16. (★)(2024·西城区模拟)将方程$ x^{2}-6x+1= 0 $配方后,原方程可变形为【】
A.$ (x-3)^{2}= 8 $
B.$ (x-3)^{2}= -10 $
C.$ (x+3)^{2}= -10 $
D.$ (x+3)^{2}= 8 $

A

原方程为 $x^{2}-6x+1=0$，将常数项移到等号右边得 $x^{2}-6x=-1$。配方时，取一次项系数 $-6$ 的一半为 $-3$，平方得 $9$，两边加 $9$ 得 $x^{2}-6x+9=8$，即 $(x-3)^{2}=8$。

1. (★) 把 $2x^{2}= 3x + 5$ 化成一般形式后,其二次项系数为,一次项系数为,常数项为。

2，-3，-5

移项得$2x^{2}-3x-5=0$，二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为-5。

2. (★) 用配方法解一元二次方程：$2x^{2}-4x - 6 = 0$。

答题卡：
解：$2x^{2} - 4x - 6 = 0$，
二次项系数化为$1$，得$x^{2} - 2x - 3 = 0$，
移项，得$x^{2} - 2x = 3$，
配方，得$x^{2} - 2x + 1 = 3 + 1$，
即$(x - 1)^{2} = 4$，
开方，得$x - 1 = \pm 2$，
解得$x_{1} = 3$，$x_{2} = - 1$。

3. (★) 一般地,式子叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 根的判别式,通常用希腊字母表示。当时,方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 有两个不等的实数根；当时,方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 有两个相等的实数根；当时,方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 没有实数根。

$b^{2}-4ac$，$\Delta$，$\Delta＞ 0$，$\Delta = 0$，$\Delta＜ 0$

根据一元二次方程根的判别式相关知识，一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$根的判别式为$b^{2}-4ac$，通常用希腊字母$\Delta$表示。当$\Delta＞ 0$时，方程有两个不等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜ 0$时，方程没有实数根。

4. (★) 一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 在 $b^{2}-4ac\geq0$ 时的求根公式为。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$（$a \neq 0$），其求根公式可以通过配方法得到。
首先，将方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 改写为 $x^{2} + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。
接着，为了完成配方，我们在等式两边同时加上 $\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$，得到：
$x^{2} + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2} = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$
化简后，得到：
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}$
由于 $b^{2} - 4ac \geq 0$，我们可以开方，得到：
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
最后，解出 $x$，得到求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

5. (★) 一元二次方程 $x(x - 2)= 0$ 根的情况是【】
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

A

将方程 $x(x - 2)= 0$ 展开得 $x^{2}-2x=0$，对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，在方程$x^{2}-2x = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c = 0$，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×0=4\gt0$，所以方程有两个不等的实数根。

6. (★) 若一元二次方程 $mx^{2}+2x + 1 = 0$ 有实数解,则 $m$ 的取值范围是【】
A.$m\geq - 1$
B.$m\leq1$
C.$m\geq - 1$ 且 $m\neq0$
D.$m\leq1$ 且 $m\neq0$

D

一元二次方程 $mx^2 + 2x + 1 = 0$ 有实数解的条件是判别式 $\Delta \geq 0$，且 $m \neq 0$。
判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot m \cdot 1 = 4 - 4m$。
由 $\Delta \geq 0$，得 $4 - 4m \geq 0$，即 $m \leq 1$。
同时，方程为一元二次方程，故 $m \neq 0$。
综上，$m \leq 1$ 且 $m \neq 0$。

7. (★) 不解方程,判断方程 $\frac{1}{2}x^{2}-2x + 2 = 0$ 根的情况是。

有两个相等的实数根

将方程化为一般形式：$\frac{1}{2}x^{2}-2x + 2 = 0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$，$c=2$。计算判别式$\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4×\frac{1}{2}×2 = 4 - 4 = 0$。因为$\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根。

8. (★) 用公式法解方程 $4x^{2}-12x = 3$,得【】
A.$x= \frac{-3\pm\sqrt{6}}{2}$
B.$x= \frac{3\pm\sqrt{6}}{2}$
C.$x= \frac{-3\pm2\sqrt{3}}{2}$
D.$x= \frac{3\pm2\sqrt{3}}{2}$

D

方程化为一般形式：$4x^2 - 12x - 3 = 0$，其中$a=4$，$b=-12$，$c=-3$。判别式$\Delta = (-12)^2 - 4×4×(-3) = 144 + 48 = 192$。$x = \frac{12 \pm \sqrt{192}}{2×4} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$。