登录
三、一元一次不等式组
1. 不等式组$\begin{cases}3x - 2 ＜ 2x + 1, \\ x ≥ 2\end{cases}$的解集在数轴上的表示应为图11-4中的（ ）
图11-4
1. 不等式组$\begin{cases}3x - 2 ＜ 2x + 1, \\ x ≥ 2\end{cases}$的解集在数轴上的表示应为图11-4中的（ ）
图11-4
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，最后结合数轴表示解集的规则判断即可：实心点表示包含该点（对应≥、≤符号），空心圈表示不包含该点（对应＞、＜符号），大于向右延伸，小于向左延伸。
【解析】
1. 解不等式$3x - 2 ＜ 2x + 1$：
移项得$3x-2x＜1+2$，计算得$x＜3$。
2. 已知第二个不等式为$x≥2$。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$2≤ x＜3$。
4. 对应数轴表示：2的位置为实心点，3的位置为空心圈，阴影部分在2和3之间，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查不等式组的求解和数轴表示解集的规则，解题时要注意区分实心点和空心圈的使用，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，最后结合数轴表示解集的规则判断即可：实心点表示包含该点（对应≥、≤符号），空心圈表示不包含该点（对应＞、＜符号），大于向右延伸，小于向左延伸。
【解析】
1. 解不等式$3x - 2 ＜ 2x + 1$：
移项得$3x-2x＜1+2$，计算得$x＜3$。
2. 已知第二个不等式为$x≥2$。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$2≤ x＜3$。
4. 对应数轴表示：2的位置为实心点，3的位置为空心圈，阴影部分在2和3之间，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组解法、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查不等式组的求解和数轴表示解集的规则，解题时要注意区分实心点和空心圈的使用，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
2. 不等式组$\begin{cases}x+2＜3, \\ -2x≤ 1\end{cases}$的解集为( )
A.$x≤ -\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}≤ x＜1$
C.$x＜1$
D.无解
A.$x≤ -\dfrac{1}{2}$
B.$-\dfrac{1}{2}≤ x＜1$
C.$x＜1$
D.无解
答案
2.B
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式，再找两个解集的公共部分得到最终解集。解题时需要注意：当不等式两边同时除以负数时，不等号的方向必须改变，这是本题的易错点。得到两个解集后可以用“大小小大中间找”的口诀快速确定公共解集，再对应选项即可。
【解析】
1. 求解第一个不等式$x+2＜3$：
移项计算得$x＜3-2$，即$x＜1$。
2. 求解第二个不等式$-2x≤ 1$：
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≥ -\dfrac{1}{2}$。
3. 确定两个解集的公共部分：
结合$x＜1$和$x≥ -\dfrac{1}{2}$，可得不等式组的解集为$-\dfrac{1}{2}≤ x＜1$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，重点检验对不等式求解规则和解集公共部分判断的掌握程度，只要注意系数化1时不等号方向的变化规则，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式，再找两个解集的公共部分得到最终解集。解题时需要注意：当不等式两边同时除以负数时，不等号的方向必须改变，这是本题的易错点。得到两个解集后可以用“大小小大中间找”的口诀快速确定公共解集，再对应选项即可。
【解析】
1. 求解第一个不等式$x+2＜3$：
移项计算得$x＜3-2$，即$x＜1$。
2. 求解第二个不等式$-2x≤ 1$：
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≥ -\dfrac{1}{2}$。
3. 确定两个解集的公共部分：
结合$x＜1$和$x≥ -\dfrac{1}{2}$，可得不等式组的解集为$-\dfrac{1}{2}≤ x＜1$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，重点检验对不等式求解规则和解集公共部分判断的掌握程度，只要注意系数化1时不等号方向的变化规则，即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 若点$P(1-2a,a)$在第二象限,则$a$的取值范围是 (
A
)答案
3.A
解析
【分析】
