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一、识模
【模型】一内一外角平分线的夹角
【条件】BP平分∠ABC,CP平分∠ACD.
【结论】∠P= $\frac{1}{2}$∠A.
证明:
【模型】一内一外角平分线的夹角
【条件】BP平分∠ABC,CP平分∠ACD.
【结论】∠P= $\frac{1}{2}$∠A.
证明:
答案
证明过程如上述解析，通过角平分线性质、三角形外角性质，经过等式推导得出$\angle P = \frac{1}{2}\angle A$ 。
1. 如图,∠MON= 90°,点A,B分别在OM,ON上,BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D.求∠D的度数.
答案
解:∵AD平分∠BAO,BC平分∠ABN,
∴∠BAD=$\frac {1}{2}$∠BAO,
∠ABC=$\frac {1}{2}$∠ABN,
∴∠D=∠ABC−∠BAD
=$\frac {1}{2}$(∠ABN−∠BAO)
=$\frac {1}{2}$∠MON=$\frac {1}{2}$×90°
=45°.
∴∠BAD=$\frac {1}{2}$∠BAO,
∠ABC=$\frac {1}{2}$∠ABN,
∴∠D=∠ABC−∠BAD
=$\frac {1}{2}$(∠ABN−∠BAO)
=$\frac {1}{2}$∠MON=$\frac {1}{2}$×90°
=45°.
2. 如图,在△ABC中,D为BC延长线上一点,BE平分∠ABC,CF平分∠ACD,若∠BEF+∠CFE= 210°,则∠A的度数为______.
答案
60° 解:延长BE,CF交于点G,
则∠GEF+∠GFE=360°−210°
=150°,
∴∠G=30°,
由内外角平分线模型可知∠A=
2∠G=60°.
则∠GEF+∠GFE=360°−210°
=150°,
∴∠G=30°,
由内外角平分线模型可知∠A=
2∠G=60°.
3. 如图,在△ABC中,E为BC的延长线上的点,D为△ABC外一点,连接BD,CD,∠A=
(1)若α= 60°,∠DBC= $\frac{1}{3}$∠ABC,∠DCE= $\frac{1}{3}$∠ACE,求∠D的度数;
(2)若∠DBC= $\frac{1}{n}$∠ABC,∠DCE= $\frac{1}{n}$∠ACE,直接写出∠D的度数(用含α,n的式子表示).
(1)若α= 60°,∠DBC= $\frac{1}{3}$∠ABC,∠DCE= $\frac{1}{3}$∠ACE,求∠D的度数;
(2)若∠DBC= $\frac{1}{n}$∠ABC,∠DCE= $\frac{1}{n}$∠ACE,直接写出∠D的度数(用含α,n的式子表示).
答案
解:(1)∠D=∠DCE−∠DBC
=$\frac {1}{3}$∠ACE−$\frac {1}{3}$∠ABC
=$\frac {1}{3}$∠A=$\frac {1}{3}$×60°
=20°;
(2)同(1)可得∠D=$\frac {1}{n}$∠A=$\frac {α}{n}$.
=$\frac {1}{3}$∠ACE−$\frac {1}{3}$∠ABC
=$\frac {1}{3}$∠A=$\frac {1}{3}$×60°
=20°;
(2)同(1)可得∠D=$\frac {1}{n}$∠A=$\frac {α}{n}$.
