1. 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，则$a$的值可以是 （）

A.1
B.0
C.$-1$
D.$-2$

A

【分析】
解题时先结合二次函数的定义排除不符合的选项，再根据二次函数图象开口方向和二次项系数a的符号关系筛选剩余选项：第一步，明确二次函数的二次项系数不能为0，先排除a=0的选项；第二步，观察图象开口向上，说明a＞0，据此选出符合要求的选项即可。
【解析】
1. 由二次函数的定义可知，二次项系数$a≠0$，因此B选项不符合要求，直接排除；
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a$的符号决定抛物线开口方向：若$a＞0$，抛物线开口向上；若$a＜0$，抛物线开口向下。
3. 观察题图可得抛物线开口向上，因此$a＞0$，选项中只有A选项的$1$满足$a＞0$，C选项$-1$、D选项$-2$均为负数，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心考查开口方向与二次项系数的对应关系，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 如图,这是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象,则下列判断中不正确的是（）

A.$a＜0$
B.$b＜0$
C.$c＞0$
D.$a+b+c＜0$

D

【分析】
要判断各选项是否正确，需结合二次函数图象与系数的对应关系逐个分析：首先看开口方向判断a的符号；再根据对称轴位置结合a的符号，用“左同右异”法则判断b的符号；根据图象与y轴的交点判断c的符号；最后a+b+c是x=1时的函数值，观察x=1处对应的函数值正负即可，最终找出不正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 判断选项A：二次函数图象开口向下，因此二次项系数$a＜0$，A判断正确，不符合题意；
2. 判断选项B：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，由图可知对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$。已知$a＜0$，不等式两边同时乘负数$2a$，不等号方向改变，得$-b＞0$，即$b＜0$，B判断正确，不符合题意；
3. 判断选项C：图象与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c＞0$，C判断正确，不符合题意；
4. 判断选项D：当$x=1$时，函数值$y=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，由图可知$x=1$对应的图象点在x轴上方，即$y＞0$，因此$a+b+c＞0$，D判断错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的函数值
【点评】
本题是二次函数图象类的基础常考题，核心是掌握图象特征与系数、特殊点函数值的对应规律，熟练运用“开口定a符号，y轴交点定c符号，对称轴结合a定b符号，代入特殊x值判断对应代数式正负”的技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象，则点$P(a,b)$所在的象限是（）


A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

D

【分析】
要判断点$P(a,b)$所在象限，需先确定$a$、$b$的正负：①先根据二次函数图象的开口方向判断$a$的符号；②再结合对称轴的位置，利用对称轴公式判断$b$的符号；最后根据$a$、$b$的正负确定点$P$所在象限。
【解析】
1. 确定$a$的符号：由二次函数图象开口向上，可得$a＞0$。
2. 确定$b$的符号：二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，观察图象可知对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$。
已知$a＞0$，不等式两边同时乘正数$2a$，不等号方向不变，可得$-b＞0$，即$b＜0$。
3. 判断点$P$所在象限：$a＞0$，$b＜0$，即点$P$的横坐标为正、纵坐标为负，因此点$P$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 点的坐标与象限的关系
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础应用题，核心是掌握二次函数开口方向、对称轴位置与系数$a$、$b$的对应规律，结合象限坐标特征即可快速求解，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

