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一、选择题
1. 下列各式能用公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解的是()
A.$-x^2 + y^2$
B.$x^2 + y^2$
C.$-x^2 - y^2$
D.$(-x)^2 + y^2$
1. 下列各式能用公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$进行因式分解的是()
A.$-x^2 + y^2$
B.$x^2 + y^2$
C.$-x^2 - y^2$
D.$(-x)^2 + y^2$
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个式子能用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$适用的条件：一是式子为二项式，二是两项符号相反，三是每一项都能写成某个整式的平方。我们只要逐一验证每个选项是否满足这三个条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$-x^2+y^2$可变形为$y^2-x^2$，符合“两个整式的平方作差”的形式，其中$a=y$，$b=x$，可以用平方差公式分解为$(y+x)(y-x)$，符合要求；
B选项：$x^2+y^2$是两个平方项的和，两项符号相同，不满足平方差的“差”的要求，不能用平方差公式分解；
C选项：$-x^2-y^2$提取负号后为$-(x^2+y^2)$，仍是两个平方项的和，无法用平方差公式分解；
D选项：$(-x)^2+y^2$化简后为$x^2+y^2$，与B选项一致，是平方和，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的公式法
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题的核心是抓住平方差公式“两项异号、均为平方项”的特征，属于对基础概念的考查，熟练掌握公式特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个式子能用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$适用的条件：一是式子为二项式，二是两项符号相反，三是每一项都能写成某个整式的平方。我们只要逐一验证每个选项是否满足这三个条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$-x^2+y^2$可变形为$y^2-x^2$，符合“两个整式的平方作差”的形式，其中$a=y$，$b=x$，可以用平方差公式分解为$(y+x)(y-x)$，符合要求；
B选项：$x^2+y^2$是两个平方项的和，两项符号相同，不满足平方差的“差”的要求，不能用平方差公式分解；
C选项：$-x^2-y^2$提取负号后为$-(x^2+y^2)$，仍是两个平方项的和，无法用平方差公式分解；
D选项：$(-x)^2+y^2$化简后为$x^2+y^2$，与B选项一致，是平方和，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的公式法
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的适用条件，解题的核心是抓住平方差公式“两项异号、均为平方项”的特征，属于对基础概念的考查，熟练掌握公式特点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 多项式$x^2 -25$因式分解的结果是()
A.$(x-5)^2$
B.$(x+5)^2$
C.$(x+5)(x-5)$
D.$x(x-25)$
A.$(x-5)^2$
B.$(x+5)^2$
C.$(x+5)(x-5)$
D.$x(x-25)$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查用平方差公式进行因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的结构，$x^2-25$是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式的特征。我们可以回忆平方差因式分解公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，先确定公式里对应的$a$和$b$，代入公式就能得到结果，也可以通过把选项展开和原式对比，排除错误选项。
【解析】
首先判断多项式$x^2-25$的结构：$x^2$是$x$的平方，$25$是$5$的平方，满足平方差公式“两个数的平方差”的特征。
根据平方差因式分解公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a=x$，$b=5$，代入得：
$x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)$
我们也可以验证其余选项：
选项A：$(x-5)^2=x^2-10x+25$，和原式不符，错误；
选项B：$(x+5)^2=x^2+10x+25$，和原式不符，错误；
