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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线$BE$和其外角的平分线$BD$的夹角是(
A.$60^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
B
)A.$60^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
答案
1. B
解析
证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC。
∵BD平分∠ABF（∠ABC的外角），
∴∠ABD=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABF。
∵∠ABC+∠ABF=180°（平角定义），
∴∠EBC+∠DBF=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ABF)=90°。
即BE与BD的夹角为90°。
答案：B
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC。
∵BD平分∠ABF（∠ABC的外角），
∴∠ABD=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABF。
∵∠ABC+∠ABF=180°（平角定义），
∴∠EBC+∠DBF=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ABF)=90°。
即BE与BD的夹角为90°。
答案：B
2. 如图，$OP$平分$∠ MON$，$PA⊥ ON$于点$A$，点$Q$是射线$OM$上的一个动点。若$PA = 5$，则$PQ$的长不可能是(
A.4
B.5
C.6
D.7
A
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
2. A
解析
解：
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=5，
∴点P到OM的距离为5，
∵点Q是射线OM上的动点，
∴PQ≥5，
∴PQ的长不可能是4。
答案：A
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=5，
∴点P到OM的距离为5，
∵点Q是射线OM上的动点，
∴PQ≥5，
∴PQ的长不可能是4。
答案：A
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC$和$∠ ACB$的平分线交于点$O$，连接$OB$。若$AB = 6$，$BC = 9$，$S_{△ ABO} = 6$，$S_{△ BCO}$等于(
A.9
B.18
C.13.5
D.54
A
)A.9
B.18
C.13.5
D.54
答案
3. A
解析
证明：过点$O$作$OD⊥ AB$于$D$，$OE⊥ BC$于$E$。
因为$AO$平分$∠ BAC$，$CO$平分$∠ ACB$，所以点$O$到$AB$、$BC$、$AC$的距离相等，即$OD = OE$。
已知$S_{△ ABO}=6$，$AB = 6$，则$\frac{1}{2}× AB× OD=6$，即$\frac{1}{2}×6× OD = 6$，解得$OD = 2$，所以$OE=2$。
$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}× BC× OE=\frac{1}{2}×9×2 = 9$。
A
因为$AO$平分$∠ BAC$，$CO$平分$∠ ACB$，所以点$O$到$AB$、$BC$、$AC$的距离相等，即$OD = OE$。
已知$S_{△ ABO}=6$，$AB = 6$，则$\frac{1}{2}× AB× OD=6$，即$\frac{1}{2}×6× OD = 6$，解得$OD = 2$，所以$OE=2$。
$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}× BC× OE=\frac{1}{2}×9×2 = 9$。
A
4. 如图，在$△ ABC$中，已知$∠ ACB = 90^{\circ}$，点$O$为三条角平分线的交点，$OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，垂足分别为点$D$，$E$，$F$，且$AB = 10$，$BC = 8$，则点$O$到边$AB$，$AC$和$BC$的距离分别是(
A.2，2，2
B.3，3，3
C.4，4，4
D.2，3，5
A
)A.2，2，2
B.3，3，3
C.4，4，4
D.2，3，5
答案
4. A
解析
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10$，$BC=8$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设点$O$到三边的距离为$r$，
$\because O$为角平分线交点，$\therefore OD=OE=OF=r$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}AC· r=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)r$，
即$24=\frac{1}{2}(10+8+6)r$，解得$r=2$。
$\therefore$点$O$到$AB$，$AC$，$BC$的距离均为$2$。
答案：A
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
设点$O$到三边的距离为$r$，
$\because O$为角平分线交点，$\therefore OD=OE=OF=r$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
又$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}BC· r+\frac{1}{2}AC· r=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)r$，
即$24=\frac{1}{2}(10+8+6)r$，解得$r=2$。