4. 在同一坐标系中，一次函数$y=-mx + n^2(m≠0)$与二次函数$y=x^2 + m$的图象可能是（）

D

【分析】
解题思路：先根据二次函数解析式判断其开口方向，排除不符合的选项；再结合二次函数与y轴的交点位置判断m的符号，进而推导一次函数的斜率符号，排除斜率不符合的选项；最后验证一次函数截距的合理性即可得出答案。
首先二次函数$y=x^2+m$的二次项系数为1＞0，因此抛物线开口向上，可先排除开口向下的选项；其次抛物线与y轴交点为$(0,m)$，观察剩余选项的抛物线均与y轴交于负半轴，因此$m＜0$；接着推导一次函数$y=-mx+n^2$的斜率：$m＜0$则$-m＞0$，即一次函数图象从左下向右上倾斜，排除斜率为负的选项；最后一次函数与y轴交点为$(0,n^2)$，$n^2$为非负数，交点应在y轴非负半轴，验证剩余选项是否符合即可。
【解析】
1. 分析二次函数图象特征：
二次函数$y=x^2+m$的二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B中抛物线开口向下，排除B；
2. 判断m的符号：
观察A、C、D选项的抛物线，均与y轴交于负半轴，即当$x=0$时，$y=m＜0$；
3. 分析一次函数的斜率：
一次函数$y=-mx + n^2$的斜率为$-m$，因为$m＜0$，所以$-m＞0$，即一次函数图象呈上升趋势。选项A、C中一次函数呈下降趋势，斜率为负，不符合要求，排除A、C；
4. 验证一次函数截距：
一次函数与y轴交点纵坐标为$n^2$，根据平方的非负性，$n^2≥0$，选项D中一次函数与y轴交于正半轴，符合特征，同时二次函数开口向上、与y轴交于负半轴也符合要求，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质
【点评】
本题考查一次函数与二次函数图象的综合判断，解题关键是结合解析式中系数的意义，从开口方向、交点位置、斜率等角度逐一排除不符合的选项，是函数图象类的典型题型。
【难度系数】
0.7

5. 抛物线 $ y=-x^2 $ 与抛物线 $ y=ax^2 $ 的位置如图所示，则a的值可能为 。

$-\frac{1}{2}$(答案不唯一)

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：①二次项系数$a$的符号决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越小，抛物线开口越宽。首先观察图象中两个抛物线的开口方向，确定$a$的正负，再对比两者的开口宽窄，确定$|a|$和1的大小关系，最终得到$a$的取值区间，在区间内任选一个数即可。
【解析】
1. 确定$a$的符号：由图可知，抛物线$y=ax^2$开口向下，因此$a＜0$；
2. 比较开口大小：二次函数$y=ax^2$中，$|a|$越小，开口越宽。观察图象可得$y=ax^2$的开口比$y=-x^2$的开口更宽，因此$|a|＜|-1|=1$，即$|a|＜1$；
3. 结合上述两个结论，可得$a$的取值范围是$-1＜a＜0$，因此$a$可以取$-\frac{1}{2}$（答案不唯一，满足$-1＜a＜0$即可）。
【答案】
$-\frac{1}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象性质，二次项系数的作用，开口大小判断
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$中$a$对图象的影响，是二次函数图象部分的基础题型，只要牢记$a$的符号与开口方向、$|a|$与开口宽窄的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象的一部分，则b 2a。（填“＞”“=”或“＜”）

=

【分析】
解题思路：首先观察二次函数图象提取对称轴信息，再结合二次函数的对称轴公式建立等式，化简等式即可得到b与2a的大小关系。第一步：从图中可知二次函数的对称轴为直线$x=-1$；第二步：回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$；第三步：将对称轴数值代入公式，化简后就能推导得到b和2a的关系。
【解析】
解：二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$。
由图象可知，该二次函数的对称轴为直线$x=-1$，将其代入对称轴公式可得：
$-\dfrac{b}{2a}=-1$
等式两边同时乘以$-1$，得：$\dfrac{b}{2a}=1$
两边同时乘以$2a$（$a≠0$），可得$b=2a$。
【答案】
=
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是从图象中获取对称轴的信息，结合对称轴公式进行简单推导即可得出结论，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8

7. 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象。根据函数图象，用“＞”“=”或“＜”填空。
(1)$a$ $0$。
(2)$4ac-b^2$ $0$。
(3)$2a+b$ $0$。
(4)$a+b+c$ $0$。