要确定a的取值范围，首先明确第二象限内点的坐标符号特征：横坐标小于0，纵坐标大于0。结合点P的坐标列出关于a的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
已知点$P(1-2a,a)$在第二象限，根据第二象限点的坐标特征，可列不等式组：
$\begin{cases}1-2a ＜ 0 \quad ① \\a ＞ 0 \quad \quad \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$1 ＜ 2a$，两边同时除以2，得$a ＞ \frac{1}{2}$。
不等式②的解集为$a＞0$，取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$a ＞ \frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征、解一元一次不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式组的综合基础题，解题核心是熟记各象限内点的坐标符号规律，正确求解不等式组，同时注意取不等式组解集时要找准公共部分。
【难度系数】
0.8
要确定a的取值范围，首先明确第二象限内点的坐标符号特征：横坐标小于0，纵坐标大于0。结合点P的坐标列出关于a的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
已知点$P(1-2a,a)$在第二象限，根据第二象限点的坐标特征，可列不等式组：
$\begin{cases}1-2a ＜ 0 \quad ① \\a ＞ 0 \quad \quad \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$1 ＜ 2a$，两边同时除以2，得$a ＞ \frac{1}{2}$。
不等式②的解集为$a＞0$，取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$a ＞ \frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征、解一元一次不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式组的综合基础题，解题核心是熟记各象限内点的坐标符号规律，正确求解不等式组，同时注意取不等式组解集时要找准公共部分。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$ x $的不等式组$\begin{cases}2x - 1 ＜ 5, \\ x ＜ m + 1\end{cases}$的解集为$ x ＜ 3 $，则$ m $的取值范围是（ ）
A.$ m ＞ 2 $
B.$ m ≥ 2 $
C.$ m ＜ 2 $
D.$ m ≤ 2 $
A.$ m ＞ 2 $
B.$ m ≥ 2 $
C.$ m ＜ 2 $
D.$ m ≤ 2 $
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先求解不等式组中不含参数的不等式，得到其解集后，结合不等式组“同小取小”的解集判定规则，对照题目给出的最终解集推导参数的取值范围。第一步先解$2x-1＜5$，可得$x＜3$；此时不等式组的两个解集为$x＜3$和$x＜m+1$，要使合并后的解集为$x＜3$，需保证第二个解集的边界$m+1$不小于3，否则解集会变为$x＜m+1$，与题意不符，最后解关于$m$的不等式即可得到结果。
【解析】
1. 解不等式$2x - 1 ＜ 5$：
移项得$2x ＜ 5 + 1$，即$2x ＜ 6$，
两边同时除以2，得$x ＜ 3$。
2. 此时不等式组的两个解集分别为$x ＜ 3$和$x ＜ m + 1$，根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规则，已知不等式组的解集为$x ＜ 3$，因此$m + 1 ≥ 3$（若$m+1 ＜ 3$，则不等式组的解集为$x ＜ m+1$，不符合题意）。
3. 解不等式$m + 1 ≥ 3$：
移项得$m ≥ 3 - 1$，即$m ≥ 2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解集规则
【点评】
本题考查含参数的一元一次不等式组的求解，核心是熟练掌握不等式组解集的判定口诀，解题时需注意验证等号是否可取，避免因漏写等号出错。
【难度系数】
0.7
解题时先求解不等式组中不含参数的不等式，得到其解集后，结合不等式组“同小取小”的解集判定规则，对照题目给出的最终解集推导参数的取值范围。第一步先解$2x-1＜5$，可得$x＜3$；此时不等式组的两个解集为$x＜3$和$x＜m+1$，要使合并后的解集为$x＜3$，需保证第二个解集的边界$m+1$不小于3，否则解集会变为$x＜m+1$，与题意不符，最后解关于$m$的不等式即可得到结果。
【解析】
1. 解不等式$2x - 1 ＜ 5$：
移项得$2x ＜ 5 + 1$，即$2x ＜ 6$，
两边同时除以2，得$x ＜ 3$。
2. 此时不等式组的两个解集分别为$x ＜ 3$和$x ＜ m + 1$，根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规则，已知不等式组的解集为$x ＜ 3$，因此$m + 1 ≥ 3$（若$m+1 ＜ 3$，则不等式组的解集为$x ＜ m+1$，不符合题意）。