选项D：$x(x-25)=x^2-25x$，和原式不符，错误。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，平方差公式的应用
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查对平方差公式结构特征的识别和应用能力，牢记公式的形式特点就能快速解题。
【难度系数】
0.9
这道题考查用平方差公式进行因式分解，解题思路如下：首先观察多项式的结构，$x^2-25$是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式的特征。我们可以回忆平方差因式分解公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，先确定公式里对应的$a$和$b$，代入公式就能得到结果，也可以通过把选项展开和原式对比，排除错误选项。
【解析】
首先判断多项式$x^2-25$的结构：$x^2$是$x$的平方，$25$是$5$的平方，满足平方差公式“两个数的平方差”的特征。
根据平方差因式分解公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a=x$，$b=5$，代入得：
$x^2-25=x^2-5^2=(x+5)(x-5)$
我们也可以验证其余选项：
选项A：$(x-5)^2=x^2-10x+25$，和原式不符，错误；
选项B：$(x+5)^2=x^2+10x+25$，和原式不符，错误；
选项D：$x(x-25)=x^2-25x$，和原式不符，错误。
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解，平方差公式的应用
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查对平方差公式结构特征的识别和应用能力，牢记公式的形式特点就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 若$\begin{cases}2x+y=1 \\4x-2y=-4\end{cases}$，则$4x^2 - y^2$的值是( )
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式$4x^2 - y^2$的结构，符合平方差公式的形式，可先对其因式分解，转化为含已知方程组中式子的形式，再利用整体代入法计算，无需单独求解x、y的值，能简化计算过程。具体步骤：①用平方差公式分解$4x^2 - y^2$；②对已知的第二个方程变形得到分解后式子需要的代数式；③整体代入计算结果。
【解析】
首先利用平方差公式对所求代数式因式分解：
$4x^2 - y^2=(2x+y)(2x-y)$
已知$\begin{cases}2x+y=1&①\\4x-2y=-4&②\end{cases}$，
将方程②两边同时除以2，可得：$2x - y=-2$，
把$2x+y=1$，$2x - y=-2$代入因式分解后的式子，得：
$4x^2 - y^2=1×(-2)=-2$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整体代入求值
3. 等式的性质
【点评】
本题解题的核心是灵活运用因式分解将所求代数式变形，结合已知条件做整体代入，既能减少计算量，也能提升解题准确率，解题时要注意观察所求式子与已知条件的关联。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求代数式$4x^2 - y^2$的结构，符合平方差公式的形式，可先对其因式分解，转化为含已知方程组中式子的形式，再利用整体代入法计算，无需单独求解x、y的值，能简化计算过程。具体步骤：①用平方差公式分解$4x^2 - y^2$；②对已知的第二个方程变形得到分解后式子需要的代数式；③整体代入计算结果。
【解析】
首先利用平方差公式对所求代数式因式分解：
$4x^2 - y^2=(2x+y)(2x-y)$
已知$\begin{cases}2x+y=1&①\\4x-2y=-4&②\end{cases}$，
将方程②两边同时除以2，可得：$2x - y=-2$，
把$2x+y=1$，$2x - y=-2$代入因式分解后的式子，得：
$4x^2 - y^2=1×(-2)=-2$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整体代入求值
3. 等式的性质
【点评】
本题解题的核心是灵活运用因式分解将所求代数式变形，结合已知条件做整体代入，既能减少计算量，也能提升解题准确率，解题时要注意观察所求式子与已知条件的关联。
【难度系数】
0.7
4. 多项式$4a - a^3$分解因式的结果是()
A.$a(4 - a^2)$
B.$a(2 - a)(2 + a)$
C.$a(a - 2)(a + 2)$
D.$a(2 - a)^2$
A.$a(4 - a^2)$
B.$a(2 - a)(2 + a)$
C.$a(a - 2)(a + 2)$
D.$a(2 - a)^2$
答案
B
解析
【分析】
解决因式分解类题目遵循“一提、二套、三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的式子是否符合乘法公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止，同时注意符号是否正确。本题中先提取公因式，再套用平方差公式即可求解。