(1)＜ (2)＜ (3)= (4)＞

【分析】
解题时结合二次函数图象性质逐步推导：①先看开口方向判断a的符号；②看图象与x轴的交点个数，结合判别式的意义判断4ac-b²的符号；③根据对称轴位置，结合对称轴公式推导2a+b的关系；④代入x=1，看对应函数值的符号判断a+b+c的大小。
【解析】
(1) 二次函数图象开口向下，因此$a＜0$；
(2) 图象与x轴有2个不同交点，说明方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，移项可得$4ac-b^2＜0$；
(3) 由图象可知二次函数对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，变形得$-b=2a$，因此$2a+b=0$；
(4) 当$x=1$时，代入函数式得$y=a×1^2+b×1+c=a+b+c$，观察图象可知$x=1$时函数图象在x轴上方，对应y值大于0，故$a+b+c＞0$。
【答案】
(1)＜ (2)＜ (3)= (4)＞
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数对称轴公式
【点评】
本题是二次函数图象类的基础题型，核心考查从图象中提取有效信息、结合二次函数性质判断代数式符号的能力，熟练掌握二次函数的各类图象特征是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8

8. 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象，且$P=|2a+b|+|3b-2c|$，$Q=|2a-b|-|3b+2c|$，试判断$P,Q$的大小关系。

解:因为抛物线的开口向下,所以a＜0。
因为$-\frac{b}{2a}＞0$,所以b＞0,所以2a-b＜0。
因为$-\frac{b}{2a}=1$,所以b+2a=0,$a=-\frac{1}{2}b$。
当x=-1时,y=a-b+c＜0,
所以$-\frac{1}{2}b-b+c＜0$,所以3b-2c＞0。
因为抛物线与y轴的正半轴相交,
所以c＞0,所以3b+2c＞0。
所以P=3b-2c,Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c,
所以P-Q=3b-2c-(-2a-2b-2c)=3b-2c+2a+2b+2c=5b+2a=4b＞0,所以P＞Q。

【分析】
要判断P、Q的大小，可通过作差法比较P-Q的正负，而P、Q均含绝对值，因此需先根据二次函数的图像特征推导系数a、b、c的符号及相互关系，判断每个绝对值内代数式的正负，去掉绝对值后化简P、Q，最终计算P-Q的正负即可得出结论。具体思路：①由开口方向得a的符号；②由对称轴为x=1得2a与b的等量关系，推导b的符号；③由与y轴交点位置得c的符号；④由x=-1时的函数值小于0推导b、c的不等关系；⑤据此判断所有绝对值内式子的正负，去绝对值化简后作差比较。
【解析】
1. 推导系数相关性质：
抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
抛物线对称轴为直线$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a+b=0$，即$2a=-b$，$a=-\frac{1}{2}b$；结合$a＜0$，可得$b＞0$，因此$2a-b=-b-b=-2b＜0$；
抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$，因此$3b+2c＞0$；
当$x=-1$时，代入二次函数得$y=a-b+c＜0$，将$a=-\frac{1}{2}b$代入得$-\frac{1}{2}b -b +c＜0$，整理得$3b-2c＞0$。
2. 去绝对值化简P、Q：
$P=|2a+b|+|3b-2c|$，结合$2a+b=0$、$3b-2c＞0$，得$P=0 + 3b-2c=3b-2c$；
$Q=|2a-b|-|3b+2c|$，结合$2a-b＜0$、$3b+2c＞0$，得$Q=-(2a-b)-(3b+2c)=-2a+b-3b-2c=-2a-2b-2c$。
3. 作差比较大小：
$P-Q=(3b-2c)-(-2a-2b-2c)=3b-2c+2a+2b+2c=5b+2a$，将$2a=-b$代入得$5b -b=4b$，
∵$b＞0$，
∴$4b＞0$，即$P-Q＞0$，因此$P＞Q$。
【答案】
$P＞Q$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；绝对值的化简；作差法比较大小
【点评】
本题将二次函数图象性质与代数式化简、大小比较结合考查，解题的核心是熟练掌握二次函数开口、对称轴、特殊点函数值与系数的对应关系，能通过图象信息推导系数间的等量、不等关系，进而去掉绝对值完成化简计算。
【难度系数】
0.6