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等腰三角形的判定方法
1. 有相等的三角形是等腰三角形.
2. 有两个角的三角形是等腰三角形(简写成“”).
1. 有相等的三角形是等腰三角形.
2. 有两个角的三角形是等腰三角形(简写成“”).
答案
1.两边；2.相等；等角对等边
解析
1.根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，所以第一空应填两边。
2.根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”。
2.根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”。
【例题】如图，已知在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BP$，$CQ$是$\triangle ABC$两腰上的高，$BP$与$CQ$交于点$O$. 求证：$\triangle BCO$是等腰三角形.
答案
证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
∵BP，CQ是△ABC的高，
∴∠BQC=∠CPB=90°.
在△BQC和△CPB中，
∠BQC=∠CPB，∠QCB=∠PBC，BC=CB，
∴△BQC≌△CPB（AAS）.
∴∠QBC=∠PCB.
∴OB=OC（等角对等边）.
∴△BCO是等腰三角形.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
∵BP，CQ是△ABC的高，
∴∠BQC=∠CPB=90°.
在△BQC和△CPB中，
∠BQC=∠CPB，∠QCB=∠PBC，BC=CB，
∴△BQC≌△CPB（AAS）.
∴∠QBC=∠PCB.
∴OB=OC（等角对等边）.
∴△BCO是等腰三角形.
【变式】如图，一艘轮船在近海处由南向北航行，点$C$是灯塔，轮船在$A$处测得灯塔在其北偏西$38^{\circ}$方向上，轮船又从$A$向北航行$30$ n mile到达$B$处，测得灯塔在其北偏西$76^{\circ}$方向上.
(1) 求$\angle ACB$的度数；
(2) 轮船在$B$处时，到灯塔$C$的距离是多少？
(1) 求$\angle ACB$的度数；
(2) 轮船在$B$处时，到灯塔$C$的距离是多少？
答案
(1) 由题意知，轮船从A向北航行至B，AB=30 n mile。在A处，灯塔C在北偏西38°方向，故∠BAC=38°；在B处，灯塔C在北偏西76°方向，设B处正北方向为BM，则∠CBM=76°。
因为A、B在同一直线且方向正北，所以∠CBM是△ABC的外角，根据三角形外角性质：∠CBM=∠BAC+∠ACB。
则∠ACB=∠CBM-∠BAC=76°-38°=38°。
(2) 在△ABC中，∠BAC=38°，∠ACB=38°，所以∠BAC=∠ACB。
根据等腰三角形判定定理（等角对等边），得BC=AB。
因为AB=30 n mile，所以BC=30 n mile。
(1) 38°；(2) 30 n mile。
因为A、B在同一直线且方向正北，所以∠CBM是△ABC的外角，根据三角形外角性质：∠CBM=∠BAC+∠ACB。
则∠ACB=∠CBM-∠BAC=76°-38°=38°。
(2) 在△ABC中，∠BAC=38°，∠ACB=38°，所以∠BAC=∠ACB。
根据等腰三角形判定定理（等角对等边），得BC=AB。
因为AB=30 n mile，所以BC=30 n mile。
(1) 38°；(2) 30 n mile。
1. 下列三角形中，等腰三角形的个数是().
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
B
解析
第一个三角形：两边分别为5和5，所以是等腰三角形。
第二个三角形：两个角分别为$50°$和$35°$，根据三角形内角和定理，第三个角为$95°$，没有两个角相等，所以不是等腰三角形。
第三个三角形：两个角分别为$40°$和$100°$，根据三角形内角和定理，第三个角为$40°$，有两个$40°$的角，所以是等腰三角形。
第四个三角形：两个角分别为$90°$和$45°$，根据三角形内角和定理，第三个角为$45°$，有两个$45°$的角，所以是等腰三角形。
因此等腰三角形的个数是3。
第二个三角形：两个角分别为$50°$和$35°$，根据三角形内角和定理，第三个角为$95°$，没有两个角相等，所以不是等腰三角形。
第三个三角形：两个角分别为$40°$和$100°$，根据三角形内角和定理，第三个角为$40°$，有两个$40°$的角，所以是等腰三角形。
第四个三角形：两个角分别为$90°$和$45°$，根据三角形内角和定理，第三个角为$45°$，有两个$45°$的角，所以是等腰三角形。
因此等腰三角形的个数是3。
2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = \angle C$，$AB = 3$，则$AC$的长为().
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
在$\triangle ABC$中，因为$\angle B = \angle C$，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，所以$AC = AB$。已知$AB = 3$，因此$AC = 3$。
3. 在$\triangle ABC$中，$\angle A = 100^{\circ}$，当$\angle B = \_\_\_\_\_^{\circ}$时，$\triangle ABC$是等腰三角形.
答案
40
解析
在$\triangle ABC$中，$\angle A=100^{\circ}$。若$\triangle ABC$是等腰三角形，则有两种情况：
1. 当$\angle A$为顶角时，$\angle B=\angle C$。因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle B=(180^{\circ}-100^{\circ})÷2=40^{\circ}$。
2. 当$\angle A$为底角时，另一个底角也为$100^{\circ}$，则顶角为$180^{\circ}-100^{\circ}-100^{\circ}=-20^{\circ}$，不符合实际，舍去。
综上，$\angle B=40^{\circ}$。
1. 当$\angle A$为顶角时，$\angle B=\angle C$。因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle B=(180^{\circ}-100^{\circ})÷2=40^{\circ}$。
2. 当$\angle A$为底角时，另一个底角也为$100^{\circ}$，则顶角为$180^{\circ}-100^{\circ}-100^{\circ}=-20^{\circ}$，不符合实际，舍去。
综上，$\angle B=40^{\circ}$。
