1. 如图，正方形ABCD的边长为5，以点C为圆心、2为半径作$\odot C$. P为$\odot C$上的动点，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转$90°$得到$BP'$，连接$CP'$. 在点P运动的过程中，$CP'$长度的最大值是 （）

A.$5\sqrt{2}+2$
B.$3\sqrt{2}+2$
C.$5\sqrt{2}-2$
D.$3\sqrt{2}-2$

1.A

【分析】
遇到线段旋转的动态问题，首先结合正方形90°角的特征构造全等三角形：由BP绕点B逆时针旋转90°得BP'，正方形中BA由BC绕点B逆时针旋转90°得到，可证△ABP'与△CBP全等，得到AP'=CP=2，即可确定点P'的运动轨迹是以A为圆心、2为半径的圆；再根据“圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加半径”，计算点C到圆心A的距离后加半径即可得CP'的最大值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵BP绕点B逆时针旋转90°得到BP'，
∴BP=BP'，∠PBP'=90°，
∴∠ABC - ∠ABP = ∠PBP' - ∠ABP，即∠P'BA=∠PBC，
在△ABP'和△CBP中：
$\{\begin{array}{l}BA=BC \\∠P'BA=∠PBC \\BP'=BP\end{array} $
∴△ABP'≌△CBP（SAS），
∴AP'=CP，
∵⊙C的半径为2，点P在⊙C上，
∴CP=2，即AP'=2，
∴点P'的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，
∵正方形ABCD边长为5，
∴对角线AC=$\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$，
根据圆外一点到圆上点的最大距离=点到圆心的距离+半径，
可得CP'的最大值为$AC + AP' = 5\sqrt{2} + 2$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，全等三角形判定与性质，圆的最值
【点评】
本题为几何动态最值类典型题，解题核心是通过旋转构造全等三角形确定未知动点的轨迹，再结合圆的最值规律求解，能有效考查几何图形的性质应用和动态分析能力。
【难度系数】
0.6

2.如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$CD⊥ AB$，垂足为D，E是$\odot O$上的动点（不与点C重合），F为CE的中点，若$AD=2$，$CD=4$，则DF的最大值为 （）

A.2
B.$2\sqrt{5}$
C.5
D.10

2.C

【分析】
要求DF的最大值，首先观察到F是CE的中点，可结合中点性质构造中位线转化线段。首先利用垂径定理延长CD交圆于G，得到D是CG中点，即可推出DF是△CGE的中位线，得到$DF=\frac{1}{2}GE$，因此DF的最大值等价于GE的最大值的一半。而圆中最长的弦是直径，因此只需先求出圆的半径，得到直径长度即可求出DF的最大值。
【解析】
1. 延长CD交$\odot O$于点G，
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，
根据垂径定理可得：$CD=DG=4$，即D是CG的中点。
2.
∵F是CE的中点，
∴DF是$△ CGE$的中位线，
根据中位线性质得：$DF=\frac{1}{2}GE$。
3. 设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OD=r-AD=r-2$，
在$Rt△ ODC$中，由勾股定理得：
$OC^2=OD^2+CD^2$，
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
解得$r=5$，
∴$\odot O$的直径为$2r=10$。
4.
∵GE是$\odot O$上的弦，弦的最大值为直径长度，
∴GE的最大值为10，
∴DF的最大值为$\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的最值问题，解题的关键是通过构造中位线将所求线段的最值转化为圆内弦长的最值，巧妙运用了转化的数学思想，同时也考查了垂径定理和勾股定理的综合应用。
【难度系数】
0.6

3. 如图，AB是$\odot O$的直径，$AD⊥ AB$于点A，OD交$\odot O$于点C，$AE⊥ OD$于点E，交$\odot O$于点F，F为$\overset{\frown}{BC}$的中点，P为线段AB上一动点.若$CD=4$，则$PE+PF$的最小值是（）

A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\frac{3}{4}$

3.C

【分析】
本题是圆背景下的线段和最小值问题，核心采用"将军饮马模型"求解，解题思路分三步：首先利用垂径定理和弧中点的性质推导弧的等量关系，得到圆心角的度数；再结合直角三角形的性质求出圆的半径；最后作对称点转化线段，计算两点间距离即为最小值。
【解析】
1. 求圆心角与圆的半径
∵ $AE⊥OD$，OC是$\odot O$的半径，由垂径定理可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$。
又
∵ F是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$。
因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，三个弧的和为半圆$180°$，故每个弧对应的圆心角为$60°$，即$∠ AOC=60°$。
∵ $AD⊥AB$，在$Rt△ OAD$中，$∠ D=90°-∠ AOC=30°$，
∴ $OD=2OA$。
设$\odot O$半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OC+CD=r+4$，代入得$2r=r+4$，解得$r=4$，即$OA=4$。
2. 求OE的长度
在$Rt△ AOE$中，$∠ AOE=60°$，$OA=4$，因此$OE=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
3. 计算$PE+PF$的最小值
作点E关于AB的对称点$E'$，由对称性质可知$PE=PE'$，因此$PE+PF=PE'+PF$，当$E'$、P、F三点共线时，$PE'+PF$取最小值，即为$E'F$的长度。
以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系：
E在OC上，$∠ AOC=60°$，$OE=2$，可得E坐标为$(-1,\sqrt{3})$，对称点$E'$坐标为$(-1,-\sqrt{3})$；
F对应圆心角为$60°$，半径为4，可得F坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
由两点间距离公式：
$E'F=\sqrt{(2-(-1))^2+(2\sqrt{3}-(-\sqrt{3}))^2}=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=6$
即$PE+PF$的最小值为6。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，将军饮马最值，弧与圆心角关系
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和最短路径问题，解题关键是先通过弧的等量关系求出圆心角度数和圆半径，再利用对称转化线段求解，对知识点的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

