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一、识模
【模型】双外角平分线的夹角
【条件】BP平分$∠DBC$,CP平分$∠BCE$.
【结论】$∠P= 90^{\circ }-\frac {1}{2}∠A$.
证明:
【模型】双外角平分线的夹角
【条件】BP平分$∠DBC$,CP平分$∠BCE$.
【结论】$∠P= 90^{\circ }-\frac {1}{2}∠A$.
证明:
答案
证明过程如上述解析，证得$\angle P = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。
1. 如图,D为$△ABC$的两条外角平分线AD,CD的交点,M,N分别为BA,BC的延长线上的点,若$∠D= ∠B$,求$∠B$的度数.
答案
解:由双外角平分线夹角模型可得
$ \angle D = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle B .$又$ \because \angle D = \angle B , \therefore \angle B = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle B ,$
$ \therefore \angle B = 60 ^ { \circ } .$
$ \angle D = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle B .$又$ \because \angle D = \angle B , \therefore \angle B = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle B ,$
$ \therefore \angle B = 60 ^ { \circ } .$
2. 如图,在四边形ABCD中,E,F分别为AB,DC延长线上的点,BP平分$∠CBE$,CP平分$∠BCF$,若$∠BAD= 130^{\circ },∠ADC= 120^{\circ }$,则$∠P$的度数为____.
答案
55° 解:延长 BA,CD 交于点 G.
$ \because \angle BAD = 130 ^ { \circ }, \angle ADC = 120 ^ { \circ } $$,$ \therefore \angle GAD = 50 ^ { \circ }, \angle GDA = 60 ^ { \circ } $$,
$ \therefore \angle G = 70 ^ { \circ } $$.由双外角平分线夹角模型得$ \angle P = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle G $$ = 90 ^ { \circ } - 35 ^ { \circ } = 55 ^ { \circ } $$.
$ \because \angle BAD = 130 ^ { \circ }, \angle ADC = 120 ^ { \circ } $$,$ \therefore \angle GAD = 50 ^ { \circ }, \angle GDA = 60 ^ { \circ } $$,
$ \therefore \angle G = 70 ^ { \circ } $$.由双外角平分线夹角模型得$ \angle P = 90 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } \angle G $$ = 90 ^ { \circ } - 35 ^ { \circ } = 55 ^ { \circ } $$.
3. 如图,在$△ABC$中,E,F分别为AB,AC的延长线上的点,D为$△ABC$外一点,连接BD,CD,$∠A= α$.
(1)若$α=60^{\circ },∠DBC= \frac {1}{3}∠EBC,∠DCB= \frac {1}{3}∠FCB$,求$∠D$的度数;
(2)若$∠DBC= \frac {1}{n}∠EBC,∠DCB= \frac {1}{n}∠FCB$,直接写出$∠D$的度数(用含α,n的式子表示).
(1)若$α=60^{\circ },∠DBC= \frac {1}{3}∠EBC,∠DCB= \frac {1}{3}∠FCB$,求$∠D$的度数;
(2)若$∠DBC= \frac {1}{n}∠EBC,∠DCB= \frac {1}{n}∠FCB$,直接写出$∠D$的度数(用含α,n的式子表示).
答案
解:(1)$$ \angle D = 180 ^ { \circ } - ( \angle DBC + \angle DCB ) $$ = 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 3 } ( \angle EBC + \angle FCB ) $$ = 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 3 } ( 180 ^ { \circ } + \angle A ) $$ = 120 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 3 } \angle A $$ = 120 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 3 } \times 60 ^ { \circ } $$ = 100 ^ { \circ } $$;
(2)同(1)可得$$ \angle D = 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { n } ( 180 ^ { \circ } + \angle A ) = \frac { n - 1 } { n } \times 180 ^ { \circ } - \frac { \alpha } { n } $$.
(2)同(1)可得$$ \angle D = 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { n } ( 180 ^ { \circ } + \angle A ) = \frac { n - 1 } { n } \times 180 ^ { \circ } - \frac { \alpha } { n } $$.
