1.(新情境·现实生活)(2023·株洲)如图，一技术人员用刻度尺测量某三角形部件的尺寸。已知$\angle ACB=90^{\circ }$，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1cm，7cm，则CD的长为(
A.3.5cm
B.3cm
C.4.5cm
D.6cm
B
)A.3.5cm
B.3cm
C.4.5cm
D.6cm
答案
1.B
解析
∵点A，B对应的刻度为1cm，7cm，
∴AB的长度为7 - 1 = 6cm。
∵∠ACB = 90°，D为边AB的中点，
∴CD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×6 = 3cm。
答案：B
2. 如图，在$\triangle ABC$中，$BE\perp AC$于点E，$CF\perp AB$于点F，M为BC的中点，连接EF，EM，FM。若$EF=5$，$BC=8$，则$\triangle EFM$的周长是(
A.21
B.18
C.15
D.13
D
)A.21
B.18
C.15
D.13
答案
2. D
解析
证明：
∵ $ BE \perp AC $，$ CF \perp AB $，M为BC的中点，
∴ 在 $ Rt\triangle BEC $ 中，$ EM = \frac{1}{2}BC = 4 $；
在 $ Rt\triangle BFC $ 中，$ FM = \frac{1}{2}BC = 4 $。
∵ $ EF = 5 $，
∴ $ \triangle EFM $ 的周长为 $ EM + FM + EF = 4 + 4 + 5 = 13 $。
13
∵ $ BE \perp AC $，$ CF \perp AB $，M为BC的中点，
∴ 在 $ Rt\triangle BEC $ 中，$ EM = \frac{1}{2}BC = 4 $；
在 $ Rt\triangle BFC $ 中，$ FM = \frac{1}{2}BC = 4 $。
∵ $ EF = 5 $，
∴ $ \triangle EFM $ 的周长为 $ EM + FM + EF = 4 + 4 + 5 = 13 $。
13
3.(2024·陕西改编)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ }$，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中有
]
4
个直角三角形，有2
个等腰三角形。]
答案
3.4 2
4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=60^{\circ }$，$BD\perp AC$于点D，$DG// AB$，交BC于点G，点E在BC的延长线上，且$CE=CD$，连接DE。
(1)$\angle E$的度数为
(2)图中的等边三角形共有
]
(1)$\angle E$的度数为
30°
，$\angle BDE$的度数为120°
；(2)图中的等边三角形共有
2
个，分别是△ABC,△DGC
。]
答案
4. (1)30° 120° (2)2 △ABC,△DGC
解析
(1)在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle A=60^{\circ }$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle ACB=60^{\circ }$。因为$CE=CD$，所以$\angle CDE=\angle E$。又因为$\angle ACB=\angle CDE+\angle E=2\angle E$，所以$\angle E=30^{\circ }$。$BD\perp AC$，则$\angle BDC=90^{\circ }$，$\angle DCE=180^{\circ }-\angle ACB=120^{\circ }$，在$\triangle DCE$中，$\angle CDE=(180^{\circ }-120^{\circ })÷ 2=30^{\circ }$，所以$\angle BDE=\angle BDC+\angle CDE=90^{\circ }+30^{\circ }=120^{\circ }$。
(2)由(1)知$\triangle ABC$是等边三角形。因为$DG// AB$，所以$\angle DGC=\angle ABC=60^{\circ }$，$\angle GDC=\angle A=60^{\circ }$，所以$\triangle DGC$是等边三角形。图中的等边三角形共有2个，分别是$\triangle ABC$，$\triangle DGC$。
(1)$30^{\circ }$，$120^{\circ }$；(2)$2$，$\triangle ABC,\triangle DGC$
(2)由(1)知$\triangle ABC$是等边三角形。因为$DG// AB$，所以$\angle DGC=\angle ABC=60^{\circ }$，$\angle GDC=\angle A=60^{\circ }$，所以$\triangle DGC$是等边三角形。图中的等边三角形共有2个，分别是$\triangle ABC$，$\triangle DGC$。
(1)$30^{\circ }$，$120^{\circ }$；(2)$2$，$\triangle ABC,\triangle DGC$
5. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ }$，D是边AB上的中点，连接CD，将$\triangle ACD$沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有$CE\perp AB$，求$\angle E$的度数。
答案
5.
∵∠ACB=90°,D是边AB上的中点，
∴∠A+∠B=90°,
CD=AD,
∴∠A=∠ACD.
∵CD是折痕，
∴∠ACD=∠DCE,∠A=∠E.
∵CE⊥AB,
∴∠BCE+∠B=90°,
∴∠BCE=∠A,
∴∠BCE=∠ACD=∠DCE=$\frac{1}{3}$∠ACB=30°,
∴∠E=∠A=30°
∵∠ACB=90°,D是边AB上的中点，
∴∠A+∠B=90°,
CD=AD,
∴∠A=∠ACD.
∵CD是折痕，
∴∠ACD=∠DCE,∠A=∠E.
∵CE⊥AB,
∴∠BCE+∠B=90°,
∴∠BCE=∠A,
∴∠BCE=∠ACD=∠DCE=$\frac{1}{3}$∠ACB=30°,
∴∠E=∠A=30°
6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC=10$，$BC=8$，AD平分$\angle BAC$，交BC于点D，E为AC的中点，连接DE，则$\triangle CDE$的周长为(
A.20
B.13
C.14
D.12
C
)A.20
B.13
C.14
D.12
答案
6.C
解析
解：
∵在$\triangle ABC$中，$AB=AC=10$，AD平分$\angle BAC$，
∴AD是$\triangle ABC$的中线，$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
∵$BC=8$，
∴$CD=\frac{1}{2}×8=4$。
∵E为AC的中点，
∴$DE$是$\triangle ABC$的中位线，$DE=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}AC$。
∵$AB=AC=10$，
∴$DE=\frac{1}{2}×10=5$，$CE=\frac{1}{2}×10=5$。
$\triangle CDE$的周长为$CD+DE+CE=4+5+5=14$。
答案：C
∵在$\triangle ABC$中，$AB=AC=10$，AD平分$\angle BAC$，
∴AD是$\triangle ABC$的中线，$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
∵$BC=8$，
∴$CD=\frac{1}{2}×8=4$。
∵E为AC的中点，
∴$DE$是$\triangle ABC$的中位线，$DE=\frac{1}{2}AB$，$CE=\frac{1}{2}AC$。
∵$AB=AC=10$，
∴$DE=\frac{1}{2}×10=5$，$CE=\frac{1}{2}×10=5$。
$\triangle CDE$的周长为$CD+DE+CE=4+5+5=14$。
答案：C
