1. 到 $ △ ABC $ 的三个顶点距离相等的点是()

A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边上高的交点

1. C

2. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ B = 50^{\circ} $，$ ∠ C = 30^{\circ} $。分别以点 $ A $ 和点 $ C $ 为圆心，以大于 $ \dfrac{1}{2}AC $ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $ M $，$ N $，作直线 $ MN $ 交 $ BC $ 于点 $ D $，连接 $ AD $，则 $ ∠ BAD $ 的度数为()


A.$ 50^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $

2. C

证明：在$△ ABC$中，$∠ B=50^{\circ}$，$∠ C=30^{\circ}$，
$∠ BAC=180^{\circ}-∠ B-∠ C=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ}=100^{\circ}$。
由作图可知，$MN$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore DA=DC$，
$\therefore ∠ DAC=∠ C=30^{\circ}$，
$∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}$。
答案：C

3. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ B = 90^{\circ} $，$ ∠ A = 30^{\circ} $，斜边 $ AC $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ D $，垂足为点 $ E $，连接 $ CD $。若 $ BD = \sqrt{3} $，则 $ AC $ 的长度是()


A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ 6 $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ 12 $

3. B

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90^{\circ}$，$∠ A=30^{\circ}$，
$\therefore ∠ ACB=60^{\circ}$，$AC=2BC$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对直角边是斜边的一半）。
$\because DE$垂直平分$AC$，
$\therefore AD=CD$（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
$\therefore ∠ ACD=∠ A=30^{\circ}$，
$\therefore ∠ BCD=∠ ACB - ∠ ACD=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ B=90^{\circ}$，$∠ BCD=30^{\circ}$，$BD=\sqrt{3}$，
$\therefore CD=2BD=2\sqrt{3}$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对直角边是斜边的一半），
$\therefore BC=\sqrt{CD^{2}-BD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{12 - 3}=\sqrt{9}=3$，
$\therefore AC=2BC=6$。
B

4. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ACB $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ A = 15^{\circ} $，$ AB $ 的垂直平分线与 $ AC $ 交于点 $ D $，与 $ AB $ 交于点 $ E $，连接 $ BD $。若 $ AD = 12 $，则 $ BC = $。

4. 6

解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=12，
∴∠A=∠ABD=15°，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=75°，
∴∠DBC=∠ABC - ∠ABD=75° - 15°=60°，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×12=6。
6

5. 在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，边 $ AB $ 的垂直平分线 $ DM $ 交直线 $ BC $ 于点 $ M $，交 $ AB $ 于点 $ D $。若 $ CA = CM $，则 $ ∠ ABC $ 的度数为。

5. 36°或72°

解：设$∠ABC = x$。
情况一：点$M$在$BC$延长线上
$AB = AC$，则$∠ACB = x$，$∠BAC = 180° - 2x$。
$DM$垂直平分$AB$，故$MA = MB$，$∠MAB = ∠ABC = x$。
$∠MAC = ∠MAB + ∠BAC = x + (180° - 2x) = 180° - x$。
$CA = CM$，则$∠CMA = ∠MAC = 180° - x$。
在$△MAC$中：$∠ACB = ∠CMA + ∠MAC$，即$x = (180° - x) + (180° - x)$，解得$x = 120°$（舍，三角形内角和超180°）。
情况二：点$M$在$BC$上
$∠BAC = 180° - 2x$，$MA = MB$，$∠MAB = x$，$∠MAC = ∠BAC - ∠MAB = (180° - 2x) - x = 180° - 3x$。
$CA = CM$，$∠CMA = ∠MAC = 180° - 3x$。
在$△CMA$中：$∠ACB = ∠CMA + ∠MAC$，即$x = 2(180° - 3x)$，解得$x = \frac{360°}{7}$（舍，非整数）。
情况三：点$M$在$CB$延长线上
$∠BAC = 180° - 2x$，$MA = MB$，$∠MAB = x$，$∠MAC = ∠MAB - ∠BAC = x - (180° - 2x) = 3x - 180°$。
$CA = CM$，$∠CMA = ∠MAC = 3x - 180°$。
在$△ABC$中，$∠ACB = x$，则$∠ACM = 180° - x$。
在$△CMA$中：$∠ACM + ∠CMA + ∠MAC = 180°$，即$180° - x + 2(3x - 180°) = 180°$，解得$x = 72°$。
情况四：$∠BAC$为钝角，点$M$在$BC$上
$∠BAC = 180° - 2x$（$x ＜ 45°$），$MA = MB$，$∠MAB = x$，$∠MAC = ∠BAC - ∠MAB = 180° - 3x$。
$CA = CM$，$∠CMA = ∠MAC = 180° - 3x$。
$∠ACB = x$，则$∠CMA + ∠MAC = x$，即$2(180° - 3x) = x$，解得$x = 36°$。
综上，$∠ABC = 36°$或$72°$。
36°或72°

6. 如图，在钝角三角形 $ ABC $ 中，$ DM $，$ EN $ 分别垂直平分边 $ AB $，$ AC $，交 $ BC $ 于点 $ M $，$ N $，$ DM $ 与 $ EN $ 在 $ BC $ 的下方交于点 $ F $。若 $ ∠ F = 80^{\circ} $，则 $ ∠ MAN $ 的度数为。

6. 20°

证明：连接AF。
∵DM垂直平分AB，
∴AM=BM，∠ADF=90°，
∴∠B=∠BAM。
∵EN垂直平分AC，
∴AN=CN，∠AEN=90°，
∴∠C=∠CAN。
在四边形ADFE中，∠ADF=∠AEF=90°，∠F=80°，
∴∠DAE=360°-∠ADF-∠AEF-∠F=360°-90°-90°-80°=100°，
即∠BAC=100°。
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=80°，
∴∠BAM+∠CAN=80°，
∴∠MAN=∠BAC-(∠BAM+∠CAN)=100°-80°=20°。
20°

7. 如图，某旅游景区内有一块三角形绿地 $ ABC $。现要在道路 $ AB $ 的边缘建一个休息点 $ M $，使它到 $ A $，$ C $ 两个点的距离相等，请在图中确定休息点 $ M $ 的位置。

7. 解:如图,作AC的垂直平分线交AB于点M,则点M即为所求。

8. 如图，直线 $ l $ 是线段 $ AB $ 的中垂线，点 $ P $ 在直线 $ l $ 的右侧，则点 $ P $ 到 $ A $，$ B $ 的距离有何关系？请写出你的结论，并说明理由。

8. 解:PA＞PB。理由如下:
如图,连接AP。
∵点P在l的右侧,

∴AP一定与l交于一点C。
连接BC,BP。
∵CA=CB,
∴AP=CA+CP=CB+CP＞PB,
即PA＞PB。