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(1) 方程$x^2 -4x +2=0$的两实数根之和是
4
；答案
(1) 4.
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两个实数根的和，可优先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：第一步先确认方程为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可，也可通过直接解方程求出两个根后相加验证结果。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程存在两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题中方程$x^2-4x+2=0$为标准形式，其中$a=1$，$b=-4$，且题目已说明有两个实数根，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$。
方法二（直接求根验证）：
对方程$x^2-4x+2=0$配方得：
$x^2-4x+4=2$，即$(x-2)^2=2$，
开方得$x=2\pm\sqrt{2}$，
两个实数根分别为$2+\sqrt{2}$和$2-\sqrt{2}$，则两根之和为$(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础题型，核心考察根与系数关系的应用，解题时需注意准确提取一次项系数的符号，避免代入公式时出现符号错误，两种解题方法可相互验证结果的正确性。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两个实数根的和，可优先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：第一步先确认方程为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式，准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步代入两根之和公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$计算即可，也可通过直接解方程求出两个根后相加验证结果。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程存在两个实数根$x_1$、$x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题中方程$x^2-4x+2=0$为标准形式，其中$a=1$，$b=-4$，且题目已说明有两个实数根，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4$。
方法二（直接求根验证）：
对方程$x^2-4x+2=0$配方得：
$x^2-4x+4=2$，即$(x-2)^2=2$，
开方得$x=2\pm\sqrt{2}$，
两个实数根分别为$2+\sqrt{2}$和$2-\sqrt{2}$，则两根之和为$(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础题型，核心考察根与系数关系的应用，解题时需注意准确提取一次项系数的符号，避免代入公式时出现符号错误，两种解题方法可相互验证结果的正确性。
【难度系数】
0.8
(2) 方程$x^2 + 4x - 2 = 0$的两实数根之积是
-2
；答案
(2) -2.
解析
【分析】
要计算一元二次方程两实数根的积，无需先解方程求出两个根再计算，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先确认方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，找到对应的二次项系数$a$、常数项$c$，注意常数项的符号，再代入两根之积的公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，设其两实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 + 4x - 2 = 0$中，$a=1$，$c=-2$，代入公式得：
$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，直接考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时只需准确识别方程各项的系数，尤其注意不要搞错常数项的符号，就能快速得出结果，省去了解方程求根的繁琐过程。
【难度系数】
0.85
要计算一元二次方程两实数根的积，无需先解方程求出两个根再计算，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先确认方程为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，找到对应的二次项系数$a$、常数项$c$，注意常数项的符号，再代入两根之积的公式$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，设其两实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 + 4x - 2 = 0$中，$a=1$，$c=-2$，代入公式得：
$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，直接考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题时只需准确识别方程各项的系数，尤其注意不要搞错常数项的符号，就能快速得出结果，省去了解方程求根的繁琐过程。
【难度系数】
0.85
（3）方程$x^2 - 3x = 5$的两实数根之和是
3
，两实数根之积是-5
。答案
(3) 3；-5.
解析
【分析】
要计算一元二次方程两实根的和与积，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，本题已明确给出方程有两实根，无需验证判别式，再直接套用根与系数的关系（韦达定理）：两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数计算即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得 $x^2 - 3x - 5 = 0$，
对比一般式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系，若方程两实根为$x_1$、$x_2$，则：
两根之和 $x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$，
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$。
【答案】
3；-5
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题，解题的关键是先将方程化为一般形式，确定系数时要特别注意符号，避免因未移项错把常数项当成5导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要计算一元二次方程两实根的和与积，首先需将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，本题已明确给出方程有两实根，无需验证判别式，再直接套用根与系数的关系（韦达定理）：两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数计算即可。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得 $x^2 - 3x - 5 = 0$，
对比一般式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=-5$。
根据一元二次方程根与系数的关系，若方程两实根为$x_1$、$x_2$，则：
两根之和 $x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$，
两根之积 $x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$。
【答案】
3；-5
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题，解题的关键是先将方程化为一般形式，确定系数时要特别注意符号，避免因未移项错把常数项当成5导致计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 3x + n = 0 $ 有一个根是 2，求此方程的另一个根及 $ n $ 的值。
答案
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1=2$. 又因为$x_1+x_2=3$，所以可得$x_2=1$，$n=x_1x_2=2$.
