例2 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$P$，$PE⊥ AB$，$PF⊥ AC$，垂足分别为点$E$，$F$。
(1)求证：$PE = PF$。
(2)连接$AP$，若$∠ BPC = 115^{\circ}$，求$∠ EAP$的度数。

【点拨】本题考查角平分线的性质定理以及判定定理。
【解】(1)如图，过点$P$作$PD⊥ BC$于点$D$。

$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$P$，$PE⊥ AB$，$PF⊥ AC$，
$\therefore PD = PE$，$PD = PF$。
$\therefore PE = PF$。
(2)$\because PE = PF$，$PE⊥ AB$，$PF⊥ AC$，
$\therefore AP$平分$∠ BAC$。
$\because ∠ BPC = 115^{\circ}$，
$\therefore ∠ PBC + ∠ PCB = 180^{\circ} - ∠ BPC = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$。
$\because ∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$P$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ PBC + ∠ PCB) = 130^{\circ}$。
$\therefore ∠ BAC = 180^{\circ} - (∠ ABC + ∠ ACB)$
$= 50^{\circ}$。
$\therefore ∠ EAP = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}× 50^{\circ} = 25^{\circ}$。

(1)过点$P$作$PD⊥ BC$于点$D$。
$\because BP$平分$∠ ABC$，$PE⊥ AB$，$PD⊥ BC$，
$\therefore PE = PD$。
$\because CP$平分$∠ ACB$，$PF⊥ AC$，$PD⊥ BC$，
$\therefore PF = PD$。
$\therefore PE = PF$。
(2)$\because PE = PF$，$PE⊥ AB$，$PF⊥ AC$，
$\therefore AP$平分$∠ BAC$。
$\because ∠ BPC = 115^{\circ}$，
$\therefore ∠ PBC + ∠ PCB = 180^{\circ}-∠ BPC = 180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$。
$\because BP$平分$∠ ABC$，$CP$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ ABC = 2∠ PBC$，$∠ ACB = 2∠ PCB$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ PBC + ∠ PCB)=2×65^{\circ}=130^{\circ}$。
$\therefore ∠ BAC = 180^{\circ}-(∠ ABC + ∠ ACB)=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$。
$\because AP$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAP=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50^{\circ}=25^{\circ}$。

【变式训练2】如图，在$△ ABC$中，$AP$，$CP$分别是$△ ABC$的外角$∠ MAC$和$∠ NCA$的平分线。求证：
(1)$BP$为$∠ MBN$的平分线。
(2)$∠ PAC + ∠ PCA = ∠ ABC + ∠ APC$。

证明：(1)如图，过点 P 作 PD⊥BM 于点 D，作 PE⊥AC 于点 E，作 PF⊥BN 于点 F。

∵AP，CP 分别是△ABC 的外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，
∴PD=PE，PE=PF。
∴PD=PF。
又
∵PD⊥BM，PF⊥BN，
∴BP 为∠MBN 的平分线。
(2)由三角形外角的性质，得∠MAP=∠ABP+∠APB，∠NCP=∠CBP+∠BPC。
∵AP，CP 分别是∠MAC 和∠NCA 的平分线，
∴∠PAC=∠MAP=∠ABP+∠APB，∠PCA=∠NCP=∠CBP+∠BPC。
∴∠PAC+∠PCA=∠ABP+∠APB+∠CBP+∠BPC=∠ABC+∠APC。