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1.(2025·宿迁泗阳县期中)已知圆的半径为3,圆心到某直线的距离是2,则此直线与圆的位置关系为 (
A.相离
B.相切
C.相离或相切
D.相交
D
)A.相离
B.相切
C.相离或相切
D.相交
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题需先明确直线与圆位置关系的判定逻辑：我们可以通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系，判断直线与圆的位置关系。首先回忆判定规则：若$d＞r$，直线与圆相离；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＜r$，直线与圆相交。接下来提取题目给出的$r$和$d$的数值，比较二者大小就能得出结论。
【解析】
由题可知，圆的半径$r=3$，圆心到该直线的距离$d=2$。
因为$2＜3$，即$d＜r$，根据直线与圆的位置关系判定规则，可得这条直线与圆相交。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，牢记距离和半径的大小对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题需先明确直线与圆位置关系的判定逻辑：我们可以通过比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系，判断直线与圆的位置关系。首先回忆判定规则：若$d＞r$，直线与圆相离；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＜r$，直线与圆相交。接下来提取题目给出的$r$和$d$的数值，比较二者大小就能得出结论。
【解析】
由题可知，圆的半径$r=3$，圆心到该直线的距离$d=2$。
因为$2＜3$，即$d＜r$，根据直线与圆的位置关系判定规则，可得这条直线与圆相交。
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，牢记距离和半径的大小对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.已知平面内有$\odot O$和点$A$，$B$，若$\odot O$的半径为2 cm，线段$OA=3$ cm，$OB=2$ cm，则直线$AB$与$\odot O$的位置关系为（
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
D
）A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
答案
2.D
解析
【分析】
要判断直线AB与⊙O的位置关系，需先明确点A、B与⊙O的位置关系，再结合圆心到直线的距离和半径的大小关系分析。首先由半径和OA、OB的长度可知，点B在圆上、点A在圆外，直线AB必然经过圆上的点B。根据垂线段最短的性质，圆心O到直线AB的距离d一定不大于OB的长度（即半径2cm），据此分情况讨论d和半径的大小关系即可得出结论。
【解析】
已知⊙O的半径$r=2\mathrm{cm}$，
∵$OB=2\mathrm{cm}=r$，
∴点B在⊙O上；
∵$OA=3\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}=r$，
∴点A在⊙O外。
设圆心O到直线AB的距离为$d$，根据“直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短”，可得$d≤ OB=2\mathrm{cm}=r$，分两种情况：
1. 当$OB⊥ AB$时，$d=2\mathrm{cm}=r$，此时直线AB与⊙O相切；
2. 当OB与AB不垂直时，$d＜2\mathrm{cm}=r$，此时直线AB与⊙O相交。
因此直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；垂线段的性质
【点评】
本题易错点是容易忽略OB与AB垂直的特殊情况，解题时要结合点的位置关系，全面分析圆心到直线距离的取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要判断直线AB与⊙O的位置关系，需先明确点A、B与⊙O的位置关系，再结合圆心到直线的距离和半径的大小关系分析。首先由半径和OA、OB的长度可知，点B在圆上、点A在圆外，直线AB必然经过圆上的点B。根据垂线段最短的性质，圆心O到直线AB的距离d一定不大于OB的长度（即半径2cm），据此分情况讨论d和半径的大小关系即可得出结论。