3. 解不等式$m + 1 ≥ 3$：
移项得$m ≥ 3 - 1$，即$m ≥ 2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解集规则
【点评】
本题考查含参数的一元一次不等式组的求解，核心是熟练掌握不等式组解集的判定口诀，解题时需注意验证等号是否可取，避免因漏写等号出错。
【难度系数】
0.7
5. 写出满足不等式组$\begin{cases} x+2≥ 1, \\ 2x-1＜5 \end{cases}$的一个整数解：$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
5.答案不唯一,如-1
解析
【分析】
要解决本题，首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内任意选取一个整数即可。
【解析】
第一步：解不等式$x+2≥ 1$
移项得：$x≥ 1-2$，计算得$x≥ -1$。
第二步：解不等式$2x-1＜5$
移项得：$2x＜5+1$，即$2x＜6$，两边同时除以2得$x＜3$。
第三步：确定不等式组的解集
两个解集的公共部分为$-1≤ x＜3$，该范围内的整数有$-1、0、1、2$，任选其一即可，例如$-1$。
【答案】
答案不唯一,如-1
【知识点】
解一元一次不等式组，不等式组的整数解
【点评】
本题是基础类题型，考查一元一次不等式组的求解及整数解的确定，解题核心是掌握解不等式的基本步骤和不等式组解集的取法，答案具有开放性，只要是解集范围内的整数都符合要求。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内任意选取一个整数即可。
【解析】
第一步：解不等式$x+2≥ 1$
移项得：$x≥ 1-2$，计算得$x≥ -1$。
第二步：解不等式$2x-1＜5$
移项得：$2x＜5+1$，即$2x＜6$，两边同时除以2得$x＜3$。
第三步：确定不等式组的解集
两个解集的公共部分为$-1≤ x＜3$，该范围内的整数有$-1、0、1、2$，任选其一即可，例如$-1$。
【答案】
答案不唯一,如-1
【知识点】
解一元一次不等式组，不等式组的整数解
【点评】
本题是基础类题型，考查一元一次不等式组的求解及整数解的确定，解题核心是掌握解不等式的基本步骤和不等式组解集的取法，答案具有开放性，只要是解集范围内的整数都符合要求。
【难度系数】
0.9
6. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}4-2x≥0,\\\dfrac{1}{2}x-a＞0\end{cases}$恰有3个整数解,则$a$的取值范围是________.
答案
6.$-\dfrac{1}{2}≤a＜0$
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组整数解问题，分三步思考：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用参数a表示的不等式组的解集；第二步根据“恰有3个整数解”的条件，结合解集的上限，确定这3个整数解具体是哪些数；第三步根据整数解的范围，反推解集下限2a的取值范围，尤其要注意验证边界处等号能否取到，避免出错。
【解析】
解：先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$4-2x≥0$：
移项得$-2x≥-4$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≤2$。
2. 解不等式$\dfrac{1}{2}x-a＞0$：
移项得$\dfrac{1}{2}x＞a$，
两边同时乘$2$，得$x＞2a$。
因此原不等式组的解集为$2a ＜ x ≤2$。
已知不等式组恰有3个整数解，结合解集上限为2，可知这3个整数解为2、1、0。
要使整数解只有这3个，则解集的下限$2a$需要满足：
$-1≤ 2a ＜0$（若$2a＜-1$，则整数解会包含-1，共4个，不符合；若$2a≥0$，则整数解只有1、2，共2个，不符合）
不等式两边同时除以2，得$-\dfrac{1}{2}≤ a ＜0$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}≤ a＜0$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组的解集，不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组参数求解的常考题型，解题核心是先求出含参数的解集，再结合整数解的个数确定参数的取值范围，需要格外注意边界值的取舍，防止多算或漏算符合条件的参数范围。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的不等式组整数解问题，分三步思考：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用参数a表示的不等式组的解集；第二步根据“恰有3个整数解”的条件，结合解集的上限，确定这3个整数解具体是哪些数；第三步根据整数解的范围，反推解集下限2a的取值范围，尤其要注意验证边界处等号能否取到，避免出错。
