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利用二次函数求几何图形最大面积的一般步骤：
①引入
②用含
③根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；
④根据函数的关系式，求出最大值及取得最大值时
①引入
变量
；②用含
未知数
的代数式表示与所求图形相关的量；③根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；
④根据函数的关系式，求出最大值及取得最大值时
自变量
的值。答案
①变量 ②未知数 ④自变量
解析
【分析】
本题考查利用二次函数求几何图形最大面积的基本步骤，可结合这类问题的解题逻辑推导填空：解决函数应用类问题首先要设定未知量，即引入变量；后续所有和所求面积相关的几何量都需要用刚引入的未知量的代数式表示，才能建立关联；列好面积的二次函数关系式求最值时，除了得到最大面积，还要明确此时对应的自变量取值，按此逻辑即可对应填出各空。
【解析】
根据利用二次函数求几何图形最大面积的一般步骤：
①首先要引入变量，通常设某一与几何图形相关的量（如边长、动点移动距离等）为自变量；
②接下来用含该未知数（即引入的变量）的代数式表示与所求图形面积相关的所有几何量；
③依据几何图形的面积计算公式，构建面积关于该变量的二次函数表达式；
④最后结合二次函数的性质求出最大值，同时确定取得最大值时自变量的取值。
因此三个空依次填写对应内容即可。
【答案】
①变量 ②未知数 ④自变量
【知识点】
二次函数的应用；几何面积计算；二次函数最值
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查二次函数求解几何面积最值的常规步骤，掌握该步骤是解决这类实际应用问题的前提，需要熟练记忆并理解每一步的作用。
【难度系数】
0.9
本题考查利用二次函数求几何图形最大面积的基本步骤，可结合这类问题的解题逻辑推导填空：解决函数应用类问题首先要设定未知量，即引入变量；后续所有和所求面积相关的几何量都需要用刚引入的未知量的代数式表示，才能建立关联；列好面积的二次函数关系式求最值时，除了得到最大面积，还要明确此时对应的自变量取值，按此逻辑即可对应填出各空。
【解析】
根据利用二次函数求几何图形最大面积的一般步骤：
①首先要引入变量，通常设某一与几何图形相关的量（如边长、动点移动距离等）为自变量；
②接下来用含该未知数（即引入的变量）的代数式表示与所求图形面积相关的所有几何量；
③依据几何图形的面积计算公式，构建面积关于该变量的二次函数表达式；
④最后结合二次函数的性质求出最大值，同时确定取得最大值时自变量的取值。
因此三个空依次填写对应内容即可。
【答案】
①变量 ②未知数 ④自变量
【知识点】
二次函数的应用；几何面积计算；二次函数最值
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查二次函数求解几何面积最值的常规步骤，掌握该步骤是解决这类实际应用问题的前提，需要熟练记忆并理解每一步的作用。
【难度系数】
0.9
1.如图,小明在数学实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个矩形活动区,设矩形活动区的宽为x m,则该活动区的面积S可表示为(
A.$S=x(24-2x)$
B.$S=x(24-x)$
C.$S=2x(24-2x)$
D.$S=2x(24-x)$
A
)。A.$S=x(24-2x)$
B.$S=x(24-x)$
C.$S=2x(24-2x)$
D.$S=2x(24-x)$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先明确围栏仅围矩形的3条边（靠墙的一侧不需要围栏）。已知矩形的宽为x m，且垂直于墙的边为宽，那么2条宽的总长度为2x m，用围栏总长度减去2条宽的长度，就能得到平行于墙的矩形的长，最后根据矩形面积=长×宽，即可推导得到面积S的表达式。
【解析】
由题意得，矩形垂直于墙的边长（宽）为x m，
则平行于墙的边长为：$24 - 2x$ m，
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S = x(24-2x)$，因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，矩形面积计算，二次函数实际应用
【点评】
本题是实际场景结合代数表示的基础题，解题核心是注意靠墙围矩形时，围栏长度仅对应3条边的长度和，避免误将围栏长度等同于矩形周长，只要正确表示出矩形的长，结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确围栏仅围矩形的3条边（靠墙的一侧不需要围栏）。已知矩形的宽为x m，且垂直于墙的边为宽，那么2条宽的总长度为2x m，用围栏总长度减去2条宽的长度，就能得到平行于墙的矩形的长，最后根据矩形面积=长×宽，即可推导得到面积S的表达式。
【解析】
由题意得，矩形垂直于墙的边长（宽）为x m，
则平行于墙的边长为：$24 - 2x$ m，
根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得：
$S = x(24-2x)$，因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
列代数式，矩形面积计算，二次函数实际应用
【点评】
本题是实际场景结合代数表示的基础题，解题核心是注意靠墙围矩形时，围栏长度仅对应3条边的长度和，避免误将围栏长度等同于矩形周长，只要正确表示出矩形的长，结合面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2.已知一个直角三角形的两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为（
A.25 cm²
B.50 cm²
C.100 cm²
D.无法确定
B
）。A.25 cm²
B.50 cm²
C.100 cm²
D.无法确定
答案
2.B
解析
【分析】
本题是利用二次函数求几何图形最大面积的问题，解题思路如下：首先设其中一条直角边的长度为自变量，根据两直角边之和为20cm表示出另一条直角边的长度；再结合直角三角形面积公式，将面积表示为关于自变量的二次函数；最后根据二次函数的性质，结合自变量的实际取值范围，求出面积的最大值即可。
【解析】
设其中一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