【解析】
第一步，提取公因式：多项式$4a - a^3$的两项公因式为$a$，提取后可得：
$4a - a^3 = a(4 - a^2)$
第二步，套用平方差公式：观察括号内的$4 - a^2$，可写成$2^2 - a^2$，符合平方差公式$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$的形式，其中$m=2$，$n=a$，因此：
$4 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$
第三步，检查分解结果：最终得到$a(2 - a)(2 + a)$，所有因式均为一次式，无法继续分解，符合因式分解的要求。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需注意提取公因式后要继续判断剩余部分是否可分解，避免未分解彻底错选A，同时要注意平方差公式中两项的符号，避免符号错误错选C。
【难度系数】
0.75
解决因式分解类题目遵循“一提、二套、三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的式子是否符合乘法公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止，同时注意符号是否正确。本题中先提取公因式，再套用平方差公式即可求解。
【解析】
第一步，提取公因式：多项式$4a - a^3$的两项公因式为$a$，提取后可得：
$4a - a^3 = a(4 - a^2)$
第二步，套用平方差公式：观察括号内的$4 - a^2$，可写成$2^2 - a^2$，符合平方差公式$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$的形式，其中$m=2$，$n=a$，因此：
$4 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$
第三步，检查分解结果：最终得到$a(2 - a)(2 + a)$，所有因式均为一次式，无法继续分解，符合因式分解的要求。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，需注意提取公因式后要继续判断剩余部分是否可分解，避免未分解彻底错选A，同时要注意平方差公式中两项的符号，避免符号错误错选C。
【难度系数】
0.75
5*. 已知$a,b,c$是一个三角形三边的长,则代数式$(a-b)^2 - c^2$的值()
A.一定是负数
B.一定是正数
C.一定是零
D.可能是零
A.一定是负数
B.一定是正数
C.一定是零
D.可能是零
答案
A
解析
【分析】
首先观察代数式的结构，是两个平方项作差，符合平方差公式的形式，因此第一步考虑用平方差公式对代数式因式分解；再结合三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，分别判断分解后两个因式的正负性；最后根据“异号相乘得负”的乘法符号法则，即可判断整个代数式的符号。
【解析】
解：利用平方差公式对代数式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
∵$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$
$b + c ＞ a$，即$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$
正数与负数相乘结果为负数，因此$(a-b)^2 - c^2 ＜ 0$，即代数式的值一定是负数。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式因式分解，三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的基础综合题，解题关键是先对代数式因式分解，再结合三角形三边关系判断因式的符号，最终得到代数式的正负性。
【难度系数】
0.7
首先观察代数式的结构，是两个平方项作差，符合平方差公式的形式，因此第一步考虑用平方差公式对代数式因式分解；再结合三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，分别判断分解后两个因式的正负性；最后根据“异号相乘得负”的乘法符号法则，即可判断整个代数式的符号。
【解析】
解：利用平方差公式对代数式因式分解：
$(a-b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
∵$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可得：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c = (a + c) - b ＞ 0$
$b + c ＞ a$，即$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$
