一、识模(教材变式)

【模型】 双内角平分线的夹角
【条件】 BP 平分$∠ABC$,CP 平分$∠ACB$.
【结论】 $∠P= 90^{\circ }+\frac {1}{2}∠A$.
证明:

证明过程如上述解析。

1. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠ABC和∠BAC$的平分线交于点 D,$DE⊥DB$交 AC 的延长线于点 E. 求证:$∠ADE= ∠ADB.$

证明:由双内角平分线夹角模型知
$ \angle ADB = 90 ^ { \circ } + \frac { 1 } { 2 } \angle ACB = 135 ^ { \circ }. $
$ \because \angle BDE = 90 ^ { \circ }, $
$ \therefore \angle ADE = 360 ^ { \circ } - 135 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 135 ^ { \circ }, $
$ \therefore \angle ADE = \angle ADB. $

2. 如图,在四边形 ABCD 中,BP 平分$∠ABC$,CP 平分$∠BCD$,若$∠BAD= 110^{\circ },∠ADC= 130^{\circ }$,则$∠P$的度数为______.

$120 ^ { \circ }$ 解:延长 $BA$,$CD$ 交于点 $G$.
$ \because \angle BAD = 110 ^ { \circ }, \angle ADC = 130 ^ { \circ }, $
$ \therefore \angle GAD = 70 ^ { \circ }, \angle GDA = 50 ^ { \circ }, $
$ \therefore \angle G = 60 ^ { \circ }. $
由双内角平分线夹角模型知
$ \angle P = 90 ^ { \circ } + \frac { 1 } { 2 } \angle G = 120 ^ { \circ }. $

3. (教材变式)如图,D 为$△ABC$内一点,连接 BD,CD,若$∠DBC= \frac {1}{3}∠ABC,∠DCB= \frac {1}{3}∠ACB$,探究$∠D与∠A$之间的数量关系.

解:
$ \begin{aligned}\angle D &= 180 ^ { \circ } - ( \angle DBC + \angle DCB ) \\&= 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 3 } ( \angle ABC + \angle ACB ) \\&= 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 3 } ( 180 ^ { \circ } - \angle A ) \\&= 120 ^ { \circ } + \frac { 1 } { 3 } \angle A.\end{aligned} $