【解析】
解：先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$4-2x≥0$：
移项得$-2x≥-4$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x≤2$。
2. 解不等式$\dfrac{1}{2}x-a＞0$：
移项得$\dfrac{1}{2}x＞a$，
两边同时乘$2$，得$x＞2a$。
因此原不等式组的解集为$2a ＜ x ≤2$。
已知不等式组恰有3个整数解，结合解集上限为2，可知这3个整数解为2、1、0。
要使整数解只有这3个，则解集的下限$2a$需要满足：
$-1≤ 2a ＜0$（若$2a＜-1$，则整数解会包含-1，共4个，不符合；若$2a≥0$，则整数解只有1、2，共2个，不符合）
不等式两边同时除以2，得$-\dfrac{1}{2}≤ a ＜0$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}≤ a＜0$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组的解集，不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组参数求解的常考题型，解题核心是先求出含参数的解集，再结合整数解的个数确定参数的取值范围，需要格外注意边界值的取舍，防止多算或漏算符合条件的参数范围。
【难度系数】
0.6
7. 解不等式组$\begin{cases} 3(x-1)＜4+2x, \\ \dfrac{x-9}{5}＜2x. \end{cases}$
答案
7.解不等式$3(x-1)＜4+2x$,得$x＜7$.
解不等式$\dfrac{x-9}{5}＜2x$,得$x＞-1$.
∴ 不等式组的解集为$-1＜x＜7$.
解不等式$\dfrac{x-9}{5}＜2x$,得$x＞-1$.
∴ 不等式组的解集为$-1＜x＜7$.
解析
【分析】
解一元一次不等式组时，首先要分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找两个解集的公共部分，就是不等式组的最终解集。求解单个一元一次不等式要按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，要注意系数化为1时，若不等式两边同时乘除负数，不等号的方向需要改变，最后可以借助“大小小大中间找”的口诀快速确定公共解集。
【解析】
解：先求解不等式$3(x-1)＜4+2x$：
去括号，得$3x-3＜4+2x$，
移项，得$3x-2x＜4+3$，
合并同类项，得$x＜7$。
再求解不等式$\dfrac{x-9}{5}＜2x$：
不等式两边同时乘5（不等号方向不变），得$x-9＜10x$，
移项，得$x-10x＜9$，
合并同类项，得$-9x＜9$，
系数化为1（两边同时除以-9，不等号方向改变），得$x＞-1$。
两个解集的公共部分为$-1＜x＜7$，因此该不等式组的解集为$-1＜x＜7$。
【答案】
$-1＜x＜7$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法 2. 不等式的基本性质 3. 不等式组解集确定
【点评】
本题是不等式模块的基础题型，主要考查一元一次不等式的求解步骤和不等式组解集的确定方法，解题时要格外注意系数为负时不等号方向的变化，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组时，首先要分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找两个解集的公共部分，就是不等式组的最终解集。求解单个一元一次不等式要按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，要注意系数化为1时，若不等式两边同时乘除负数，不等号的方向需要改变，最后可以借助“大小小大中间找”的口诀快速确定公共解集。
【解析】
解：先求解不等式$3(x-1)＜4+2x$：
去括号，得$3x-3＜4+2x$，
移项，得$3x-2x＜4+3$，
合并同类项，得$x＜7$。
再求解不等式$\dfrac{x-9}{5}＜2x$：
不等式两边同时乘5（不等号方向不变），得$x-9＜10x$，
移项，得$x-10x＜9$，
合并同类项，得$-9x＜9$，
系数化为1（两边同时除以-9，不等号方向改变），得$x＞-1$。
两个解集的公共部分为$-1＜x＜7$，因此该不等式组的解集为$-1＜x＜7$。
【答案】
$-1＜x＜7$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法 2. 不等式的基本性质 3. 不等式组解集确定
【点评】
本题是不等式模块的基础题型，主要考查一元一次不等式的求解步骤和不等式组解集的确定方法，解题时要格外注意系数为负时不等号方向的变化，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
8. 解不等式组$\begin{cases}\dfrac{1}{2} + 2x ＜ -\dfrac{3}{2}x + 4, \\x - 3 ＜ 1 + 2x.\end{cases}$并求所有整数解的和.