正数与负数相乘结果为负数，因此$(a-b)^2 - c^2 ＜ 0$，即代数式的值一定是负数。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式因式分解，三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的基础综合题，解题关键是先对代数式因式分解，再结合三角形三边关系判断因式的符号，最终得到代数式的正负性。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 分解因式：$9x^2 - 25 = \underline{\hspace{8cm}}$；$a^2 - \frac{1}{4} = \underline{\hspace{8cm}}$。
1. 分解因式：$9x^2 - 25 = \underline{\hspace{8cm}}$；$a^2 - \frac{1}{4} = \underline{\hspace{8cm}}$。
答案
$\boldsymbol{(3x+5)(3x-5)}$；$\boldsymbol{(a+\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})}$
解析
【分析】
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：首先回忆平方差公式：$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，先判断式子结构：两个式子都是两项、符号相反，且每一项都可写成某个整式的平方，因此确定用平方差公式分解；再分别确定两个式子中对应公式里的$m$和$n$，代入公式即可得到分解结果。
【解析】
1. 分解$9x^2 - 25$：
先将两项改写为平方形式：$9x^2=(3x)^2$，$25=5^2$，
对应平方差公式，取$m=3x$，$n=5$，代入得：
$9x^2 -25=(3x)^2 -5^2=(3x+5)(3x-5)$。
2. 分解$a^2 - \frac{1}{4}$：
先将常数项改写为平方形式：$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，
对应平方差公式，取$m=a$，$n=\frac{1}{2}$，代入得：
$a^2 - \frac{1}{4}=a^2 - (\frac{1}{2})^2=(a+\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})$。
【答案】
$(3x+5)(3x-5)$；$(a+\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握平方差公式的结构特征：两项分别为两个整式的平方，且两项符号相反，符合该特征的多项式即可直接套用平方差公式完成因式分解。
【难度系数】
0.9
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：首先回忆平方差公式：$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，先判断式子结构：两个式子都是两项、符号相反，且每一项都可写成某个整式的平方，因此确定用平方差公式分解；再分别确定两个式子中对应公式里的$m$和$n$，代入公式即可得到分解结果。
【解析】
1. 分解$9x^2 - 25$：
先将两项改写为平方形式：$9x^2=(3x)^2$，$25=5^2$，
对应平方差公式，取$m=3x$，$n=5$，代入得：
$9x^2 -25=(3x)^2 -5^2=(3x+5)(3x-5)$。
2. 分解$a^2 - \frac{1}{4}$：
先将常数项改写为平方形式：$\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$，
对应平方差公式，取$m=a$，$n=\frac{1}{2}$，代入得：
$a^2 - \frac{1}{4}=a^2 - (\frac{1}{2})^2=(a+\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})$。
【答案】
$(3x+5)(3x-5)$；$(a+\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握平方差公式的结构特征：两项分别为两个整式的平方，且两项符号相反，符合该特征的多项式即可直接套用平方差公式完成因式分解。
【难度系数】
0.9
2. 一个长方形的面积是$(x^2 -9)$平方米，其长为$(x+3)$米，用含有x的代数式表示它的宽应为米。
答案
$\boldsymbol{x-3}$
解析
【分析】
解题首先回忆长方形的面积计算公式，由“面积=长×宽”可推导出宽=面积÷长。接下来观察给出的面积代数式$x^2-9$，符合平方差公式的结构，可以先利用平方差公式对面积因式分解，再做整式除法，约分后就能得到宽的代数式，注意长$x+3$是长方形的边长，必然不为0，可直接约分。
【解析】
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，可得：
$\mathrm{宽} = \mathrm{面积} ÷ \mathrm{长}$
将已知的面积$(x^2-9)$和长$(x+3)$代入得：
$\mathrm{宽} = (x^2 - 9) ÷ (x + 3)$
利用平方差公式因式分解$x^2 -9$：$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$，代入上式：
$\mathrm{宽} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$