根据直角三角形面积公式可得面积$ S $为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(20 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10 $时，$ S $取得最大值，代入得：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50 \, \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；直角三角形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数在几何问题中的基础应用题型，解题核心是通过设未知数建立面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，求解时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是利用二次函数求几何图形最大面积的问题，解题思路如下：首先设其中一条直角边的长度为自变量，根据两直角边之和为20cm表示出另一条直角边的长度；再结合直角三角形面积公式，将面积表示为关于自变量的二次函数；最后根据二次函数的性质，结合自变量的实际取值范围，求出面积的最大值即可。
【解析】
设其中一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
根据直角三角形面积公式可得面积$ S $为：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(20 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 10x\end{aligned}$
该函数是二次函数，且二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
当$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10 $时，$ S $取得最大值，代入得：
$S_{\mathrm{max}} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50 \, \mathrm{cm}^2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；直角三角形面积计算；二次函数最值
【点评】
本题属于二次函数在几何问题中的基础应用题型，解题核心是通过设未知数建立面积的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，求解时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积(墙足够长)是(
A.$60\ \mathrm{m}^2$
B.$63\ \mathrm{m}^2$
C.$64\ \mathrm{m}^2$
D.$66\ \mathrm{m}^2$
C
)。A.$60\ \mathrm{m}^2$
B.$63\ \mathrm{m}^2$
C.$64\ \mathrm{m}^2$
D.$66\ \mathrm{m}^2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题是二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图形可知矩形ABCD的AD、CD边靠墙，因此篱笆仅需围AB、BC两条边，总长为16m；接下来设其中一条边的长度为未知数，用篱笆总长表示出另一条边的长度；再根据矩形面积公式写出面积关于未知数的二次函数表达式；最后利用二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值）计算最大面积即可。
【解析】
设AB的长度为$ x\ \mathrm{m} $，则BC的长度为$ (16 - x)\ \mathrm{m} $，设矩形ABCD的面积为$ S\ \mathrm{m^2} $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(16 - x) $
整理为二次函数一般式：
$ S = -x^2 + 16x $
用配方法转化为顶点式：
$ S = -(x^2 - 16x) = -(x^2 - 16x + 64 - 64) = -(x - 8)^2 + 64 $
$\because a=-1＜0$，$\therefore$该二次函数开口向下，当$ x=8 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 64\ \mathrm{m^2} $。
因此所围成矩形的最大面积为$ 64\ \mathrm{m^2} $。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的应用
2.二次函数的最值
3.矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合题意正确建立面积的函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际场景。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图形可知矩形ABCD的AD、CD边靠墙，因此篱笆仅需围AB、BC两条边，总长为16m；接下来设其中一条边的长度为未知数，用篱笆总长表示出另一条边的长度；再根据矩形面积公式写出面积关于未知数的二次函数表达式；最后利用二次函数的性质（开口向下时顶点处取最大值）计算最大面积即可。
【解析】
设AB的长度为$ x\ \mathrm{m} $，则BC的长度为$ (16 - x)\ \mathrm{m} $，设矩形ABCD的面积为$ S\ \mathrm{m^2} $。
根据矩形面积公式可得：
$ S = x(16 - x) $
整理为二次函数一般式：
$ S = -x^2 + 16x $
用配方法转化为顶点式：
$ S = -(x^2 - 16x) = -(x^2 - 16x + 64 - 64) = -(x - 8)^2 + 64 $
$\because a=-1＜0$，$\therefore$该二次函数开口向下，当$ x=8 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 64\ \mathrm{m^2} $。
因此所围成矩形的最大面积为$ 64\ \mathrm{m^2} $。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的应用
2.二次函数的最值
3.矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题核心是结合题意正确建立面积的函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际场景。
