知识点二 用坐标表示轴对称
1. 点到坐标轴的距离：
（1）点到x轴的距离为的绝对值，点到y轴的距离为的绝对值；
（2）距离都是数，而横、纵坐标可以是正数、负数和0，由距离求坐标时，需要加上恰当的符号。
2. 两点关于x轴对称，不变，相反；
两点关于y轴对称，不变，相反。

1.（1）纵坐标 横坐标 （2）非负 2. 横坐标 纵坐标 纵坐标 横坐标

【分析】
解题时可结合平面直角坐标系的图形特征理解记忆相关规律，不用死记硬背：1. 思考点到坐标轴的距离本质是垂直距离：到x轴的垂直距离由上下位置决定，对应纵坐标的取值；到y轴的垂直距离由左右位置决定，对应横坐标的取值；距离是长度，不可能为负数。2. 思考轴对称的坐标变化：关于x轴对称相当于沿x轴上下翻折，水平位置不变，竖直位置翻转；关于y轴对称相当于沿y轴左右翻折，竖直位置不变，水平位置翻转，据此推导坐标变化规律即可。
【解析】
1.（1）设任意一点坐标为$(x,y)$，点到x轴的垂直距离为该点纵坐标与x轴上点纵坐标（0）的差的绝对值，即$|y|$，也就是纵坐标的绝对值；点到y轴的垂直距离为该点横坐标与y轴上点横坐标（0）的差的绝对值，即$|x|$，也就是横坐标的绝对值。
（2）距离是表示长度的量，长度不存在负值，因此距离都是非负数。
2. 两点关于x轴对称时，沿x轴翻折后两点重合，水平位置不变、竖直位置相反，因此横坐标不变，纵坐标相反；两点关于y轴对称时，沿y轴翻折后两点重合，竖直位置不变、水平位置相反，因此纵坐标不变，横坐标相反。
【答案】
1.（1）纵坐标 横坐标 （2）非负 2. 横坐标 纵坐标 纵坐标 横坐标
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 关于坐标轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是坐标与轴对称相关的基础概念题，侧重对基础性质的理解和记忆，结合图形推导规律比死记硬背更不容易混淆，相关结论是后续解决轴对称作图、坐标变换类问题的核心基础。
【难度系数】
0.9

例3 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，$△ ABC$的三个顶点均为网格线的交点，其中点A，C的坐标分别为（−4，5），（−1，3）.
（1）请在网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出与$△ ABC$关于y轴对称的$△ A'B'C'$；
（3）写出点$B'$的坐标；
（4）求出$△ ABC$的面积.

—特别提醒
一般地，利用点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法. 若坐标系内的多边形是非规则多边形，通常作平行于坐标轴的辅助线，用“割、补”法解决问题.
解（1）根据顶点A，C的坐标分别为（−4，5），（−1，3）建立平面直角坐标系，如图所示.
（2）作出$△ ABC$各顶点关于y轴的对称点，再顺次连接，如图所示.
（3）根据点$B'$在平面直角坐标系中的位置写出其坐标，即$B'$（2，1）.
（4）$S_{△ ABC}=3×4 - \frac{1}{2}×2×3 - \frac{1}{2}×2×1 - \frac{1}{2}×2×4=12 - 3 -1 -4=4$.

【分析】
本题可分四步求解：①建立坐标系：已知点A(-4,5)、C(-1,3)，将点A向右平移4个单位、向下平移5个单位即可得到坐标原点，进而画出x轴、y轴完成坐标系建立；②画轴对称图形：关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，先找到△ABC三个顶点的对称点，再顺次连接即可得到△A'B'C'；③求B'坐标：根据建立的坐标系直接读取对称点B'的坐标即可；④求△ABC面积：采用割补法，将△ABC补成矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可算出三角形面积。
【解析】
（1）根据点A(-4,5)的坐标，将点A向右平移4个单位，再向下平移5个单位得到坐标原点O(0,0)，过原点作水平向右的x轴、竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的建立；
（2）先确定点B的坐标为(-2,1)，根据关于y轴对称的点的坐标特征，得到三个顶点的对称点：A'(4,5)、B'(2,1)、C'(1,3)，顺次连接A'、B'、C'，即可得到△A'B'C'；
（3）观察坐标系中点B'的位置，可得其坐标为(2,1)；
（4）用补形法计算△ABC的面积：
将△ABC放入长为4、宽为3的矩形中，矩形面积$S_{矩形}=3×4=12$，
周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×2×3=3$，$S_2=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_3=\frac{1}{2}×2×4=4$，
因此$S_{△ABC}=S_{矩形}-S_1-S_2-S_3=12-3-1-4=4$。
【答案】
（1）平面直角坐标系见解析；（2）△A'B'C'见解析；（3）$\boldsymbol{(2,1)}$；（4）$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1.平面直角坐标系的建立；2.关于y轴对称的点的坐标特征；3.割补法求图形面积
【点评】
本题是平面直角坐标系与轴对称结合的基础题型，侧重对基础作图能力和不规则图形面积计算方法的考察，掌握对称点的坐标规律和割补法的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7