因为长方形的长$x+3 ＞ 0$，可以约去公因式$x+3$，得：
$\mathrm{宽} = x-3$
【答案】
$\boldsymbol{x-3}$
【知识点】
长方形面积计算，平方差公式因式分解，整式除法
【点评】
本题将整式运算和几何计算结合，解题的核心是熟练识别平方差公式的结构特征，正确对多项式因式分解后约分即可，同时要注意几何量的实际意义保证除数不为0。
【难度系数】
0.8
解题首先回忆长方形的面积计算公式，由“面积=长×宽”可推导出宽=面积÷长。接下来观察给出的面积代数式$x^2-9$，符合平方差公式的结构，可以先利用平方差公式对面积因式分解，再做整式除法，约分后就能得到宽的代数式，注意长$x+3$是长方形的边长，必然不为0，可直接约分。
【解析】
根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，可得：
$\mathrm{宽} = \mathrm{面积} ÷ \mathrm{长}$
将已知的面积$(x^2-9)$和长$(x+3)$代入得：
$\mathrm{宽} = (x^2 - 9) ÷ (x + 3)$
利用平方差公式因式分解$x^2 -9$：$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x+3)(x-3)$，代入上式：
$\mathrm{宽} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$
因为长方形的长$x+3 ＞ 0$，可以约去公因式$x+3$，得：
$\mathrm{宽} = x-3$
【答案】
$\boldsymbol{x-3}$
【知识点】
长方形面积计算，平方差公式因式分解，整式除法
【点评】
本题将整式运算和几何计算结合，解题的核心是熟练识别平方差公式的结构特征，正确对多项式因式分解后约分即可，同时要注意几何量的实际意义保证除数不为0。
【难度系数】
0.8
3. 若$m^2 - n^2 =6$且$m-n=2$，则代数式$m+n$的值为.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
首先观察已知条件中出现了$m^2 - n^2$，符合平方差公式的形式，因此可以先利用平方差公式对$m^2 - n^2$进行因式分解，将其转化为含$m-n$和$m+n$的乘积形式，再代入已知的$m^2 - n^2$和$m-n$的值，即可直接求出$m+n$的数值。
【解析】
根据平方差公式，可得：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
已知$m^2 - n^2 = 6$，$m - n = 2$，将两个条件代入上式得：
$6 = 2×(m + n)$
等式两边同时除以2，解得：
$m + n = 6÷2 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的逆用，熟练掌握因式分解的常用公式并能灵活代入已知条件计算是解题的关键。
【难度系数】
0.85
首先观察已知条件中出现了$m^2 - n^2$，符合平方差公式的形式，因此可以先利用平方差公式对$m^2 - n^2$进行因式分解，将其转化为含$m-n$和$m+n$的乘积形式，再代入已知的$m^2 - n^2$和$m-n$的值，即可直接求出$m+n$的数值。
【解析】
根据平方差公式，可得：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
已知$m^2 - n^2 = 6$，$m - n = 2$，将两个条件代入上式得：
$6 = 2×(m + n)$
等式两边同时除以2，解得：
$m + n = 6÷2 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的逆用，熟练掌握因式分解的常用公式并能灵活代入已知条件计算是解题的关键。
【难度系数】
0.85
4. 转化是解决数学问题的一种重要策略,可将不规则的图形转化为规则图形,达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图是两个部分重合的等腰直角三角形,腰长分别为$a,b(a＞b),a+b=7,a-b=2$,阴影部分面积分别为$S_1,S_2$,则$S_1-S_2=$.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
要计算$S_1-S_2$，直接计算两个阴影面积难度较大，观察图形可知：$S_1$加上公共空白部分的面积等于腰长为$a$的等腰直角三角形的面积，$S_2$加上公共空白部分的面积等于腰长为$b$的等腰直角三角形的面积，二者作差时公共空白部分可抵消，因此$S_1-S_2$可转化为两个等腰直角三角形的面积差。再利用平方差公式对面积差的表达式因式分解，代入已知的$a+b$和$a-b$的值即可计算结果，无需单独求解$a$、$b$的数值。
【解析】
设两个三角形重合的空白部分面积为$S$。
腰长为$a$的等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$，因此$S_1=\frac{1}{2}a^2 - S$；
腰长为$b$的等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}b^2$，因此$S_2=\frac{1}{2}b^2 - S$。