答案
8.$\begin{cases}\dfrac{1}{2}+2x＜-\dfrac{3}{2}x+4,①\\x-3＜1+2x. ②\end{cases}$
解不等式①,得$x＜1$.
解不等式②,得$x＞-4$.
∴ 原不等式组的解集为$-4＜x＜1$.
∴ 不等式组所有整数解的和为$-3+(-2)+(-1)+0=-6.$
解不等式①,得$x＜1$.
解不等式②,得$x＞-4$.
∴ 原不等式组的解集为$-4＜x＜1$.
∴ 不等式组所有整数解的和为$-3+(-2)+(-1)+0=-6.$
解析
【分析】
解此类不等式组问题的思路如下：首先分别求解两个一元一次不等式，解不等式时遵循移项、合并同类项、系数化为1的基本步骤，注意系数为负时不等号方向要改变；其次根据“大小小大中间找”的口诀确定两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；最后在总解集范围内找出所有整数，计算这些整数的和即可。
【解析】
将不等式组标号：
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}+2x＜-\dfrac{3}{2}x+4,①\\x-3＜1+2x. ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2x+\dfrac{3}{2}x ＜ 4-\dfrac{1}{2}$，
合并同类项得$\dfrac{7}{2}x ＜ \dfrac{7}{2}$，
系数化为1得$x ＜ 1$。
解不等式②：
移项得$x-2x ＜ 1+3$，
合并同类项得$-x ＜ 4$，
系数化为1得$x ＞ -4$。
因此原不等式组的解集为$-4 ＜ x ＜ 1$。
该范围内的整数解为$-3、-2、-1、0$，所有整数解的和为：
$-3+(-2)+(-1)+0=-6$。
【答案】
原不等式组的解集为$\boldsymbol{-4 ＜ x ＜ 1}$，所有整数解的和为$\boldsymbol{-6}$。
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组解集确定、整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础常规题，重点考查解不等式的基本操作和整数解的提取能力，解题时需注意系数为负时不等号的方向变化，提取整数解时不要漏算0。
【难度系数】
0.8
解此类不等式组问题的思路如下：首先分别求解两个一元一次不等式，解不等式时遵循移项、合并同类项、系数化为1的基本步骤，注意系数为负时不等号方向要改变；其次根据“大小小大中间找”的口诀确定两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；最后在总解集范围内找出所有整数，计算这些整数的和即可。
【解析】
将不等式组标号：
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}+2x＜-\dfrac{3}{2}x+4,①\\x-3＜1+2x. ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2x+\dfrac{3}{2}x ＜ 4-\dfrac{1}{2}$，
合并同类项得$\dfrac{7}{2}x ＜ \dfrac{7}{2}$，
系数化为1得$x ＜ 1$。
解不等式②：
移项得$x-2x ＜ 1+3$，
合并同类项得$-x ＜ 4$，
系数化为1得$x ＞ -4$。
因此原不等式组的解集为$-4 ＜ x ＜ 1$。
该范围内的整数解为$-3、-2、-1、0$，所有整数解的和为：
$-3+(-2)+(-1)+0=-6$。
【答案】
原不等式组的解集为$\boldsymbol{-4 ＜ x ＜ 1}$，所有整数解的和为$\boldsymbol{-6}$。
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组解集确定、整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础常规题，重点考查解不等式的基本操作和整数解的提取能力，解题时需注意系数为负时不等号的方向变化，提取整数解时不要漏算0。
【难度系数】
0.8
