16. (★★) 用公式法解下列一元二次方程：
(1) $2x^{2}-x - 1 = 0$；
(2) $x^{2}+1.5 = - 3x$；
(3) $x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{2}= 0$；
(4) $(3y - 2)(y + 1)= - 1$。

(1) $2x^{2}-x - 1 = 0$
解：$a=2$，$b=-1$，$c=-1$
$\Delta =b^2-4ac=(-1)^2-4×2×(-1)=1+8=9＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm3}{4}$
$x_1=\frac{1+3}{4}=1$，$x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$
(2) $x^{2}+1.5 = - 3x$
解：整理得$x^2+3x+1.5=0$，即$2x^2+6x+3=0$（去小数）
$a=2$，$b=6$，$c=3$
$\Delta =6^2-4×2×3=36-24=12＞0$
$x=\frac{-6\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{-6\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{2}$
$x_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$
(3) $x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{2}= 0$
解：$a=1$，$b=-\sqrt{2}$，$c=\frac{1}{2}$
$\Delta =(-\sqrt{2})^2-4×1×\frac{1}{2}=2-2=0$
$x=\frac{\sqrt{2}\pm0}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$
(4) $(3y - 2)(y + 1)= - 1$
解：整理得$3y^2+3y-2y-2+1=0$，即$3y^2+y-1=0$
$a=3$，$b=1$，$c=-1$
$\Delta =1^2-4×3×(-1)=1+12=13＞0$
$y=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}$
$y_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$，$y_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$

17. (★★) 小明在解方程 $x^{2}-5x = 1$ 时出现了错误,解答过程如下：
$\because a = 1,b = - 5,c = 1$,(第一步)
$\therefore b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4×1×1 = 21$,(第二步)
$\therefore x= \frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$,(第三步)
$\therefore x_{1}= \frac{5+\sqrt{21}}{2},x_{2}= \frac{5-\sqrt{21}}{2}$。(第四步)
(1) 小明的解答过程是从第步开始出错的；
(2) 写出此题正确的解答过程。

（1）一。
（2）
首先，将原方程$x^{2} - 5x = 1$化为标准形式：
$x^{2} - 5x - 1 = 0$，
其中，$a = 1$，$b = -5$，$c = -1$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4 × 1 × (-1) = 25 + 4 = 29$，
应用求根公式求解：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{29}}{2}$，
得到两个解：
$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{29}}{2}, \quad x_{2} = \frac{5 - \sqrt{29}}{2}$。

18. (★★) (2024·河南) 若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{2}x^{2}-x + c = 0$ 有两个相等的实数根,则 $c$ 的值为。

$\frac{1}{2}$（或 对应填写形式，本题为填空题，直接填写$ \frac{1}{2}$）

对于方程 $\frac{1}{2}x^{2} - x + c = 0$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$，
其中，$a = \frac{1}{2}$，$b = -1$，$c$ 为常数项。
代入得：
$\Delta = (-1)^{2} - 4 × \frac{1}{2} × c = 1 - 2c$，
由题意，方程有两个相等的实数根，所以：
$\Delta = 0$，
即：
$1 - 2c = 0$，
解得：
$c = \frac{1}{2}$。

19. (★★) (2023·河南) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx - 8 = 0$ 的根的情况是【】
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

A

对于一元二次方程 $x^{2}+mx - 8 = 0$，其判别式 $\Delta = b^{2}-4ac$，这里 $a = 1$，$b = m$，$c = - 8$，则 $\Delta = m^{2}-4×1×(-8)=m^{2}+32$。
因为 $m^{2}\geqslant0$，所以 $m^{2}+32\gt0$，即 $\Delta\gt0$，所以方程有两个不相等的实数根。

20. (★★) (2021·邵阳) 在平面直角坐标系中,若直线 $y = - x + m$ 不经过第一象限,则关于 $x$ 的方程 $mx^{2}+x + 1 = 0$ 的实数根的个数为【】
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$1$ 或 $2$

D

1. 首先根据直线$y = -x + m$不经过第一象限，可得$m\leqslant0$。
2. 当$m = 0$时，方程$mx^{2}+x + 1 = 0$变为$x + 1 = 0$，是一元一次方程，有一个实数根。
3. 当$m\lt0$时，方程$mx^{2}+x + 1 = 0$是一元二次方程，其判别式$\Delta=1^{2}-4m×1 = 1 - 4m$，因为$m\lt0$，所以$\Delta=1 - 4m\gt0$，此时方程有两个不相等的实数根。
综合以上两种情况，方程$mx^{2}+x + 1 = 0$实数根的个数为$1$或$2$。