10. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE.求证：MD=ME.

10. 证明:$\because AB=AC,$
$\therefore ∠B=∠C.$
$\because M$是$BC$的中点，
$\therefore BM=CM.$
在$△ BDM$和$△ CEM$中$\{\begin{array}{l} BD=CE,\\ ∠B=∠C,\\ BM=CM,\end{array} $
$\therefore △ BDM≌ △ CEM,\therefore MD=ME.$

11. 已知在△ABC中，AB=AC.
（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连接AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF.

11. (1)作图如图.

(2)证明:在$△ ACF$和$△ AEF$中,
$\because AE=AB=AC,∠EAF=∠CAF,AF=AF,$
$\therefore △ ACF≌ △ AEF.$
$\therefore ∠E=∠ACF.$

12. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC.
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程.

12. 解:(1)①②;①③,
(2)选①②证明如下:在$△ BOE$和$△ COD$
中,
$\because ∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,$
$\therefore △ BOE≌ △ COD,$
$\therefore BO=CO,∠OBC=∠OCB,$
$\therefore ∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB$,即
$∠ABC=∠ACB,$
$\therefore AB=AC$,即$△ ABC$是等腰三角形.

13. 如图，∠ABC=90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.
（1）求证：∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？说明理由.

13. (1)证明:$\because △ ADE$是等腰三角形,F是$AE$
的中点,
$\therefore DF⊥AE,DF=AF=EF.$
$\because ∠ABC=90^{\circ },∠DCF,∠AMF$都与$∠MAC$
互余,
$\therefore ∠DCF=∠AMF.$
$\because ∠DFC=∠AFM=90^{\circ },$
$\therefore △ DFC≌ △ AFM,$
$\therefore CF=MF,$
$\therefore ∠FMC=∠FCM.$
(2)$AD⊥MC$.由(1)知$∠MFC=90^{\circ },FD=FE,$
$FM=FC$,
$\therefore ∠FDE=∠FMC=45^{\circ },$
$\therefore DE// CM,$
又$\because AD⊥DE$
$\therefore AD⊥MC.$