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22.【知识拓展】
解分式方程除将原方程转化为整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并解答下列各题：
例题:解方程$\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$。
(1)解法1:利用分式的基本性质,将原方程化为$\frac{180}{60 + 2v}=\frac{180}{90 - 3v}$,由分子相同,得分母相同,即________。
解法2:分式两边通分,得$\frac{90(30 - v)}{(30 + v)(30 - v)}=\frac{60(30 + v)}{(30 + v)(30 - v)}$,由分母相同,得分子相同,即________。
(2)解法3:用图形的方式表示出来。
如图1,令$S_{长方形ABCD}=90,S_{长方形AGHD}=60,GE=EB=v,AE=DF=30$,则$AB=30 + v,AG=30 - v$,所以$AD=\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$。易得$S_{长方形HGEF}=\frac{1}{2}S_{长方形HCBG}=15$,所以$S_{长方形AEFD}=S_{长方形AGHD}+S_{长方形HGEF}=75$,又因为$AE=30$,所以$AD=\_\_\_\_\_\_$,从而求得$v=\_\_\_\_\_\_$。
【问题解决】
(3)如图2,在三角形$ABC$中,$D,E$是$BC$边上的点,且$DE=EC$。若$S_{三角形ABC}=48\ \mathrm{cm}^2,S_{三角形ABD}=36\ \mathrm{cm}^2,BE=21\ \mathrm{cm}$,求$BC$的长。
解分式方程除将原方程转化为整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并解答下列各题：
例题:解方程$\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$。
(1)解法1:利用分式的基本性质,将原方程化为$\frac{180}{60 + 2v}=\frac{180}{90 - 3v}$,由分子相同,得分母相同,即________。
解法2:分式两边通分,得$\frac{90(30 - v)}{(30 + v)(30 - v)}=\frac{60(30 + v)}{(30 + v)(30 - v)}$,由分母相同,得分子相同,即________。
(2)解法3:用图形的方式表示出来。
如图1,令$S_{长方形ABCD}=90,S_{长方形AGHD}=60,GE=EB=v,AE=DF=30$,则$AB=30 + v,AG=30 - v$,所以$AD=\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$。易得$S_{长方形HGEF}=\frac{1}{2}S_{长方形HCBG}=15$,所以$S_{长方形AEFD}=S_{长方形AGHD}+S_{长方形HGEF}=75$,又因为$AE=30$,所以$AD=\_\_\_\_\_\_$,从而求得$v=\_\_\_\_\_\_$。
【问题解决】
(3)如图2,在三角形$ABC$中,$D,E$是$BC$边上的点,且$DE=EC$。若$S_{三角形ABC}=48\ \mathrm{cm}^2,S_{三角形ABD}=36\ \mathrm{cm}^2,BE=21\ \mathrm{cm}$,求$BC$的长。
答案
22.(1)$60+2v=90-3v$ $90(30-v)=60(30+v)$
(2)$2.5$ $6$
(3)解:设三角形ABC中BC边上的高为$h$ cm。因为$DE=EC$,所以$S_{\mathrm{三角形}ADE}=S_{\mathrm{三角形}AEC}$。因为$S_{\mathrm{三角形}ABC}=48\ \mathrm{cm}^2$,$S_{\mathrm{三角形}ABD}=36\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{\mathrm{三角形}ACD}=S_{\mathrm{三角形}ABC}-S_{\mathrm{三角形}ABD}=12\ \mathrm{cm}^2$。因为$S_{\mathrm{三角形}ACD}=S_{\mathrm{三角形}ADE}+S_{\mathrm{三角形}ACE}$,所以$S_{\mathrm{三角形}ADE}=S_{\mathrm{三角形}ACE}=6\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{\mathrm{三角形}ABE}=S_{\mathrm{三角形}ABD}+S_{\mathrm{三角形}ADE}=42\ \mathrm{cm}^2$,即$\dfrac{1}{2}BE× h=42\ \mathrm{cm}^2$,解得$h=4\ \mathrm{cm}$,所以$S_{\mathrm{三角形}ABC}=\dfrac{1}{2}BC× h=48\ \mathrm{cm}^2$,解得$BC=24\ \mathrm{cm}$,即BC的长为24 cm。
(2)$2.5$ $6$
(3)解:设三角形ABC中BC边上的高为$h$ cm。因为$DE=EC$,所以$S_{\mathrm{三角形}ADE}=S_{\mathrm{三角形}AEC}$。因为$S_{\mathrm{三角形}ABC}=48\ \mathrm{cm}^2$,$S_{\mathrm{三角形}ABD}=36\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{\mathrm{三角形}ACD}=S_{\mathrm{三角形}ABC}-S_{\mathrm{三角形}ABD}=12\ \mathrm{cm}^2$。因为$S_{\mathrm{三角形}ACD}=S_{\mathrm{三角形}ADE}+S_{\mathrm{三角形}ACE}$,所以$S_{\mathrm{三角形}ADE}=S_{\mathrm{三角形}ACE}=6\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{\mathrm{三角形}ABE}=S_{\mathrm{三角形}ABD}+S_{\mathrm{三角形}ADE}=42\ \mathrm{cm}^2$,即$\dfrac{1}{2}BE× h=42\ \mathrm{cm}^2$,解得$h=4\ \mathrm{cm}$,所以$S_{\mathrm{三角形}ABC}=\dfrac{1}{2}BC× h=48\ \mathrm{cm}^2$,解得$BC=24\ \mathrm{cm}$,即BC的长为24 cm。