【解析】
已知⊙O的半径$r=2\mathrm{cm}$，
∵$OB=2\mathrm{cm}=r$，
∴点B在⊙O上；
∵$OA=3\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}=r$，
∴点A在⊙O外。
设圆心O到直线AB的距离为$d$，根据“直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短”，可得$d≤ OB=2\mathrm{cm}=r$，分两种情况：
1. 当$OB⊥ AB$时，$d=2\mathrm{cm}=r$，此时直线AB与⊙O相切；
2. 当OB与AB不垂直时，$d＜2\mathrm{cm}=r$，此时直线AB与⊙O相交。
因此直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；垂线段的性质
【点评】
本题易错点是容易忽略OB与AB垂直的特殊情况，解题时要结合点的位置关系，全面分析圆心到直线距离的取值范围，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,半径为2的$\odot P$的圆心$P$的坐标为$(-3,0)$,将$\odot P$沿$x$轴正方向平移,使$\odot P$与$y$轴相切,则平移的距离为
1或5
.答案
3.1或5
解析
【分析】
解题时先回忆直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中直线是y轴，因此相切时圆心P到y轴的距离等于半径2，即圆心P的横坐标的绝对值为2。由于⊙P沿x轴正方向平移，圆心纵坐标不变，仅横坐标增大，需分两种情况讨论：①⊙P在y轴左侧与y轴相切；②⊙P在y轴右侧与y轴相切，分别计算两种情况的平移距离即可。
【解析】
已知⊙P的半径为2，当⊙P与y轴相切时，圆心P到y轴的距离为2，即此时点P的横坐标为2或-2。
设平移的距离为d，原圆心P的坐标为(-3,0)，沿x轴正方向平移后圆心坐标为(-3+d, 0)。
分两种情况：
1. 当⊙P在y轴左侧与y轴相切时，平移后圆心横坐标为-2，可得：
-3 + d = -2，解得d=1；
2. 当⊙P在y轴右侧与y轴相切时，平移后圆心横坐标为2，可得：
-3 + d = 2，解得d=5。
综上，平移的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；平移的性质；坐标与图形位置关系
【点评】
本题考查分类讨论思想，解题时容易仅考虑圆在y轴左侧相切的情况而漏解，需注意圆沿x轴平移时可在y轴两侧分别与y轴相切，两种情况都要考虑。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中直线是y轴，因此相切时圆心P到y轴的距离等于半径2，即圆心P的横坐标的绝对值为2。由于⊙P沿x轴正方向平移，圆心纵坐标不变，仅横坐标增大，需分两种情况讨论：①⊙P在y轴左侧与y轴相切；②⊙P在y轴右侧与y轴相切，分别计算两种情况的平移距离即可。
【解析】
已知⊙P的半径为2，当⊙P与y轴相切时，圆心P到y轴的距离为2，即此时点P的横坐标为2或-2。
设平移的距离为d，原圆心P的坐标为(-3,0)，沿x轴正方向平移后圆心坐标为(-3+d, 0)。
分两种情况：
1. 当⊙P在y轴左侧与y轴相切时，平移后圆心横坐标为-2，可得：
-3 + d = -2，解得d=1；
2. 当⊙P在y轴右侧与y轴相切时，平移后圆心横坐标为2，可得：
-3 + d = 2，解得d=5。
综上，平移的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；平移的性质；坐标与图形位置关系
【点评】
本题考查分类讨论思想，解题时容易仅考虑圆在y轴左侧相切的情况而漏解，需注意圆沿x轴平移时可在y轴两侧分别与y轴相切，两种情况都要考虑。
【难度系数】
0.7
4.如图，∠AOB=30°,OM=6,作以点M为圆心，r为半径的⊙M.
(1)当r=
(2)当r=4时，⊙M与射线OA有
(3)若⊙M与射线OA只有1个公共点，则r的取值范围是
(1)当r=
3
时，⊙M与直线OA相切；(2)当r=4时，⊙M与射线OA有
两
个公共点；(3)若⊙M与射线OA只有1个公共点，则r的取值范围是
r=3或r＞6
.答案
4.(1)3 (2)两 (3)r=3或r＞6
解析
【分析】
