1. 对下列代数式进行因式分解：
(1) $6x^{2}y - 8xy^{2} =$。
(2) $a^{2} - 14a + 49 =$。
(3) $16m^{2} - 9n^{2} =$。

1. (1) $ 2xy(3x - 4y) $ (2) $ (a - 7)^2 $ (3) $ (4m + 3n)(4m - 3n) $

【解析】
(1) 观察代数式$6x^{2}y - 8xy^{2}$，各项的公因式为$2xy$，提取公因式可得：$6x^{2}y - 8xy^{2}=2xy(3x - 4y)$；
(2) 代数式$a^{2} - 14a + 49$符合完全平方公式的逆用形式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=a$，$2ab=14a$即$b=7$，因此$a^{2} - 14a + 49=(a - 7)^2$；
(3) 代数式$16m^{2} - 9n^{2}$可变形为$(4m)^2-(3n)^2$，符合平方差公式的逆用形式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=4m$，$b=3n$，因此$16m^{2} - 9n^{2}=(4m + 3n)(4m - 3n)$。
【答案】
(1) $2xy(3x - 4y)$；(2) $(a - 7)^2$；(3) $(4m + 3n)(4m - 3n)$
【知识点】
提取公因式法因式分解、完全平方公式因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，涵盖提取公因式法和公式法，要求熟练掌握公因式的确定以及完全平方公式、平方差公式的逆用，是巩固因式分解核心知识点的典型基础题型。
【难度系数】
0.9

2. 阅读教科书中的本节内容后回答：
因式分解法是解一元二次方程的核心思想，将一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 通过因式分解转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，即 $A · B = 0$($A$，$B$ 分别是关于 $x$ 的一次因式)，然后根据“若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零”的原理，将原方程转化为两个一元一次方程或，解这两个一次方程就得到原方程的根。

2. $ A = 0 $ $ B = 0 $

【解析】
根据“若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零”的原理，当$A · B = 0$时，可将原方程转化为两个一元一次方程$A = 0$或$B = 0$。
【答案】
$A = 0$；$B = 0$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的核心原理，需牢记“乘积为零则至少一个因式为零”的关键结论，是运用因式分解法解方程的基础内容。
【难度系数】
0.9

3. (1) 因式分解法的概念：利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。它体现了一种“降次”的思想。
若 $abc = 0$，则或或。
(2) 用因式分解法解一元二次方程的步骤：
第一步：把方程整理成一元二次方程的一般形式：$ax^{2} + bx + c = 0(a ≠ 0)$；
第二步：将等式的左边进行因式分解，化成 $A · B = 0$ 的形式；
第三步：把方程转化成或的形式，然后解这个方程。
① 用提公因式法解方程 $x^{2} - 4x = 0$，得。
② 用平方差公式解方程 $x^{2} - 25 = 0$，得。
③ 用完全平方公式解方程 $x^{2} - 2x + 1 = 0$，得。

3. (1) $ a = 0 $ $ b = 0 $ $ c = 0 $ (2) $ A = 0 $ $ B = 0 $
① $ x_1 = 0 $，$ x_2 = 4 $ ② $ x_1 = 5 $，$ x_2 = -5 $ ③ $ x_1 = x_2 = 1 $

【解析】
(1) 根据几个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，所以若$abc = 0$，则$a = 0$或$b = 0$或$c = 0$；
(2) 当$A·B = 0$时，依据零乘积原理，可转化为$A = 0$或$B = 0$，进而解一元一次方程；
① 对$x^{2} - 4x = 0$提公因式得$x(x - 4) = 0$，则$x = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 4$；
② 对$x^{2} - 25 = 0$用平方差公式分解得$(x - 5)(x + 5) = 0$，则$x - 5 = 0$或$x + 5 = 0$，解得$x_1 = 5$，$x_2 = -5$；
③ 对$x^{2} - 2x + 1 = 0$用完全平方公式分解得$(x - 1)^2 = 0$，则$x - 1 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 1$。
【答案】
(1) $a = 0$；$b = 0$；$c = 0$
(2) $A = 0$；$B = 0$
① $x_1 = 0$，$x_2 = 4$
② $x_1 = 5$，$x_2 = -5$
③ $x_1 = x_2 = 1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积原理；因式分解公式
【点评】
本题围绕因式分解法解一元二次方程展开，涵盖概念、步骤及具体方法的应用，需理解“降次”思想，掌握零乘积原理和常见因式分解方法，是一元二次方程解法的基础内容。
【难度系数】
0.7

1. 方程 $x(x + 3) = 0$ 的根是()。

A.$x_{1} = x_{2} = 0$
B.$x_{1} = 3$，$x_{2} = -3$
C.$x_{1} = 0$，$x_{2} = 3$
D.$x_{1} = 0$，$x_{2} = -3$

1. D

【解析】
根据零乘积原理，若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0。对于方程$x(x + 3) = 0$，可得：
$x = 0$ 或 $x + 3 = 0$，
解得$x_{1} = 0$，$x_{2} = -3$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、零乘积定理
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，利用零乘积原理可直接求出方程的根，属于基础题，需熟练掌握此类解题方法。
【难度系数】
0.9

2. 用因式分解法解方程 $(x - 1)^{2} = 3(x - 1)$，下列化简正确的是()。

A.$(x + 1)^{2} = 0$
B.$(x - 1)(x - 3) = 0$
C.$(x - 1)(x - 4) = 0$
D.$x - 1 = 3$

2. C

【解析】
1. 移项，将方程右边的$3(x - 1)$移到左边，得：$(x - 1)^2 - 3(x - 1) = 0$；
2. 提取公因式$(x - 1)$，得：$(x - 1)[(x - 1) - 3] = 0$；
3. 化简括号内的式子，得：$(x - 1)(x - 4) = 0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是通过移项、提取公因式将方程转化为乘积为0的形式，注意不能直接两边除以$(x - 1)$，避免漏根。
【难度系数】
0.8