9. (★★) 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-3x - 18 = 0$；
方程 $x^{2} - 3x - 18 = 0$，
其中 $a = 1, b = -3, c = -18$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 × 1 × (-18) = 9 + 72 = 81$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2}$，
解得 $x_{1} = 6, x_{2} = -3$。
(2) $2x^{2}-x = 6$；
方程 $2x^{2} - x = 6$ 化为标准形式 $2x^{2} - x - 6 = 0$，
其中 $a = 2, b = -1, c = -6$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 2 × (-6) = 1 + 48 = 49$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$，
解得 $x_{1} = 2, x_{2} = -\frac{3}{2}$。
(3) $3x(x - 3)= 2(x - 1)(x + 1)$；
方程 $3x(x - 3) = 2(x - 1)(x + 1)$ 化为标准形式 $3x^{2} - 9x = 2x^{2} - 2$，
即 $x^{2} - 9x + 2 = 0$，
其中 $a = 1, b = -9, c = 2$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-9)^{2} - 4 × 1 × 2 = 81 - 8 = 73$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{73}}{2}$，
解得$x_{1} = \frac{9 + \sqrt{73}}{2}, x_{2} = \frac{9 - \sqrt{73}}{2}$。
(4) $4y^{2}-3y - 1 = y - 2$。
方程 $4y^{2} - 3y - 1 = y - 2$ 化为标准形式 $4y^{2} - 4y + 1 = 0$，
其中 $a = 4, b = -4, c = 1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 4 × 1 = 16 - 16 = 0$，
$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{8} = \frac{1}{2}$，
解得$y_{1} = y_{2} = \frac{1}{2}$。

答题卡：
(1)
方程 $x^{2} - 3x - 18 = 0$，
其中 $a = 1, b = -3, c = -18$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 × 1 × (-18) = 9 + 72 = 81$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2}$，
解得 $x_{1} = 6, x_{2} = -3$。
(2)
方程 $2x^{2} - x = 6$ 化为标准形式 $2x^{2} - x - 6 = 0$，
其中 $a = 2, b = -1, c = -6$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4 × 2 × (-6) = 1 + 48 = 49$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$，
解得 $x_{1} = 2, x_{2} = -\frac{3}{2}$。
(3)
方程 $3x(x - 3) = 2(x - 1)(x + 1)$ 化为标准形式 $3x^{2} - 9x = 2x^{2} - 2$，
即 $x^{2} - 9x + 2 = 0$，
其中 $a = 1, b = -9, c = 2$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-9)^{2} - 4 × 1 × 2 = 81 - 8 = 73$，
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{73}}{2}$，
解得$x_{1} = \frac{9 + \sqrt{73}}{2}, x_{2} = \frac{9 - \sqrt{73}}{2}$。
(4)
方程 $4y^{2} - 3y - 1 = y - 2$ 化为标准形式 $4y^{2} - 4y + 1 = 0$，
其中 $a = 4, b = -4, c = 1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 4 × 1 = 16 - 16 = 0$，
$y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{8} = \frac{1}{2}$，
解得$y_{1} = y_{2} = \frac{1}{2}$。

10. (★) 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-2x + 3 = 0$ 有两个实数根,则 $k$ 的取值范围是【 】

A.$k\lt\frac{1}{3}$
B.$k\leq\frac{1}{3}$
C.$k\lt\frac{1}{3}$ 且 $k\neq0$
D.$k\leq\frac{1}{3}$ 且 $k\neq0$

D

一元二次方程 $kx^{2} - 2x + 3 = 0$ 有两个实数根，需要满足以下条件：
1.二次项系数 $k \neq 0$，确保方程是一元二次方程。
2.判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$，其中$a = k, b = -2, c = 3$，代入可得：
$\Delta = (-2)^{2} - 4 × k × 3 = 4 - 12k \geq 0$，
解这个不等式，得到：
$4 - 12k \geq 0 \implies k \leq \frac{1}{3}$，
综合以上两个条件，得到 $k$ 的取值范围是 $k \leq \frac{1}{3}$ 且 $k \neq 0$。

11. (★★) 已知关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-2x + 1 = 0$,若 $a\lt0$,则方程的根的情况是【 】