则$S_1 - S_2 = (\frac{1}{2}a^2 - S) - (\frac{1}{2}b^2 - S) = \frac{1}{2}(a^2 - b^2)$。
根据平方差公式，$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入已知条件$a+b=7$，$a-b=2$：
$S_1 - S_2=\frac{1}{2}×(a+b)(a-b)=\frac{1}{2}×7×2=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
平方差公式，等腰直角三角形面积计算，整体代换
【点评】
本题巧妙运用转化思想，将阴影面积差转化为两个规则三角形的面积差，通过抵消公共部分、因式分解代入已知条件求解，避免了单独计算$a$、$b$的数值，简化了运算过程，体现了转化策略在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.7
要计算$S_1-S_2$，直接计算两个阴影面积难度较大，观察图形可知：$S_1$加上公共空白部分的面积等于腰长为$a$的等腰直角三角形的面积，$S_2$加上公共空白部分的面积等于腰长为$b$的等腰直角三角形的面积，二者作差时公共空白部分可抵消，因此$S_1-S_2$可转化为两个等腰直角三角形的面积差。再利用平方差公式对面积差的表达式因式分解，代入已知的$a+b$和$a-b$的值即可计算结果，无需单独求解$a$、$b$的数值。
【解析】
设两个三角形重合的空白部分面积为$S$。
腰长为$a$的等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$，因此$S_1=\frac{1}{2}a^2 - S$；
腰长为$b$的等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}b^2$，因此$S_2=\frac{1}{2}b^2 - S$。
则$S_1 - S_2 = (\frac{1}{2}a^2 - S) - (\frac{1}{2}b^2 - S) = \frac{1}{2}(a^2 - b^2)$。
根据平方差公式，$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入已知条件$a+b=7$，$a-b=2$：
$S_1 - S_2=\frac{1}{2}×(a+b)(a-b)=\frac{1}{2}×7×2=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
平方差公式，等腰直角三角形面积计算，整体代换
【点评】
本题巧妙运用转化思想，将阴影面积差转化为两个规则三角形的面积差，通过抵消公共部分、因式分解代入已知条件求解，避免了单独计算$a$、$b$的数值，简化了运算过程，体现了转化策略在几何面积计算中的应用。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 分解因式：
（1）$x^2 - 4y^2$；
（2）$-m^2 + 81$；
（3）$x^4 -1$；
（4）$3x^2 -48$；
（5）$2x -18xy^2$；
（6）$ax^3 -100ax$；
（7）$(x+2)^2 -9$；
（8）$xy^2 -x + y +1$；
1. 分解因式：
（1）$x^2 - 4y^2$；
（2）$-m^2 + 81$；
（3）$x^4 -1$；
（4）$3x^2 -48$；
（5）$2x -18xy^2$；
（6）$ax^3 -100ax$；
（7）$(x+2)^2 -9$；
（8）$xy^2 -x + y +1$；
答案
解：
(1) 原式$=x^2-(2y)^2$
$=(x+2y)(x-2y)$
(2) 原式$=9^2-m^2$
$=(9+m)(9-m)$
(3) 原式$=(x^2)^2-1^2$
$=(x^2+1)(x^2-1)$
$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(4) 原式$=3(x^2-16)$
$=3(x^2-4^2)$
$=3(x+4)(x-4)$
(5) 原式$=2x(1-9y^2)$
$=2x[1^2-(3y)^2]$
$=2x(1+3y)(1-3y)$
(6) 原式$=ax(x^2-100)$
$=ax(x^2-10^2)$
$=ax(x+10)(x-10)$
(7) 原式$=(x+2)^2-3^2$
$=(x+2+3)(x+2-3)$
$=(x+5)(x-1)$
(8) 原式$=x(y^2-1)+(y+1)$
$=x(y+1)(y-1)+(y+1)$
$=(y+1)[x(y-1)+1]$
$=(y+1)(xy-x+1)$
(1) 原式$=x^2-(2y)^2$
$=(x+2y)(x-2y)$
(2) 原式$=9^2-m^2$
$=(9+m)(9-m)$
(3) 原式$=(x^2)^2-1^2$
$=(x^2+1)(x^2-1)$
$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(4) 原式$=3(x^2-16)$
$=3(x^2-4^2)$
$=3(x+4)(x-4)$
(5) 原式$=2x(1-9y^2)$
$=2x[1^2-(3y)^2]$
$=2x(1+3y)(1-3y)$
(6) 原式$=ax(x^2-100)$
$=ax(x^2-10^2)$
$=ax(x+10)(x-10)$
(7) 原式$=(x+2)^2-3^2$
