登录
17. 高空抛物严重影响人们的安全，即使是常见的小物件，一旦从高空落下，也会产生很大的破坏性，而且坠物落地时间很短，人们常避之不及。据研究，高空抛物下落的时间$t$(单位：$s$)与高度$h$(单位：$m$)近似满足公式$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$(不考虑风速的影响，$g \approx 10 m/s^2$)。
(1)求某物体从$40 m$(约$13$层楼)高处掉落到地面所用的时间(结果保留根号)。
(2)已知高空抛物动能(单位：$J$)$= 10 ×$物体质量(单位：$kg$)$×$高度(单位：$m$)，某质量为$0.2 kg$的玩具在高空被抛出后经过$4 s$落在地上，假设在玩具即将落地时有行人经过，那么这个玩具产生的动能会伤害到行人吗？请说明理由(注：无防护人体受到$65 J$的动能即会受到伤害)。
(1)求某物体从$40 m$(约$13$层楼)高处掉落到地面所用的时间(结果保留根号)。
(2)已知高空抛物动能(单位：$J$)$= 10 ×$物体质量(单位：$kg$)$×$高度(单位：$m$)，某质量为$0.2 kg$的玩具在高空被抛出后经过$4 s$落在地上，假设在玩具即将落地时有行人经过，那么这个玩具产生的动能会伤害到行人吗？请说明理由(注：无防护人体受到$65 J$的动能即会受到伤害)。
答案
(1) 将$h=40$，$g\approx10$代入公式$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$，得：
$t = \sqrt{\frac{2×40}{10}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$（s）
(2) 先根据公式求下落高度：
由$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$变形得$h = \frac{gt^2}{2}$，将$t=4$，$g\approx10$代入，得：
$h = \frac{10×4^2}{2} = 80$（m）
再计算动能：
动能$=10×0.2×80=160$（J）
因为$160J＞65J$，所以这个玩具产生的动能会伤害到行人。
18. 先阅读再求值。在计算$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$的过程中，小明和小莉的计算结果不一样：
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由。
(2)计算：$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$。
(3)若$a + 2\sqrt{15} = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值。
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由。
(2)计算：$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$。
(3)若$a + 2\sqrt{15} = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值。
答案
(1) 小莉的计算结果正确。理由：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$\sqrt{2}＜\sqrt{5}$，所以$\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2}=|\sqrt{2}-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-\sqrt{2}$，小明未考虑算术平方根的非负性，结果错误。
(2) $\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}×1+1^2}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1$（因为$\sqrt{5}＞1$，所以$|\sqrt{5}-1|=\sqrt{5}-1$）。
(3) 由$a + 2\sqrt{15} = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}$，可得$mn=15$，$a=m+n$。
因为$a$，$m$，$n$均为正整数，分两种情况：
①当$m=15$，$n=1$时，$a=15+1=16$；
②当$m=5$，$n=3$时，$a=5+3=8$。
