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5. 解三元一次方程组：$\begin{cases} x+y+z=4,\\ x-y+z=8,\\ 4x+2y+z=17_{\circ} \end{cases}$
答案
5.$\begin{cases} x=5,\\ y=-2,\\ z=1。\\ \end{cases}$
解析
【分析】
要解三元一次方程组，核心思路是利用消元思想，逐步将三元转化为二元，再转化为一元求解。观察方程组的前两个方程，x和z的系数完全相同，y的系数互为相反数，因此可以先用加减消元法消去x和z，直接求出y的值；再将y的值代入另外两个方程，得到关于x和z的二元一次方程组，继续用加减消元法求解x和z，最终得到方程组的解。
【解析】
设$\begin{cases} x+y+z=4&①,\\ x-y+z=8&②,\\ 4x+2y+z=17&③。\end{cases}$
1. 消元求y：
①-②得：$(x+y+z)-(x-y+z)=4-8$，
化简得：$2y=-4$，
解得：$y=-2$。
2. 代入得到二元方程组：
将$y=-2$代入①得：$x-2+z=4$，整理得$x+z=6$ ④；
将$y=-2$代入③得：$4x+2×(-2)+z=17$，化简得$4x+z=21$ ⑤。
3. 解二元方程组求x和z：
⑤-④得：$(4x+z)-(x+z)=21-6$，
化简得：$3x=15$，
解得：$x=5$。
将$x=5$代入④得：$5+z=6$，
解得：$z=1$。
综上，方程组的解为$\begin{cases} x=5,\\ y=-2,\\ z=1。\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=5,\\ y=-2,\\ z=1 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，重点运用了加减消元法的消元思想，通过逐步减少未知数的个数，将复杂的三元问题转化为熟悉的二元、一元问题求解。解题时应优先选择系数特点明显的方程进行消元，可简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要解三元一次方程组，核心思路是利用消元思想，逐步将三元转化为二元，再转化为一元求解。观察方程组的前两个方程，x和z的系数完全相同，y的系数互为相反数，因此可以先用加减消元法消去x和z，直接求出y的值；再将y的值代入另外两个方程，得到关于x和z的二元一次方程组，继续用加减消元法求解x和z，最终得到方程组的解。
【解析】
设$\begin{cases} x+y+z=4&①,\\ x-y+z=8&②,\\ 4x+2y+z=17&③。\end{cases}$
1. 消元求y：
①-②得：$(x+y+z)-(x-y+z)=4-8$，
化简得：$2y=-4$，
解得：$y=-2$。
2. 代入得到二元方程组：
将$y=-2$代入①得：$x-2+z=4$，整理得$x+z=6$ ④；
将$y=-2$代入③得：$4x+2×(-2)+z=17$，化简得$4x+z=21$ ⑤。
3. 解二元方程组求x和z：
⑤-④得：$(4x+z)-(x+z)=21-6$，
化简得：$3x=15$，
解得：$x=5$。
将$x=5$代入④得：$5+z=6$，
解得：$z=1$。
综上，方程组的解为$\begin{cases} x=5,\\ y=-2,\\ z=1。\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=5,\\ y=-2,\\ z=1 \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法，加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的求解，重点运用了加减消元法的消元思想，通过逐步减少未知数的个数，将复杂的三元问题转化为熟悉的二元、一元问题求解。解题时应优先选择系数特点明显的方程进行消元，可简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 已知实数$a,b,c$满足$2a+13b+3c=90$，$3a+9b+c=72$，则$\dfrac{3b+c}{a+2b}=$
1
。答案
6.1
解析
【分析】
本题已知两个三元一次方程，无法直接求出a、b、c的具体值，因此需通过消元法找到$\dfrac{3b+c}{a+2b}$中分子与分母的数量关系。首先从第二个方程用a、b表示出c，代入第一个方程得到a与b的关系式，再将c代入分子$3b+c$，结合a与b的关系式进行整体代入，即可求出分式的值。
【解析】
1. 由$3a+9b+c=72$，移项得：
$c=72-3a-9b$
2. 将$c=72-3a-9b$代入$2a+13b+3c=90$，展开并整理：
$2a+13b+3(72-3a-9b)=90$
$2a+13b+216-9a-27b=90$
$-7a-14b=90-216$
$-7(a+2b)=-126$
两边同时除以$-7$得：$a+2b=18$
3. 计算$3b+c$：
将$c=72-3a-9b$代入得：
$3b+c=3b+72-3a-9b=72-3a-6b=72-3(a+2b)$
把$a+2b=18$代入上式：
$72-3×18=72-54=18$
4. 计算分式的值：
$\dfrac{3b+c}{a+2b}=\dfrac{18}{18}=1$
【答案】
1
【知识点】
三元一次方程组消元，整体代入求值
【点评】
本题考查三元一次方程组的应用，重点运用了消元法与整体代入的数学思想，无需求出a、b、c的具体值，只需找到分子与分母的关系即可求解，锻炼了学生的代数变形与整体思维能力。
【难度系数】
0.6
本题已知两个三元一次方程，无法直接求出a、b、c的具体值，因此需通过消元法找到$\dfrac{3b+c}{a+2b}$中分子与分母的数量关系。首先从第二个方程用a、b表示出c，代入第一个方程得到a与b的关系式，再将c代入分子$3b+c$，结合a与b的关系式进行整体代入，即可求出分式的值。
【解析】
1. 由$3a+9b+c=72$，移项得：
$c=72-3a-9b$
2. 将$c=72-3a-9b$代入$2a+13b+3c=90$，展开并整理：
