课前预习

求解这个方程组，再代入原方程组中的一个方程，求出第三
个未知数。|
困惑疑问：

1.三 一次方程组 2.二

【分析】
要解决这道预习填空题，我们可以从三元一次方程组的定义和求解思路入手：
1. 对于第一个知识点，回忆三元一次方程组的定义，抓住“三元”即三个未知数，以及“一次方程组”这个核心要素来填空；
2. 对于第二个知识点，三元一次方程组的求解关键是消元，通过消去一个未知数，把三元的方程组转化为我们已经学过的二元一次方程组来求解，以此确定填空内容。
【解析】
1. 根据三元一次方程组的定义：在整个方程组中含有三个未知数的一次方程组，叫作三元一次方程组，所以第一个空填“三”，第二个空填“一次方程组”；
2. 三元一次方程组的求解思路是消元，先通过消元操作将三元一次方程组转化为二元一次方程组，求解二元一次方程组后，再代入原方程求出第三个未知数，因此这里填“二”。
【答案】
1.三 一次方程组 2.二
【知识点】
三元一次方程组定义、三元一次方程组解法思路
【点评】
本题考查三元一次方程组的基础概念与求解核心思路，是学习三元一次方程组的入门内容，明确消元思想是掌握这类方程组解法的关键。
【难度系数】
0.9

知识点 解三元一次方程组的基本思路
解三元一次方程组的基本思路是什么?

消元,将多元方程转化为一元方程。

【分析】
我们思考解三元一次方程组的思路时，可以先回忆解二元一次方程组的方法，二元一次方程组是通过消元转化为一元一次方程求解。同理，三元一次方程组有三个未知数，无法直接求解，核心思路就是通过消元逐步减少未知数数量，先把三元转化为二元，再把二元转化为一元，最终通过解一元一次方程得到所有未知数的值，本质是将复杂的多元方程转化为简单的一元方程。
【解析】
解三元一次方程组的基本思路是消元，可通过代入消元法或加减消元法，先消去一个未知数，把三元一次方程组转化为二元一次方程组；再消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，解出一元一次方程的解后，逐步回代求出另外两个未知数的值，整个过程核心是把多元方程转化为一元方程求解。
【答案】
消元,将多元方程转化为一元方程。
【知识点】
三元一次方程组消元思路
【点评】
消元是解多元一次方程组的核心思想，不管是二元还是三元一次方程组，都通过消元转化为已学的一元一次方程求解，掌握这一思路是解决各类多元一次方程组的基础。
【难度系数】
0.9

1. 解三元一次方程组：$\begin{cases} x+y+z=15,\\ 2x+3y-z=9,\\ 5x-4y-z=0_{\circ} \end{cases}$

方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=3,\\ z=8。\\ \end{cases}$

【分析】
解三元一次方程组的关键是通过消元将其转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。观察本题方程组，发现方程①中z的系数为1，方程②、③中z的系数为-1，适合用加减消元法消去z：先将方程①分别与方程②、③相加，得到只含x、y的两个二元一次方程，组成新的方程组；再解这个二元一次方程组求出x、y的值；最后将x、y的值代入原方程求出z的值，最后验证解是否满足所有方程即可。
【解析】
首先给方程组中的方程编号：
$\begin{cases} x+y+z=15, &①\\ 2x+3y-z=9, &②\\ 5x-4y-z=0_{\circ} &③ \end{cases}$
1. 消去z，得到二元一次方程组：
①+②得：$(x+y+z)+(2x+3y-z)=15+9$
化简得：$3x+4y=24$ ④
①+③得：$(x+y+z)+(5x-4y-z)=15+0$
化简得：$6x-3y=15$，两边同时除以3得：$2x-y=5$ ⑤
2. 解二元一次方程组$\begin{cases}3x+4y=24 \\2x-y=5 \end{cases}$：
由⑤得：$y=2x-5$ ⑥
将⑥代入④得：$3x+4(2x-5)=24$
展开括号：$3x+8x-20=24$
合并同类项：$11x=44$
解得：$x=4$
将$x=4$代入⑥得：$y=2×4-5=3$
3. 求z的值：
将$x=4$，$y=3$代入①得：$4+3+z=15$
解得：$z=8$
4. 验证：
将$x=4$，$y=3$，$z=8$代入②：$2×4+3×3-8=8+9-8=9$，与右边相等；
代入③：$5×4-4×3-8=20-12-8=0$，与右边相等。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=3,\\ z=8 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=4,\\ y=3,\\ z=8 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组解法，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础求解题，核心考查消元思想的应用。通过观察方程中未知数的系数特点，选择合适的消元方式（本题利用加减消元消去z），将复杂的三元方程组转化为熟悉的二元、一元方程，逐步求解即可。解题过程中需注意计算准确性，最后要验证解的正确性。
【难度系数】
0.6

1. 三元一次方程组$\begin{cases}x+y=3,\\ y+z=5,\\ x+z=4\end{cases}$的解为( )。

A.$\begin{cases} x=1,\\ y=3,\\ z=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2,\\ y=1,\\ z=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=3,\\ y=2,\\ z=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=1,\\ y=2,\\ z=3 \end{cases}$

