1. 一元二次方程$3x(x - 5) = 5(5 - x)$的根是()

A.$x_{1} = x_{2} = -\frac{5}{3}$
B.$x_{1} = x_{2} = 5$
C.$x_{1} = \frac{5}{3},x_{2} = 5$
D.$x_{1} = -\frac{5}{3},x_{2} = 5$

1. D

解：$3x(x - 5) = 5(5 - x)$
$3x(x - 5) + 5(x - 5) = 0$
$(x - 5)(3x + 5) = 0$
$x - 5 = 0$或$3x + 5 = 0$
$x_1 = 5$，$x_2 = -\dfrac{5}{3}$
答案：D

2. 方程$x^{2} - 2x - 24 = 0$的根是()

A.$x_{1} = 6,x_{2} = 4$
B.$x_{1} = 6,x_{2} = -4$
C.$x_{1} = -6,x_{2} = 4$
D.$x_{1} = -6,x_{2} = -4$

2. B

解：$x^{2}-2x-24=0$
$(x-6)(x+4)=0$
$x-6=0$或$x+4=0$
$x_{1}=6$，$x_{2}=-4$
B

3. (1)一元二次方程$(x - 2)(x + 7) = 0$的根是；
(2)(2024·滨州)方程$x^{2} - 4x = 0$的根为.

3. (1) $ x_{1}=2 $，$ x_{2}=-7 $ (2) $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=4 $

4. 一元二次方程$x^{2} + 3 - 2\sqrt{3}x = 0$的根是.

4. $ x_{1}=x_{2}=\sqrt{3} $

解：原方程可化为$x^{2} - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，即$(x - \sqrt{3})^{2} = 0$，解得$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$。

5. 关于$x$的方程$x^{2} + 4kx + 2k^{2} = 4$的一个解是$x = -2$，则$k$的值为.

5. 0或4

解：将$x = -2$代入方程$x^{2} + 4kx + 2k^{2} = 4$，得
$(-2)^{2} + 4k×(-2) + 2k^{2} = 4$
化简得
$4 - 8k + 2k^{2} = 4$
移项、合并同类项得
$2k^{2} - 8k = 0$
即
$2k(k - 4) = 0$
解得$k = 0$或$k = 4$
0或4

6. 用因式分解法解下列方程：
（1）$-4x^{2} + \sqrt{5}x = 0$；
（2）$36x^{2} + 6x + \frac{1}{4} = 0$；
（3）$x - 4 = (x - 4)^{2}$；
（4）$(3y - 7)^{2} - (y + 1)^{2} = 0$.

6. (1) $ x_{1}=0 $，$ x_{2}=\frac{\sqrt{5}}{4} $ (2) $ x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{12} $ (3) $ x_{1}=5 $，$ x_{2}=4 $ (4) $ y_{1}=\frac{3}{2} $，$ y_{2}=4 $

（1）$-4x^{2}+\sqrt{5}x=0$
$x(-4x+\sqrt{5})=0$
$x=0$或$-4x+\sqrt{5}=0$
$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}$
（2）$36x^{2}+6x+\frac{1}{4}=0$
$(6x+\frac{1}{2})^{2}=0$
$6x+\frac{1}{2}=0$
$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{12}$
（3）$x - 4=(x - 4)^{2}$
$(x - 4)^{2}-(x - 4)=0$
$(x - 4)(x - 4 - 1)=0$
$(x - 4)(x - 5)=0$
$x - 4=0$或$x - 5=0$
$x_{1}=4$，$x_{2}=5$
（4）$(3y - 7)^{2}-(y + 1)^{2}=0$
$(3y - 7 + y + 1)(3y - 7 - y - 1)=0$
$(4y - 6)(2y - 8)=0$
$4y - 6=0$或$2y - 8=0$
$y_{1}=\frac{3}{2}$，$y_{2}=4$

7. 已知关于$x$的一元二次方程$(k - 6)x^{2} + 6x + k^{2} - 6k = 0$的一个根是$x = 0$，则$k$的值是()

A.6
B.0
C.6或0
D.-6或0

7. B

将$x = 0$代入方程$(k - 6)x^{2} + 6x + k^{2} - 6k = 0$，得$k^{2} - 6k = 0$，即$k(k - 6)=0$，解得$k = 0$或$k = 6$。
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$k - 6\neq0$，即$k\neq6$。
综上，$k = 0$。
B

8. (2023·临沂改编)已知一元二次方程$x^{2} - 14x + 48 = 0$的两个根是菱形的两条对角线的长，则这个菱形的面积为()

A.12
B.20
C.24
D.48

8. C

设菱形两条对角线的长分别为$a$，$b$。
对于一元二次方程$x^{2}-14x + 48=0$，由韦达定理得$a + b=14$，$ab = 48$。
菱形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×48 = 24$。
C