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例 1 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = BC $，$ DE $ 垂直平分 $ BC $，$ CD $ 平分 $ ∠ ACB $，求 $ ∠ B $ 的度数。
答案
设 $∠ B = x°$。
$\because DE$ 垂直平分 $BC$，
$\therefore ∠ DCB = ∠ B = x°$。
$\because CD$ 平分 $∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ DCB = x°$。
$\because AB = BC$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACB = 2x°$。
在 $△ ABC$ 中，$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$。
$\therefore 2x° + x° + 2x° = 180°$，
解得 $x = 36$，
即 $∠ B$ 的度数为 $36°$。
$\because DE$ 垂直平分 $BC$，
$\therefore ∠ DCB = ∠ B = x°$。
$\because CD$ 平分 $∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ DCB = x°$。
$\because AB = BC$，
$\therefore ∠ A = ∠ ACB = 2x°$。
在 $△ ABC$ 中，$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$。
$\therefore 2x° + x° + 2x° = 180°$，
解得 $x = 36$，
即 $∠ B$ 的度数为 $36°$。
【变式训练 1】如图，在 $ △ ABC $ 中按以下步骤作图：①分别以点 $ B $，$ C $ 为圆心，以大于 $ \dfrac{1}{2}BC $ 的长为半径作弧，两弧相交于 $ M $，$ N $ 两点；②作直线 $ MN $ 交 $ AB $ 于点 $ D $，连接 $ CD $。若 $ CD = AC $，$ ∠ A = 50^{\circ} $，则 $ ∠ ACB $ 的度数为(
A.$ 90^{\circ} $
B.$ 95^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 105^{\circ} $
D
)A.$ 90^{\circ} $
B.$ 95^{\circ} $
C.$ 100^{\circ} $
D.$ 105^{\circ} $
答案
变式训练1 D
解析
证明：由作图步骤可知，MN是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB。
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°。
∵∠ADC是△DBC的外角，
∴∠ADC=∠DBC+∠DCB=2∠DCB，
∴∠DCB=25°。
在△ADC中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-50°=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°。
答案：D
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB。
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°。
∵∠ADC是△DBC的外角，
∴∠ADC=∠DBC+∠DCB=2∠DCB，
∴∠DCB=25°。
在△ADC中，∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-50°-50°=80°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=80°+25°=105°。
答案：D