要解决这道题，核心是先求出圆心M到直线OA的距离，再结合直线、射线与圆的位置关系判定规则（d＞r相离，d=r相切，d＜r相交）分析各小问：首先过M作OA的垂线段，利用30°直角三角形的性质算出垂线段长度d=3；再针对每一小问，结合r和d的大小关系，以及射线OA的范围判断公共点个数或r的取值，注意第三问是射线而非直线，需考虑交点是否在射线上，避免漏解。
【解析】
过点M作MN⊥OA于点N，在Rt△OMN中，∠AOB=30°，OM=6，
∴ MN = $\frac{1}{2}$OM = 3，即圆心M到直线OA的距离d=3。
(1) 当⊙M与直线OA相切时，满足d=r，因此r=3。
(2) 当r=4时，d=3＜4，说明直线OA与⊙M相交，又OM=6＞4，即点O在⊙M外，因此两个交点均在射线OA上，故公共点个数为2。
(3) 若⊙M与射线OA只有1个公共点，分两种情况：
① 圆与射线OA相切：此时r=d=3，仅1个切点；
② 圆与射线OA相交但仅1个交点在射线上：此时半径大于OM的长度，即r＞6，此时点O在圆内，射线OA与圆仅有1个交点（另一交点在OA的反向延长线上，不属于射线OA）。
综上，r的取值范围是r=3或r＞6。
【答案】
(1)3 (2)两 (3)r=3或r＞6
【知识点】
直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形性质，射线的特征
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的判定，解题时要注意区分“直线”和“射线”的差异，第三问需考虑相切、交点仅一个在射线上两种情况，避免只想到相切的情况造成漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，核心是先求出圆心M到直线OA的距离，再结合直线、射线与圆的位置关系判定规则（d＞r相离，d=r相切，d＜r相交）分析各小问：首先过M作OA的垂线段，利用30°直角三角形的性质算出垂线段长度d=3；再针对每一小问，结合r和d的大小关系，以及射线OA的范围判断公共点个数或r的取值，注意第三问是射线而非直线，需考虑交点是否在射线上，避免漏解。
【解析】
过点M作MN⊥OA于点N，在Rt△OMN中，∠AOB=30°，OM=6，
∴ MN = $\frac{1}{2}$OM = 3，即圆心M到直线OA的距离d=3。
(1) 当⊙M与直线OA相切时，满足d=r，因此r=3。
(2) 当r=4时，d=3＜4，说明直线OA与⊙M相交，又OM=6＞4，即点O在⊙M外，因此两个交点均在射线OA上，故公共点个数为2。
(3) 若⊙M与射线OA只有1个公共点，分两种情况：
① 圆与射线OA相切：此时r=d=3，仅1个切点；
② 圆与射线OA相交但仅1个交点在射线上：此时半径大于OM的长度，即r＞6，此时点O在圆内，射线OA与圆仅有1个交点（另一交点在OA的反向延长线上，不属于射线OA）。
综上，r的取值范围是r=3或r＞6。
【答案】
(1)3 (2)两 (3)r=3或r＞6
【知识点】
直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形性质，射线的特征
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的判定，解题时要注意区分“直线”和“射线”的差异，第三问需考虑相切、交点仅一个在射线上两种情况，避免只想到相切的情况造成漏解。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,问以点 C 为圆心,r 为半径的⊙C 与直线 AB 有怎样的位置关系?
(1)r=4 cm;
(2)r=4.8 cm;
(3)r=6 cm.
(1)r=4 cm;
(2)r=4.8 cm;
(3)r=6 cm.
答案
5.解:
∵∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,
∴AB=√(AC²+BC²)=10 cm.
过点C作CD⊥AB于点D,
则CD=(AC·BC)/AB=4.8(cm).
(1)当r=4 cm时,CD＞r,
∴⊙C与直线AB相离.
(2)当r=4.8 cm时,CD=r,
∴⊙C与直线AB相切.
(3)当r=6 cm时,CD＜r,
∴⊙C与直线AB相交.
∵∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,
∴AB=√(AC²+BC²)=10 cm.
过点C作CD⊥AB于点D,
则CD=(AC·BC)/AB=4.8(cm).
(1)当r=4 cm时,CD＞r,
∴⊙C与直线AB相离.
(2)当r=4.8 cm时,CD=r,
∴⊙C与直线AB相切.
(3)当r=6 cm时,CD＜r,
∴⊙C与直线AB相交.