$\therefore$点$O$到$AB$，$AC$，$BC$的距离均为$2$。
答案：A
5. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$。以顶点$A$为圆心、适当长为半径画弧，分别交$AC$，$AB$于点$M$，$N$；再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点$P$，连接$AP$交$BC$于点$D$。若$CD = 5$，$AB = 18$，则$△ ABD$的面积是(
A.15
B.30
C.45
D.60
C
)A.15
B.30
C.45
D.60
答案
5. C
解析
证明：由作图步骤可知，AP是∠CAB的平分线。
过点D作DE⊥AB于点E。
∵∠C=90°，DE⊥AB，AP平分∠CAB，
∴DE=CD=5。
∵AB=18，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE=$\frac{1}{2}$×18×5=45。
答案：C
过点D作DE⊥AB于点E。
∵∠C=90°，DE⊥AB，AP平分∠CAB，
∴DE=CD=5。
∵AB=18，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$×AB×DE=$\frac{1}{2}$×18×5=45。
答案：C
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，点$P$在$AB$上，连接$DP$。若$CD = 5$cm，则$DP$的最小值为
5
cm。答案
6. 5
解析
解：当$DP ⊥ AB$时，$DP$的值最小。
因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线，$∠ C = 90°$，$DP ⊥ AB$，
所以$DP = CD$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又因为$CD = 5\ \mathrm{cm}$，
所以$DP$的最小值为$5\ \mathrm{cm}$。
5
因为$AD$是$∠ BAC$的角平分线，$∠ C = 90°$，$DP ⊥ AB$，
所以$DP = CD$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又因为$CD = 5\ \mathrm{cm}$，
所以$DP$的最小值为$5\ \mathrm{cm}$。
5
7. 如图，$△ ABC$的两条角平分线交于点$O$，$OD⊥ AB$于点$D$。若$OD = 2$，$△ ABC$的周长为8，则$S_{△ ABC} =$
8
。答案
7. 8
解析
证明：连接 $OC$，过点 $O$ 作 $OE ⊥ BC$ 于点 $E$，$OF ⊥ AC$ 于点 $F$。
因为点 $O$ 是 $△ ABC$ 两条角平分线的交点，且 $OD ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，所以 $OD = OE = OF = 2$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}\\&=\frac{1}{2}AB · OD + \frac{1}{2}BC · OE + \frac{1}{2}AC · OF\\&=\frac{1}{2} × 2 × (AB + BC + AC)\\&=\frac{1}{2} × 2 × 8\\&=8\end{aligned}$
故答案为 $8$。
因为点 $O$ 是 $△ ABC$ 两条角平分线的交点，且 $OD ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，所以 $OD = OE = OF = 2$。
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}\\&=\frac{1}{2}AB · OD + \frac{1}{2}BC · OE + \frac{1}{2}AC · OF\\&=\frac{1}{2} × 2 × (AB + BC + AC)\\&=\frac{1}{2} × 2 × 8\\&=8\end{aligned}$
故答案为 $8$。
8. 如图，点$D$是$△ ABC$的两个外角的平分线的交点。已知下列说法：①$AD = CD$；②点$D$到$AB$，$BC$的距离相等；③点$D$到$△ ABC$三边的距离相等；④点$D$在$∠ B$的平分线上。其中说法正确的是
②③④
(填序号)。答案
8. ②③④
解析
证明：
∵点$D$是$△ ABC$两个外角的平分线的交点，
∴点$D$到$AB$、$BC$、$AC$所在直线的距离相等（角平分线上的点到角两边距离相等），
∴点$D$到$△ ABC$三边的距离相等，②③正确；
又
∵点$D$到$AB$、$BC$的距离相等，
∴点$D$在$∠ B$的平分线上，④正确；
无法证明$AD = CD$，①错误。
综上，正确的是②③④。
②③④
∵点$D$是$△ ABC$两个外角的平分线的交点，
∴点$D$到$AB$、$BC$、$AC$所在直线的距离相等（角平分线上的点到角两边距离相等），
∴点$D$到$△ ABC$三边的距离相等，②③正确；
又
∵点$D$到$AB$、$BC$的距离相等，
∴点$D$在$∠ B$的平分线上，④正确；
无法证明$AD = CD$，①错误。
综上，正确的是②③④。
②③④
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AD$平分$∠ BAC$。若$BC = 10$，且$BD:CD = 3:2$，求点$D$到边$AB$的距离。
答案
9. 4
解析
解：过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$。
因为$BC = 10$，$BD:CD = 3:2$，所以$CD=\dfrac{2}{3 + 2}× BC=\dfrac{2}{5}×10 = 4$。
因为$AD$平分$∠ BAC$，$∠ C = 90^{\circ}$，$DE ⊥ AB$，所以$DE=CD = 4$。
即点$D$到边$AB$的距离为$4$。
因为$BC = 10$，$BD:CD = 3:2$，所以$CD=\dfrac{2}{3 + 2}× BC=\dfrac{2}{5}×10 = 4$。
因为$AD$平分$∠ BAC$，$∠ C = 90^{\circ}$，$DE ⊥ AB$，所以$DE=CD = 4$。
即点$D$到边$AB$的距离为$4$。