$2a+13b+3(72-3a-9b)=90$
$2a+13b+216-9a-27b=90$
$-7a-14b=90-216$
$-7(a+2b)=-126$
两边同时除以$-7$得：$a+2b=18$
3. 计算$3b+c$：
将$c=72-3a-9b$代入得：
$3b+c=3b+72-3a-9b=72-3a-6b=72-3(a+2b)$
把$a+2b=18$代入上式：
$72-3×18=72-54=18$
4. 计算分式的值：
$\dfrac{3b+c}{a+2b}=\dfrac{18}{18}=1$
【答案】
1
【知识点】
三元一次方程组消元，整体代入求值
【点评】
本题考查三元一次方程组的应用，重点运用了消元法与整体代入的数学思想，无需求出a、b、c的具体值，只需找到分子与分母的关系即可求解，锻炼了学生的代数变形与整体思维能力。
【难度系数】
0.6
7. 已知有理数$x,y,z$满足条件：$|x-z-2|+|3x-6y-7|+(3y+3z-4)^{2}=0$，则$xyz=$
自我反思
存在的问题：
改进的措施：
1
。自我反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
7.1
解析
【分析】
本题的关键在于利用非负数的性质：绝对值和平方数都是非负的，当几个非负数的和为0时，每一个非负数都必须为0。据此可以得到关于x、y、z的三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值后，再计算它们的乘积xyz即可。具体思考步骤如下：首先观察等式中的每一项，判断其非负性；然后根据和为0的条件列出三个方程；最后通过消元法解三元一次方程组，代入计算得到结果。
【解析】
因为绝对值和平方数均为非负数，且$|x-z-2|+|3x-6y-7|+(3y+3z-4)^{2}=0$，所以每一项都等于0，由此可得方程组：
$\begin{cases}x - z - 2 = 0 & ① \\3x - 6y - 7 = 0 & ② \\3y + 3z - 4 = 0 & ③\end{cases}$
步骤1：化简方程③，两边同时除以3得：$y + z = \frac{4}{3}$ ④
步骤2：将方程①变形为：$x = z + 2$ ⑤
步骤3：把⑤代入②得：$3(z + 2) - 6y - 7 = 0$，展开化简：$3z + 6 - 6y - 7 = 0$，即$3z - 6y = 1$，两边除以3得：$z - 2y = \frac{1}{3}$ ⑥
步骤4：联立④和⑥，由④得$z = \frac{4}{3} - y$，代入⑥：
$\frac{4}{3} - y - 2y = \frac{1}{3}$
$\frac{4}{3} - 3y = \frac{1}{3}$
移项得：$3y = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1$，解得$y = \frac{1}{3}$
步骤5：将$y = \frac{1}{3}$代入④得：$\frac{1}{3} + z = \frac{4}{3}$，解得$z = 1$
步骤6：将$z = 1$代入⑤得：$x = 1 + 2 = 3$
步骤7：计算$xyz = 3 × \frac{1}{3} × 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，三元一次方程组的解法
【点评】
本题综合考查了非负数的性质与三元一次方程组的求解，核心是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”建立方程，求解过程中需注意通过消元法将三元方程组转化为二元、一元方程逐步求解，计算时要细心避免出错。
【难度系数】
0.6
本题的关键在于利用非负数的性质：绝对值和平方数都是非负的，当几个非负数的和为0时，每一个非负数都必须为0。据此可以得到关于x、y、z的三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值后，再计算它们的乘积xyz即可。具体思考步骤如下：首先观察等式中的每一项，判断其非负性；然后根据和为0的条件列出三个方程；最后通过消元法解三元一次方程组，代入计算得到结果。
【解析】
因为绝对值和平方数均为非负数，且$|x-z-2|+|3x-6y-7|+(3y+3z-4)^{2}=0$，所以每一项都等于0，由此可得方程组：
$\begin{cases}x - z - 2 = 0 & ① \\3x - 6y - 7 = 0 & ② \\3y + 3z - 4 = 0 & ③\end{cases}$
步骤1：化简方程③，两边同时除以3得：$y + z = \frac{4}{3}$ ④
步骤2：将方程①变形为：$x = z + 2$ ⑤
步骤3：把⑤代入②得：$3(z + 2) - 6y - 7 = 0$，展开化简：$3z + 6 - 6y - 7 = 0$，即$3z - 6y = 1$，两边除以3得：$z - 2y = \frac{1}{3}$ ⑥
步骤4：联立④和⑥，由④得$z = \frac{4}{3} - y$，代入⑥：
$\frac{4}{3} - y - 2y = \frac{1}{3}$
$\frac{4}{3} - 3y = \frac{1}{3}$
移项得：$3y = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1$，解得$y = \frac{1}{3}$
步骤5：将$y = \frac{1}{3}$代入④得：$\frac{1}{3} + z = \frac{4}{3}$，解得$z = 1$
步骤6：将$z = 1$代入⑤得：$x = 1 + 2 = 3$
步骤7：计算$xyz = 3 × \frac{1}{3} × 1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，三元一次方程组的解法
【点评】
本题综合考查了非负数的性质与三元一次方程组的求解，核心是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”建立方程，求解过程中需注意通过消元法将三元方程组转化为二元、一元方程逐步求解，计算时要细心避免出错。
【难度系数】
0.6
