7.(2025·宿迁宿城区期末)如图,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),C为坐标平面内一点,OC⊥BC,M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为。

7.$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

8.(2025·宿迁沭阳县期中)如图,在$△ ABC$中,$AC=2$,$BC=3$,$∠ ACB=30°$,$D$是$△ ABC$内一动点,$\odot O$为$△ ACD$的外接圆,$\odot O$交直线$BD$于点$P$,交边$BC$于点$E$.若$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CP}$,则$AD$的最小值为.

8.$\sqrt{13}-3$

三、解答题
9.如图，P为线段AB上一动点(点P可以与点A，B重合)，在线段AB的同侧分别作等边三角形APC和等边三角形PBD，连接AD，BC，交点为Q.
(1)求$∠ AQB$的度数；
(2)若$AB=6$，求动点Q的运动路径的长.

9.解:(1)$∵△APC,△PBD$都是等边三角形，
$∴AP=PC,PD=PB,∠APC=∠DPB=60°$，
$∴∠APD=∠CPB$.
在$△APD$和$△CPB$中,$\begin{cases} AP=PC, \\ ∠APD=∠CPB, \\ DP=BP, \end{cases}$
$∴△APD≌△CPB(SAS)$，
$∴∠ADP=∠CBP$.
设BC与PD交于点G，
$∵∠QGD=∠PGB$，
$∴∠DQG=∠BPG=60°$，
$∴∠AQB=180°-∠DQG=120°$.
(2)如答图,由(1)及题意知$∠AQB=120°$,点Q的运动轨迹是劣弧AB,设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为O,在$\odot O$上任意取一点M,连接AM,BM,则$∠M=60°$,
$∴∠AOB=2∠M=120°$,作$OH⊥AB$于点H，
则$AH=BH=3,OH=\sqrt{3},OB=2\sqrt{3}$，
$∴\overset{\frown}{AB}$的长为$\dfrac{120×π×2\sqrt{3}}{180}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}π$，
$∴$动点Q的运动路径的长为$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}π$.

10.(2025·宿迁沭阳县期中)(1)证明定理:圆内接四边形的对角互补.
已知:如图①,四边形ABCD内接于⊙O,求证:∠A+∠C=∠B+∠D=180°.
(2)逆命题证明:若四边形的一组对角∠A+∠C=180°,则这个四边形的4个顶点共圆(如图②).可以用反证法证明如下:在图②中,经过点A,B,D画⊙O.假设点C落在⊙O外,BC交⊙O于点E,连接DE.∵四边形ABED内接于⊙O,∴=180°.∵∠A+∠C=180°,∴∠BED=,与∠BED＞∠C矛盾;同理点C也不会落在⊙O内,∴A,B,C,D四点共圆.
(3)结论运用:如图③,AB⊥BC,AB=9,E,F分别是线段AB,射线BC上的动点,以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF,∠EDF=90°,连接AD,求AD的最小值.

10.(1)证明:如答图①,连接OB,OD，
$∵∠A=\dfrac{1}{2}∠2,∠C=\dfrac{1}{2}∠1$,且$∠1+∠2=360°$,
$∴∠A+∠C=\dfrac{1}{2}∠1+\dfrac{1}{2}∠2=180°$.
同理$∠ABC+∠ADC=180°$,
$∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°$.
(2)$∠A+∠BED$ $∠C$
(3)解:连接BD并延长,如答图②，
$∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°$.
$∵∠EDF=90°$,
$∴∠ABC+∠EDF=180°$,
$∴B,E,D,F$四点共圆.
$∵△DEF$为等腰直角三角形，
$∴∠DEF=∠DFE=45°$,
$∴∠DBF=∠DEF=45°$,
$∴∠DBE=45°$,
$∴$点D的轨迹在$∠ABC$的平分线上.
$∵$垂线段最短,$∴$当$AD⊥BD$时,AD取最小值，
$∴AD$的最小值为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}AB=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$.