工作量三者的数量关系，理清各阶段的工作量对应条件，避免漏算后续单独工作的时间即可正确求解。
【难度系数】
0.65
这是典型的分阶段工程问题，解题核心是把总工作量看作单位“1”，先求出A、B的工作效率，再分阶段梳理工作量关系：首先计算A单独做5天的工作量，再通过“前两阶段总工作量为$\frac{2}{3}$”的条件求出AB合作的时间，最后计算剩余工作量由B单独完成的时间，三段时间相加就是总耗时，用一元一次方程求解合作时间思路更清晰。
【解析】
解：将这项工程的总工作量看作单位“1”，则A的工作效率为$\frac{1}{10}$/天，B的工作效率为$\frac{1}{15}$/天。
设A、B合作了$x$天，根据题意可列方程：
$5×\frac{1}{10} + (\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x = \frac{2}{3}$
化简得：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6}x = \frac{2}{3}$
移项计算：
$\frac{1}{6}x = \frac{2}{3}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
解得$x=1$，即AB合作了1天。
此时已用总时间为$5+1=6$天，剩余工作量为$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，由B单独完成需要的时间为：
$\frac{1}{3}÷\frac{1}{15}=5天$
因此完成这项工程共耗时$6+5=11$天。
【答案】
D
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于分阶段工程类应用题，解题关键是明确工作效率、工作时间、工作量三者的数量关系，理清各阶段的工作量对应条件，避免漏算后续单独工作的时间即可正确求解。
【难度系数】
0.65
8. 有9人用14天完成了一件工作的$\frac{3}{5}$，而剩下的工作要在4天内完成，则需增加的人数是（
A.12
B.11
C.10
D.8
A
）A.12
B.11
C.10
D.8
答案
8.A
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题核心是利用工程问题的基本等量关系：工作量=人均工作效率×人数×工作时间。首先我们先求出单人每天的工作效率，再根据“剩余工作量=增加人数后的总人数×4天×单人工作效率”列一元一次方程求解即可，也可以把单人每天工作量看作1份，通过份数计算快速推导结果。
【解析】
设需增加的人数为$x$人，将总工作量看作单位“1”。
1. 计算单人每天的工作效率：
已知9人14天完成了工作的$\frac{3}{5}$，因此单人每天的工作效率为：
$\frac{3}{5}÷(9×14)=\frac{1}{210}$
2. 列方程求解：
剩余工作量为$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，$(9+x)$人4天完成的工作量等于剩余工作量，可列方程：
$(9+x)×4×\frac{1}{210}=\frac{2}{5}$
解方程：
两边同乘210得：$4(9+x)=84$
两边同除以4得：$9+x=21$
解得$x=12$
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，工程问题计算
【点评】
本题属于工程类常规应用题，关键是抓住人均工作效率不变的特点，结合工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系建立等量关系，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题核心是利用工程问题的基本等量关系：工作量=人均工作效率×人数×工作时间。首先我们先求出单人每天的工作效率，再根据“剩余工作量=增加人数后的总人数×4天×单人工作效率”列一元一次方程求解即可，也可以把单人每天工作量看作1份，通过份数计算快速推导结果。
【解析】
设需增加的人数为$x$人，将总工作量看作单位“1”。
1. 计算单人每天的工作效率：
已知9人14天完成了工作的$\frac{3}{5}$，因此单人每天的工作效率为：
$\frac{3}{5}÷(9×14)=\frac{1}{210}$
2. 列方程求解：
剩余工作量为$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，$(9+x)$人4天完成的工作量等于剩余工作量，可列方程：
$(9+x)×4×\frac{1}{210}=\frac{2}{5}$
解方程：
两边同乘210得：$4(9+x)=84$
两边同除以4得：$9+x=21$
解得$x=12$
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，工程问题计算
【点评】
本题属于工程类常规应用题，关键是抓住人均工作效率不变的特点，结合工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系建立等量关系，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