解析
【分析】
要判断⊙C与直线AB的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d与半径r的大小：若d＞r，直线与圆相离；若d=r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交。解题步骤如下：首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再用等面积法求出AB边上的高CD（即圆心C到AB的距离d），最后分别将d与三个r对比，判定对应位置关系即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 cm，AC=8 cm，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
过点C作CD⊥AB于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
可得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
(1)当r=4 cm时，$4.8\ \mathrm{cm}＞4\ \mathrm{cm}$，即$CD＞r$，
∴⊙C与直线AB相离。
(2)当r=4.8 cm时，$4.8\ \mathrm{cm}=4.8\ \mathrm{cm}$，即$CD=r$，
∴⊙C与直线AB相切。
(3)当r=6 cm时，$4.8\ \mathrm{cm}＜6\ \mathrm{cm}$，即$CD＜r$，
∴⊙C与直线AB相交。
【答案】
(1)相离；(2)相切；(3)相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、勾股定理、等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础典型题，核心考查位置关系的判定方法，同时结合了直角三角形的基础计算，解题关键是准确求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可得到结论。
【难度系数】
0.8
要判断⊙C与直线AB的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d与半径r的大小：若d＞r，直线与圆相离；若d=r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交。解题步骤如下：首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再用等面积法求出AB边上的高CD（即圆心C到AB的距离d），最后分别将d与三个r对比，判定对应位置关系即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 cm，AC=8 cm，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$。
过点C作CD⊥AB于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
可得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
(1)当r=4 cm时，$4.8\ \mathrm{cm}＞4\ \mathrm{cm}$，即$CD＞r$，
∴⊙C与直线AB相离。
(2)当r=4.8 cm时，$4.8\ \mathrm{cm}=4.8\ \mathrm{cm}$，即$CD=r$，
∴⊙C与直线AB相切。
(3)当r=6 cm时，$4.8\ \mathrm{cm}＜6\ \mathrm{cm}$，即$CD＜r$，
∴⊙C与直线AB相交。
【答案】
(1)相离；(2)相切；(3)相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、勾股定理、等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础典型题，核心考查位置关系的判定方法，同时结合了直角三角形的基础计算，解题关键是准确求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可得到结论。
【难度系数】
0.8
6.(2025·南京期末)已知线段AB=11,则平面内与点A的距离为5,且与点B的距离为6的直线有 (
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
C
)A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先进行等价转化：平面内到定点距离为定值的直线，是以该定点为圆心、定值为半径的圆的切线。因此本题中，满足与A距离为5的直线是⊙A（半径为5）的切线，满足与B距离为6的直线是⊙B（半径为6）的切线，所求直线就是两圆的公切线。接下来只需判断两圆的位置关系，即可得到公切线的总数量。
【解析】
1. 转化题意：与点A距离为5的直线是圆心为A、半径$r_1=5$的圆的切线；与点B距离为6的直线是圆心为B、半径$r_2=6$的圆的切线，因此符合要求的直线是两圆的公切线。
2. 判断两圆位置关系：已知圆心距$AB=11$，两圆半径和$r_1+r_2=5+6=11$，可得圆心距等于两半径之和，因此⊙A与⊙B外切。
3. 公切线计数：外切的两个圆共有3条公切线，其中2条为外公切线，1条为过切点的内公切线，因此符合条件的直线有3条。
【答案】
C
【知识点】
圆的切线性质；圆与圆的位置关系；公切线计数
【点评】
本题运用转化思想，将点到直线的距离问题转化为两圆公切线的计数问题，解题的核心是先将满足距离条件的直线对应到圆的切线，再通过圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，进而得到公切线的数量。
【难度系数】
0.6
解题时先进行等价转化：平面内到定点距离为定值的直线，是以该定点为圆心、定值为半径的圆的切线。因此本题中，满足与A距离为5的直线是⊙A（半径为5）的切线，满足与B距离为6的直线是⊙B（半径为6）的切线，所求直线就是两圆的公切线。接下来只需判断两圆的位置关系，即可得到公切线的总数量。
【解析】
1. 转化题意：与点A距离为5的直线是圆心为A、半径$r_1=5$的圆的切线；与点B距离为6的直线是圆心为B、半径$r_2=6$的圆的切线，因此符合要求的直线是两圆的公切线。
2. 判断两圆位置关系：已知圆心距$AB=11$，两圆半径和$r_1+r_2=5+6=11$，可得圆心距等于两半径之和，因此⊙A与⊙B外切。
3. 公切线计数：外切的两个圆共有3条公切线，其中2条为外公切线，1条为过切点的内公切线，因此符合条件的直线有3条。
【答案】
C
【知识点】
圆的切线性质；圆与圆的位置关系；公切线计数
【点评】
本题运用转化思想，将点到直线的距离问题转化为两圆公切线的计数问题，解题的核心是先将满足距离条件的直线对应到圆的切线，再通过圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，进而得到公切线的数量。
【难度系数】
0.6