1.D

【分析】
要解这个三元一次方程组，我们可以采用加减消元的思路：首先把三个方程相加，得到$x+y+z$的整体值，再用这个整体值分别减去每个原方程，就能依次求出$z$、$x$、$y$的值；也可以用代入消元法，比如从第一个方程表示出$x$，代入第三个方程，再结合第二个方程求解。两种方法都能快速得到未知数的值，再对比选项即可得出答案。
【解析】
设方程组：
$\begin{cases}x+y=3&①\\ y+z=5&②\\ x+z=4&③\end{cases}$
步骤1：将①+②+③，得：
$2(x+y+z)=3+5+4=12$
两边同时除以2，得：$x+y+z=6$ ④
步骤2：用④-①，得：$z=6-3=3$
步骤3：用④-②，得：$x=6-5=1$
步骤4：用④-③，得：$y=6-4=2$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=1,\\ y=2,\\ z=3 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组解法、加减消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础求解题，核心考查消元思想，通过加减消元法可快速求出各未知数的值，题目难度低，有助于学生巩固三元一次方程组的基本解法。
【难度系数】
0.8

2. 三元一次方程组$\begin{cases}x-y=1,\\ y-z=1,\\ x+z=6\end{cases}$的解是( )。

A.$\begin{cases} x=2,\\ y=3,\\ z=4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2,\\ y=4,\\ z=3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=3,\\ y=2,\\ z=4 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=4,\\ y=3,\\ z=2 \end{cases}$

2.D

【分析】
要解这个三元一次方程组，我们可以采用两种思路：一是代入消元法，利用前两个方程用含y的式子表示x和z，代入第三个方程将三元转化为一元求解；二是选项验证法，将每个选项代入方程组，判断是否满足所有方程。两种方法都能快速得到正确结果，代入消元法是解方程组的常规方法，选项验证法则更适合选择题的快速作答。
【解析】
方法一：代入消元法
标记方程组：
$\begin{cases}x-y=1&①\\ y-z=1&②\\ x+z=6&③\end{cases}$
1. 由①变形得：$x = y + 1$ ④
2. 由②变形得：$z = y - 1$ ⑤
3. 将④、⑤代入③得：$(y+1)+(y-1)=6$
4. 化简方程：$2y=6$，解得$y=3$
5. 把$y=3$代入④得：$x=3+1=4$
6. 把$y=3$代入⑤得：$z=3-1=2$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=3,\\ z=2 \end{cases}$
方法二：选项验证法
选项A：代入①得$2-3=-1≠1$，不满足，排除；
选项B：代入①得$2-4=-2≠1$，不满足，排除；
选项C：代入②得$2-4=-2≠1$，不满足，排除；
选项D：代入①得$4-3=1$，代入②得$3-2=1$，代入③得$4+2=6$，所有方程均满足，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的代入消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，核心是运用消元思想将多元方程转化为一元方程，也可利用选择题的特点通过选项验证快速解题，属于基础题型，能帮助学生巩固消元法的应用和方程的检验能力。
【难度系数】
0.8

3. 在等式$y=ax^{2}+bx+c$中，当$x=0$时，$y=2$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=12$，则$a+b+c=$()。

A.4
B.5
C.6
D.8

3.C

【分析】
要解决本题，我们可以通过待定系数法，将已知的三组x、y值代入等式，构建关于a、b、c的方程组，先求出a、b、c的具体数值，再计算a+b+c的值。具体思路如下：首先利用x=0时的y值直接求出c；再将另外两组x、y值代入，结合c的值得到关于a、b的二元一次方程组；解方程组求出a、b后，即可计算a+b+c的结果。
【解析】
1. 将$x=0$，$y=2$代入$y=ax^2+bx+c$，可得：
$2=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=2$；
2. 将$x=-1$，$y=0$，$c=2$代入等式，可得：
$0=a×(-1)^2 + b×(-1) + 2$，整理得$a - b = -2$ ①；
3. 将$x=2$，$y=12$，$c=2$代入等式，可得：
$12=a×2^2 + b×2 + 2$，整理得$4a + 2b = 10$，化简为$2a + b = 5$ ②；
4. 联立①②，①+②得：$3a=3$，解得$a=1$；
5. 将$a=1$代入①，得$1 - b = -2$，解得$b=3$；
6. 计算$a+b+c=1+3+2=6$。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法、解三元一次方程组、代数式求值
【点评】
本题考查了待定系数法求二次函数系数以及方程组的解法，解题关键是准确代入已知条件构建方程组，计算过程简单直接，也可通过观察发现$a+b+c$是$x=1$时的函数值，不过先求解系数是最基础稳妥的方法。
【难度系数】
0.8

4. 已知$a+b=16$，$b+c=12$，$c+a=10$，则$a+b+c=$()。

A.19
B.38
C.14
D.22

4.A

【分析】
要计算$a+b+c$的值，观察题目给出的三个等式$a+b=16$，$b+c=12$，$c+a=10$，发现将这三个等式左右两边分别相加，左边会出现$2(a+b+c)$的形式，右边是三个数的和，由此可以通过等式变形求出$a+b+c$。具体思路是：先整体相加得到含$a+b+c$的式子，再利用等式的性质求出结果。
【解析】
已知：
$\begin{cases}a+b=16&(1)\\b+c=12&(2)\\c+a=10&(3)\end{cases}$
将(1)(2)(3)三个等式左右两边分别相加：
$(a+b)+(b+c)+(c+a)=16+12+10$
左边合并同类项得：$2a+2b+2c=2(a+b+c)$
右边计算得：$38$
因此有：$2(a+b+c)=38$
根据等式的性质，两边同时除以2：
$a+b+c=19$
【答案】
A
【知识点】
等式的性质、代数式整体求值
【点评】
本题考查代数式的整体求值，无需单独求出$a$、$b$、$c$各自的值，通过将三个等式整体相加的方法简化计算，属于基础题型，侧重考查学生对整体思想的运用。
【难度系数】
0.8