4.(2025·宿迁宿城区期中)如图,半圆O与平面直角坐标系交于点$A(-2,0)$,$B(8,0)$,点C在$\overset{\frown}{AB}$上运动(不与点A,B重合),连接AC,BC,$∠ CAB$与$∠ CBA$的平分线交于点D,则点C从点A运动到点B的过程中,点D的运动路径长为 ()

A.$3π$
B.$\dfrac{5\sqrt{2}}{2}π$
C.$3\sqrt{2}π$
D.$4\sqrt{2}π$

4.B

【分析】
解题思路分三步：①先利用直径所对圆周角为直角，得到∠ACB=90°，再结合角平分线性质推导∠ADB为定值135°，判断点D的运动轨迹为定弦AB对应的一段圆弧；②根据定弦定角的性质，求出轨迹圆的半径和轨迹对应的圆心角；③代入弧长公式计算路径长度。
【解析】
1. 由点A(-2,0)、B(8,0)得AB长为$8-(-2)=10$，AB是半圆的直径，根据圆周角定理得$∠ ACB=90°$。
2. 在$△ ACB$中，$∠ CAB+∠ CBA=180°-90°=90°$。
因为AD平分$∠ CAB$，BD平分$∠ CBA$，所以$∠ DAB+∠ DBA=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=45°$，因此$∠ ADB=180°-45°=135°$，即$∠ ADB$为定值，点D在以AB为弦、对应圆周角为$135°$的圆弧上运动。
3. 设轨迹圆的圆心为P，弦AB对应的劣弧圆心角为$90°$，$△ PAB$为等腰直角三角形，因此轨迹圆半径$r=PA=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$。
4. 点C在x轴上方的半圆运动，点D的运动轨迹对应的圆心角为$90°$，代入弧长公式：
$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×5\sqrt{2}}{180}=\frac{5\sqrt{2}}{2}π$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，弧长计算
【点评】
本题是圆的动态轨迹类问题，核心是通过定角判断点的运动轨迹为圆弧，再结合几何性质求出轨迹的半径和圆心角即可求解，能有效考查逻辑推理和动态分析能力。
【难度系数】
0.4

5.等腰三角形ABC内接于$\odot O$，$AB=AC$.
(1)若$∠ BOC=100°$，则$∠ A=$；
(2)若$BC=8$，点$O$到$BC$的距离为$3$，则$AB=$.

5.(1)$50°或130°$ (2)$2\sqrt{5}或4\sqrt{5}$

【分析】
(1) 等腰三角形内接于圆时，顶点A的位置存在两种可能：在优弧BC上或劣弧BC上，结合“同弧所对圆周角是圆心角的一半”分别计算即可，注意不要漏解。
(2) 先利用垂径定理求出BC的一半长度，再通过勾股定理算出圆的半径；接着分圆心在△ABC内部、外部两种情况，求出底边BC上的高，最后用勾股定理计算AB的长度。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当点A在优弧BC上时，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×100°=50°$；
② 当点A在劣弧BC上时，优弧BC的度数为$360°-100°=260°$，此时$∠ A=\frac{1}{2}×260°=130°$。
(2) 过点O作$OD⊥ BC$于点D，由垂径定理得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ BOD$中，$OD=3$，$BD=4$，由勾股定理得$OB=\sqrt{OD^2+BD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即$\odot O$的半径为5。
分两种情况讨论：
① 当圆心O在$△ ABC$内部时，底边BC上的高$AD=AO+OD=5+3=8$，在$Rt△ ABD$中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$；
② 当圆心O在$△ ABC$外部时，底边BC上的高$AD=AO-OD=5-3=2$，在$Rt△ ABD$中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$50°或130°$ (2)$2\sqrt{5}或4\sqrt{5}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时容易因忽略点A、圆心位置的多种情况漏解，需熟练掌握圆的基础性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6

6.如图,边长为4的正方形ABCD外有一点E,∠AEB=90°,F为DE的中点,连接AF,则AF的最小值为.

6.$\sqrt{5}-1$

【分析】
解题时首先从已知条件∠AEB=90°入手，定边AB对应直角∠AEB，符合“直径所对圆周角为直角”的隐圆特征，可先确定E点的运动轨迹是以AB为直径的圆；接下来F是DE的中点，属于随E运动的从动点，结合三角形中位线的性质可推出F的轨迹也为圆，可确定该圆的圆心与半径；最后根据点到圆上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”，代入计算即可得到AF的最小值。
【解析】
设AB的中点为O，连接OD，取OD的中点为M，连接OE、MF、AM。
1. 确定E的轨迹：
∵∠AEB=90°，O为AB中点，正方形ABCD边长为4，
∴$OE=OA=OB=\frac{1}{2}AB=2$，即点E在以O为圆心，半径为2的圆上运动。
2. 确定F的轨迹：
∵F为DE中点，M为OD中点，
∴MF是△DOE的中位线，
∴$MF=\frac{1}{2}OE=1$，即点F在以M为圆心，半径为1的圆上运动。
3. 计算AF的最小值：
建立平面直角坐标系，设A为坐标原点，AB在x轴正半轴，AD在y轴正半轴，则A(0,0)，O(2,0)，D(0,4)，
∵M是OD中点，
∴M的坐标为(1,2)，
∴$AM=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，
根据点到圆上点的最短距离规律，AF的最小值为$AM - r = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，点圆最值
【点评】
本题属于隐圆类最值问题，需要熟练掌握常见的隐圆判定方法，结合中位线性质确定从动点的运动轨迹，再利用点与圆的位置关系求解最值，对动点轨迹的分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3