解析
【分析】
本题是一元二次方程根相关的基础计算题，有两种常规解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系求解，对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$、两根之积为$\frac{c}{a}$，已知一个根可直接通过和的关系求出另一个根，再通过积的关系求参数$n$，计算更简便；思路二：先将已知根代入原方程求出$n$，再解方程得到另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1=2$。
对于方程$x^2 - 3x + n = 0$，由根与系数的关系可得两根之和$x_1+x_2=3$，两根之积$x_1x_2=n$。
将$x_1=2$代入$x_1+x_2=3$，得$2+x_2=3$，解得$x_2=1$。
再将$x_1=2$、$x_2=1$代入$x_1x_2=n$，得$n=2×1=2$。
【答案】
方程的另一个根是$1$，$n$的值是$2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题解法灵活，核心考察对一元二次方程根的性质的掌握，熟练运用根与系数的关系可跳过解方程的步骤，大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
本题是一元二次方程根相关的基础计算题，有两种常规解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系求解，对于形如$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$、两根之积为$\frac{c}{a}$，已知一个根可直接通过和的关系求出另一个根，再通过积的关系求参数$n$，计算更简便；思路二：先将已知根代入原方程求出$n$，再解方程得到另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1=2$。
对于方程$x^2 - 3x + n = 0$，由根与系数的关系可得两根之和$x_1+x_2=3$，两根之积$x_1x_2=n$。
将$x_1=2$代入$x_1+x_2=3$，得$2+x_2=3$，解得$x_2=1$。
再将$x_1=2$、$x_2=1$代入$x_1x_2=n$，得$n=2×1=2$。
【答案】
方程的另一个根是$1$，$n$的值是$2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题解法灵活，核心考察对一元二次方程根的性质的掌握，熟练运用根与系数的关系可跳过解方程的步骤，大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
3. 已知关于x的方程$x^2 - (k+1)x + 2 = 0$有一个根是$\sqrt{3} + 1$，求此方程的另一个根及k的值.
答案
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=k+1$，$x_1x_2=2$. 不妨设$x_1=\sqrt{3}+1$，则$x_2=\frac{2}{x_1}=\sqrt{3}-1$，$k+1=x_1+x_2=2\sqrt{3}$，得$k=2\sqrt{3}-1$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：1. 回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根性质：两根之和等于$-\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$；2. 已知方程的一个根，先利用两根之积的关系代入已知根，即可快速求出另一个根，计算时注意做好分母有理化；3. 再利用两根之和的关系就能求出参数$k$的值，该方法比直接将已知根代入原方程计算更简便，计算量更小。
【解析】
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，对于一元二次方程$x^2 - (k+1)x + 2 = 0$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=k+1$，$x_1x_2=2$。
不妨设$x_1=\sqrt{3}+1$，代入两根之积的公式得：
$x_2=\frac{2}{x_1}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$，对其分母有理化：
$x_2=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\sqrt{3}-1$。
再代入两根之和的公式：
$x_1+x_2=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}=k+1$，
解得$k=2\sqrt{3}-1$。
【答案】
方程的另一个根为$\sqrt{3}-1$，$k$的值为$2\sqrt{3}-1$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分母有理化
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，选择韦达定理求解可有效降低计算量，解题过程中需注意分母有理化的运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：1. 回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根性质：两根之和等于$-\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$；2. 已知方程的一个根，先利用两根之积的关系代入已知根，即可快速求出另一个根，计算时注意做好分母有理化；3. 再利用两根之和的关系就能求出参数$k$的值，该方法比直接将已知根代入原方程计算更简便，计算量更小。
【解析】
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，对于一元二次方程$x^2 - (k+1)x + 2 = 0$，由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=k+1$，$x_1x_2=2$。
不妨设$x_1=\sqrt{3}+1$，代入两根之积的公式得：
$x_2=\frac{2}{x_1}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$，对其分母有理化：
$x_2=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\sqrt{3}-1$。
再代入两根之和的公式：
$x_1+x_2=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}=k+1$，
解得$k=2\sqrt{3}-1$。
【答案】
方程的另一个根为$\sqrt{3}-1$，$k$的值为$2\sqrt{3}-1$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分母有理化
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，选择韦达定理求解可有效降低计算量，解题过程中需注意分母有理化的运算规则，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
