1. 如图,$ CD $,$ BE $ 是锐角 $ \triangle ABC $ 的高,且 $ CD $,$ BE $ 相交于点 $ P $。若 $ \angle A = 52^\circ $,求 $ \angle PBC + \angle PCB $

的度数。

解: ∵ CD, BE 是锐角△ABC 的高,
∴ ∠ADC = ∠AEB = 90°.
∵ ∠PBD = ∠ABE,
∴ ∠BPD = ∠A = 52°.
∵ ∠BPD = ∠PBC + ∠PCB,
∴ ∠PBC + ∠PCB = 52°.

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是高,$ BE $ 是角平分线,它们相交于点 $ F $,$ \angle BAC = 58^\circ $,$ \angle C = 72^\circ $。求

$ \angle DAC $ 和 $ \angle AFB $ 的度数。

解: ∵ AD 是△ABC 的高,
∴ ∠ADC = 90°.
∵ ∠BAC = 58°, ∠C = 72°,
∴ ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 50°,
∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠C = 18°.
∵ BE 是△ABC 的平分线,
∴ ∠DBF = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°,
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∴ ∠AFB = ∠DBF + ∠ADB = 115°.

3. 如图,$ \angle B ＜ \angle C $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ P $ 是 $ AD $ 延长线上一点,过点 $ P $ 作 $ PE \perp BC $ 于点 $ E $。求证：$ \angle P = \frac{\angle C - \angle B}{2} $。

证明: ∵ PE ⊥ BC,
∴ ∠PED = 90°,
∴ 2∠P = 180° - 2∠PDE.
∵ ∠PDE = ∠ADC = ∠B + ∠DAB,
2∠DAB = ∠BAC = 180° - (∠B + ∠C),
∴ 2∠P = 180° - 2∠B - 2∠DAB
= 180° - 2∠B - 180° + (∠B + ∠C)
= ∠C - ∠B,
∴ ∠P = $\frac{∠C - ∠B}{2}$.