$=(x+2+3)(x+2-3)$
$=(x+5)(x-1)$
(8) 原式$=x(y^2-1)+(y+1)$
$=x(y+1)(y-1)+(y+1)$
$=(y+1)[x(y-1)+1]$
$=(y+1)(xy-x+1)$
解析
【分析】
这8道因式分解题核心考查平方差公式的应用，解题遵循以下思路：1. 先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；2. 再判断剩余部分是否符合“两个数的平方差”的结构，即$a^2-b^2$的形式，若符合则套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解；3. 检查分解结果是否还能继续分解，要分解到每一个因式都不能再分解为止。其中第（8）题需要先将前两项分为一组，提取公因式后即可出现公因式$(y+1)$，再提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1) 原式$=x^2-(2y)^2$
$=(x+2y)(x-2y)$
(2) 原式$=9^2-m^2$
$=(9+m)(9-m)$
(3) 原式$=(x^2)^2-1^2$
$=(x^2+1)(x^2-1)$
$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(4) 原式$=3(x^2-16)$
$=3(x^2-4^2)$
$=3(x+4)(x-4)$
(5) 原式$=2x(1-9y^2)$
$=2x[1^2-(3y)^2]$
$=2x(1+3y)(1-3y)$
(6) 原式$=ax(x^2-100)$
$=ax(x^2-10^2)$
$=ax(x+10)(x-10)$
(7) 原式$=(x+2)^2-3^2$
$=(x+2+3)(x+2-3)$
$=(x+5)(x-1)$
(8) 原式$=x(y^2-1)+(y+1)$
$=x(y+1)(y-1)+(y+1)$
$=(y+1)[x(y-1)+1]$
$=(y+1)(xy-x+1)$
【答案】
(1) $(x+2y)(x-2y)$
(2) $(9+m)(9-m)$
(3) $(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(4) $3(x+4)(x-4)$
(5) $2x(1+3y)(1-3y)$
(6) $ax(x+10)(x-10)$
(7) $(x+5)(x-1)$
(8) $(y+1)(xy-x+1)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式法，分组分解法
【点评】
本组题目属于因式分解的基础巩固题型，解题时需牢记“先提公因式，再套用公式，最后检查分解是否彻底”的顺序，要熟练识别平方差公式的结构特征，第（8）题需要灵活分组找到公因式，避免出现分解不彻底或分组错误的问题。
【难度系数】
0.7
这8道因式分解题核心考查平方差公式的应用，解题遵循以下思路：1. 先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；2. 再判断剩余部分是否符合“两个数的平方差”的结构，即$a^2-b^2$的形式，若符合则套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解；3. 检查分解结果是否还能继续分解，要分解到每一个因式都不能再分解为止。其中第（8）题需要先将前两项分为一组，提取公因式后即可出现公因式$(y+1)$，再提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1) 原式$=x^2-(2y)^2$
$=(x+2y)(x-2y)$
(2) 原式$=9^2-m^2$
$=(9+m)(9-m)$
(3) 原式$=(x^2)^2-1^2$
$=(x^2+1)(x^2-1)$
$=(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(4) 原式$=3(x^2-16)$
$=3(x^2-4^2)$
$=3(x+4)(x-4)$
(5) 原式$=2x(1-9y^2)$
$=2x[1^2-(3y)^2]$
$=2x(1+3y)(1-3y)$
(6) 原式$=ax(x^2-100)$
$=ax(x^2-10^2)$
$=ax(x+10)(x-10)$
(7) 原式$=(x+2)^2-3^2$
$=(x+2+3)(x+2-3)$
$=(x+5)(x-1)$
(8) 原式$=x(y^2-1)+(y+1)$
$=x(y+1)(y-1)+(y+1)$
$=(y+1)[x(y-1)+1]$
$=(y+1)(xy-x+1)$
【答案】
(1) $(x+2y)(x-2y)$
(2) $(9+m)(9-m)$
(3) $(x^2+1)(x+1)(x-1)$
(4) $3(x+4)(x-4)$
(5) $2x(1+3y)(1-3y)$
(6) $ax(x+10)(x-10)$
(7) $(x+5)(x-1)$
(8) $(y+1)(xy-x+1)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式法，分组分解法
【点评】
本组题目属于因式分解的基础巩固题型，解题时需牢记“先提公因式，再套用公式，最后检查分解是否彻底”的顺序，要熟练识别平方差公式的结构特征，第（8）题需要灵活分组找到公因式，避免出现分解不彻底或分组错误的问题。
【难度系数】
0.7
