知识点
1. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点。
2. 含$45^{\circ}$角的直角三角形是三角形。

知识点 1. 到三条边的距离相等 2. 等腰直角

例1 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$，过点$O$作直线交$AB$，$AC$于点$E$，$F$，且$BE = EO$。
(1)判断$OF$与$CF$的大小关系，并说明理由；
(2)若$BC = 12$cm，点$O$到$AB$的距离为4 cm，求$△ OBC$的面积。

【点拨】(1)由$BE = EO$，根据等边对等角可得$∠ EBO = ∠ EOB$。在$△ ABC$中，由$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$，可得$∠ EBO = ∠ OBC$，从而可证明$EF// BC$，则可证得$∠ FOC = ∠ OCB = ∠ OCF$。由等角对等边即可证得$OF = CF$。
(2)由点$O$到$AB$的距离为4 cm，根据角平分线的性质可得点$O$到$BC$的距离为4 cm，从而可求得$△ OBC$的面积。
【解】(1)$OF = CF$。理由如下：
$\because BE = EO$，
$\therefore ∠ EBO = ∠ EOB$。
$\because$在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$，
$\therefore ∠ EBO = ∠ OBC$，$∠ OCB = ∠ OCF$。
$\therefore ∠ EOB = ∠ OBC$。
$\therefore EF// BC$。
$\therefore ∠ FOC = ∠ OCB = ∠ OCF$。
$\therefore OF = CF$。
(2)如图，过点$O$作$OM⊥ BC$于点$M$，作$ON⊥ AB$于点$N$。
$\because$在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$，点$O$到$AB$的距离为4 cm，

$\therefore ON = OM = 4$cm。
$\therefore S_{△ OBC} = \frac{1}{2}BC· OM$
$= \frac{1}{2}× 12× 4$
$= 24$($cm^{2}$)。

【变式训练1】如图，$∠ AOB = 90^{\circ}$，$OM$是$∠ AOB$的平分线。将三角板的直角顶点$P$在射线$OM$上滑动，两条直角边分别与$OA$，$OB$交于点$C$，$D$，则$PC$和$PD$有怎样的数量关系？请说明理由。

解：PC=PD。理由如下：如图，过点 P 分别作 PE⊥OB 于点 E，PF⊥OA 于点 F，则∠CFP=∠DEP=90°。
又
∵OM 是∠AOB 的平分线，
∴PE=PF。
∵∠CFP=∠DEP=90°，∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°。
∴∠2+∠FPD=90°。
又
∵∠1+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2。
在△CFP 和△DEP 中，
∵{∠CFP=∠DEP，PE=PF，∠1=∠2，
∴△CFP≌△DEP(ASA)。
∴PC=PD。