4. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE$垂直平分$AB$，$DF$垂直平分$AC$.
求证：$\triangle DBC$是等腰三角形.

证明：
连接$AD$。
由于$DE$垂直平分$AB$，
根据垂直平分线的性质，得$DA = DB$。
由于$DF$垂直平分$AC$，
根据垂直平分线的性质，得$DA = DC$。
由上述两步，可得$DB = DC$。
因此，$\triangle DBC$是等腰三角形。

1. (2025昆明五华区期中)下列条件中，不能判定$\triangle ABC$是等腰三角形的是().

A.$a = 3$，$b = 3$，$c = 4$
B.$a:b:c = 2:3:4$
C.$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 80^{\circ}$
D.$\angle A:\angle B:\angle C = 1:1:2$

B

A. 由于$a = 3$，$b = 3$，$c = 4$，可以看出$a = b$，因此根据等腰三角形的定义，$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形，故此选项错误；
B. 由于$a:b:c = 2:3:4$，可以看出$a \neq b \neq c$，因此$\bigtriangleup ABC$不是等腰三角形，故此选项正确；
C. 由于$\angle B = 50{°}$，$\angle C = 80{°}$，可以通过计算得出$\angle A = 180{°} - 50{°} - 80{°} = 50{°}$，因此$\angle A = \angle B$，所以根据等腰三角形的性质，$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形，故此选项错误；
D. 由于$\angle A:\angle B:\angle C = 1:1:2$，设$\angle A = x{°}$，$\angle B = x{°}$，$\angle C = 2x{°}$，则$x + x + 2x = 180$，解得$x = 45{°}$，所以$\angle A = \angle B$，因此根据等腰三角形的性质，$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形，故此选项错误。

2. 如图，$\angle B = \angle C = 36^{\circ}$，$\angle ADE = \angle AED = 72^{\circ}$，则图中的等腰三角形有().

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

D

在△ABC中，∠B=∠C=36°，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形；
在△ADE中，∠ADE=∠AED=72°，∴AD=AE，△ADE是等腰三角形；
∠BAC=180°-∠B-∠C=108°，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=36°，
∠ADB=180°-∠ADE=108°（平角定义），在△ABD中，∠BAD=180°-∠B-∠ADB=36°=∠B，∴AD=BD，△ABD是等腰三角形；
∠AEC=180°-∠AED=108°（平角定义），在△AEC中，∠EAC=180°-∠C-∠AEC=36°=∠C，∴AE=EC，△AEC是等腰三角形；
∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠AEB=∠AED=72°（公共角），∴∠BAE=∠AEB，AB=BE，△ABE是等腰三角形；
∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，∠ADC=180°-∠ADE=108°（平角定义）错误，应为∠ADC=180°-∠ADB=72°，∠CAD=∠ADC=72°，AC=DC，△ADC是等腰三角形。
综上，共有6个等腰三角形。

3. (2025昆明官渡区期中)如图，在$\triangle ABC$中，$BD$，$CD$分别平分$\angle ABC$，$\angle ACB$，过点$D$作直线$EF$平行于$BC$，分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$，若$BE = 4$，$CF = 6$，则线段$EF$的长为().

A.4
B.6
C.8
D.10

D

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。
∵EF//BC，∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠ABD=∠EDB，∴△EBD为等腰三角形，∴ED=BE=4。
同理，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD。
∵EF//BC，∴∠FDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠ACD=∠FDC，∴△FCD为等腰三角形，∴FD=CF=6。
∵EF=ED+FD，∴EF=4+6=10。

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$BD \perp AC$于点$D$，$\angle A = 50^{\circ}$，$\angle CBD = 25^{\circ}$. 若$AC = 5$ cm，则$AB =$cm.

5

∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°。
∵∠CBD=25°，∴∠C=180°-∠BDC-∠CBD=180°-90°-25°=65°。
在△ABC中，∠A=50°，∠C=65°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-50°-65°=65°。
∴∠ABC=∠C，∴AB=AC。
∵AC=5cm，∴AB=5cm。

5. (2025昆明东川区期中)如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，点$D$是$BC$的中点，$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$.
求证：$\triangle ABC$是等腰三角形.

证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
∴∠B=∠C。
∴AB=AC（等角对等边）。
即△ABC是等腰三角形。

6. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$在第一象限，$OA$与$x$轴正半轴的夹角为$60^{\circ}$，点$P$是$x$轴上一动点，若以$P$，$O$，$A$为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点$P$共有().

A.2个
B.3个
C.4个
D.6个

A

设OA长度为a(a＞0)，点P在x轴上，分三种情况讨论等腰三角形：
1. OA=OP：OP=|p|=a，得P(a,0)（正半轴）或P(-a,0)（负半轴），共2点；
2. OA=AP：以A为圆心、OA为半径画圆，与x轴交于(0,0)（舍去，与O重合）和(a,0)（与情况1中P(a,0)重合）；
3. OP=AP：P在OA垂直平分线上，与x轴交于(a,0)（与情况1中P(a,0)重合）。
综上，唯一不重合的点为(a,0)和(-a,0)，共2个。