A.有两个相等的实数根
B.有两个不等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

B

对于方程 $ax^{2}-2x + 1 = 0$，其判别式为 $\Delta =b^{2}-4ac$，其中$a=a$，$b = - 2$，$c = 1$，则$\Delta=(-2)^{2}-4a=4 - 4a$。
已知$a\lt0$，那么$-4a\gt0$，所以$4-4a = 4+( - 4a)\gt0$，即$\Delta\gt0$。
当判别式$\Delta\gt0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根。

12. (★★) 已知关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-(2m + 1)x + m = 0$ 根的判别式的值是 $9$,则 $m= $______。

$2$或$-1$

根的判别式$\Delta=b^2 - 4ac$，在方程$2x^{2}-(2m + 1)x + m = 0$中，$a = 2$，$b=-(2m + 1)$，$c = m$。
所以$\Delta=(2m + 1)^{2}-4×2× m$，又已知$\Delta = 9$，则$(2m + 1)^{2}-8m = 9$。
展开$(2m + 1)^{2}$得$4m^{2}+4m + 1$，方程变为$4m^{2}+4m + 1-8m = 9$，即$4m^{2}-4m - 8 = 0$，两边同时除以$4$得$m^{2}-m - 2 = 0$。
因式分解得$(m - 2)(m+1)=0$，则$m - 2 = 0$或$m + 1 = 0$，解得$m = 2$或$m=-1$。

13. (★★) (2021·广安) 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2)x^{2}-3x + 1 = 0$ 有实数根,则 $a$ 的取值范围是【 】

A.$a\leq\frac{1}{4}$ 且 $a\neq - 2$
B.$a\leq\frac{1}{4}$
C.$a\lt\frac{1}{4}$ 且 $a\neq - 2$
D.$a\lt\frac{1}{4}$

A

根据题意，方程 $(a + 2)x^{2} - 3x + 1 = 0$ 是一元二次方程，所以二次项系数 $a + 2 \neq 0$，即 $a \neq -2$。
方程有实数根，则判别式 $\Delta \geq 0$。
计算判别式：
$\Delta = (-3)^{2} - 4 × (a + 2) × 1 = 9 - 4a - 8 = 1 - 4a$，
要求 $\Delta \geq 0$，即：
$1 - 4a \geq 0 \implies a \leq \frac{1}{4}$，
综合以上两个条件，得到 $a \leq \frac{1}{4}$ 且 $a \neq -2$。

14. (★★) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}+4x + k = 0$。
(1) 当 $k = 1$ 时,解这个方程；
(2) 若 $2x^{2}+4x + k = 0$ 的一个解是 $x = - 1$,求 $k$ 的值。

(1) 当 $k = 1$ 时，方程为 $2x^{2} + 4x + 1 = 0$。
这里 $a = 2, b = 4, c = 1$。
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 × 2 × 1 = 16 - 8 = 8$。
因为 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实数解。
解为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$。
(2) 已知方程 $2x^{2} + 4x + k = 0$ 的一个解是 $x = -1$。
将 $x = -1$ 代入方程，得 $2(-1)^{2} + 4(-1) + k = 0$。
即 $2 - 4 + k = 0$。
解得 $k = 2$。

15. (★★) 关于 $x$ 的方程 $(a + b)x^{2}+2cx - a + b = 0$,其中 $a,b,c$ 分别是 $\triangle ABC$ 的三边长。
(1) 若方程有两个相等的实数根,试判断 $\triangle ABC$ 的形状,并说明理由；
(2) 若 $\triangle ABC$ 为等边三角形,试求出这个方程的解。

(1) 直角三角形；(2) $x_1=0$，$x_2=-1$。

(1) △ABC是直角三角形。理由如下：
方程$(a + b)x^{2}+2cx - a + b = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(2c)^2-4(a+b)(-a+b)=0$，
即$4c^2-4(b^2-a^2)=0$，化简得$a^2+c^2=b^2$，
∴△ABC是直角三角形（∠B=90°）。
(2) ∵△ABC为等边三角形，∴$a=b=c＞0$，
代入方程得$(a+a)x^2+2ax -a+a=0$，即$2ax^2+2ax=0$，
∵$a≠0$，方程两边同除以$2a$得$x^2+x=0$，
解得$x(x+1)=0$，∴$x_1=0$，$x_2=-1$。