【难度系数】
0.7
4.如图,用长10 m的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框,则此窗户的最大透光面积为(
A.$50π \ \mathrm{m}^2$
B.$\dfrac{50}{4+π} \ \mathrm{m}^2$
C.$\dfrac{50}{8+π} \ \mathrm{m}^2$
D.$\dfrac{50}{16+π} \ \mathrm{m}^2$
C
)。A.$50π \ \mathrm{m}^2$
B.$\dfrac{50}{4+π} \ \mathrm{m}^2$
C.$\dfrac{50}{8+π} \ \mathrm{m}^2$
D.$\dfrac{50}{16+π} \ \mathrm{m}^2$
答案
4.C
解析
【分析】
本题是利用二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：1. 设半圆半径为r，可推出矩形的底边长为2r，半圆的弧长为πr；2. 根据铝合金总长度为10m，将矩形的竖直边长用含r的代数式表示；3. 透光面积为半圆面积加矩形面积，将面积表示为关于r的二次函数；4. 利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大面积即可。
【解析】
设半圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $，则矩形的底边长$ AB=DC=2r \, \mathrm{m} $，半圆弧长为$ π r \, \mathrm{m} $，设矩形的竖直边长$ AD=BC=h \, \mathrm{m} $。
根据铝合金条总长度为10m，可得：
$ π r + 2r + 2r + 2h = 10 $
整理得：
$ h = \frac{10 - 4r - π r}{2} = 5 - \frac{(4+π)r}{2} $
窗户的透光面积$ S $为半圆面积与矩形面积之和：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}π r^2 + 2r · h\\&=\frac{1}{2}π r^2 + 2r · (5 - \frac{(4+π)r}{2})\\&=\frac{1}{2}π r^2 + 10r - (4+π)r^2\\&=-(4 + \frac{π}{2})r^2 + 10r\end{aligned}$
该二次函数的二次项系数$ a=-(4+\frac{π}{2})＜0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，最大值为$ \frac{4ac - b^2}{4a} $，本题中$ a=-\frac{8+π}{2} $，$ b=10 $，$ c=0 $，代入得：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{0 - 10^2}{4×(-\frac{8+π}{2})}=\frac{-100}{-2(8+π)}=\frac{50}{8+π} \, (\mathrm{m}^2)$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用、二次函数的最值、圆的相关计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积计算，考查二次函数在实际问题中的最值应用，解题的关键是正确梳理周长的组成，建立合理的函数关系式。
【难度系数】
0.65
本题是利用二次函数求最值的实际应用问题，解题思路如下：1. 设半圆半径为r，可推出矩形的底边长为2r，半圆的弧长为πr；2. 根据铝合金总长度为10m，将矩形的竖直边长用含r的代数式表示；3. 透光面积为半圆面积加矩形面积，将面积表示为关于r的二次函数；4. 利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算最大面积即可。
【解析】
设半圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $，则矩形的底边长$ AB=DC=2r \, \mathrm{m} $，半圆弧长为$ π r \, \mathrm{m} $，设矩形的竖直边长$ AD=BC=h \, \mathrm{m} $。
根据铝合金条总长度为10m，可得：
$ π r + 2r + 2r + 2h = 10 $
整理得：
$ h = \frac{10 - 4r - π r}{2} = 5 - \frac{(4+π)r}{2} $
窗户的透光面积$ S $为半圆面积与矩形面积之和：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}π r^2 + 2r · h\\&=\frac{1}{2}π r^2 + 2r · (5 - \frac{(4+π)r}{2})\\&=\frac{1}{2}π r^2 + 10r - (4+π)r^2\\&=-(4 + \frac{π}{2})r^2 + 10r\end{aligned}$
该二次函数的二次项系数$ a=-(4+\frac{π}{2})＜0 $，因此函数图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，最大值为$ \frac{4ac - b^2}{4a} $，本题中$ a=-\frac{8+π}{2} $，$ b=10 $，$ c=0 $，代入得：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{0 - 10^2}{4×(-\frac{8+π}{2})}=\frac{-100}{-2(8+π)}=\frac{50}{8+π} \, (\mathrm{m}^2)$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用、二次函数的最值、圆的相关计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积计算，考查二次函数在实际问题中的最值应用，解题的关键是正确梳理周长的组成，建立合理的函数关系式。
【难度系数】
0.65
5.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长$x(\mathrm{m})$与面积$y(\mathrm{m}^2)$满足函数关系$y=-(x-12)^2+144(0＜x＜24)$，则该矩形面积的最大值为
$144\ \mathrm{m}^2$
。答案
5. $144\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
要找矩形面积的最大值，本质是求给定二次函数在自变量取值范围内的最大值。解题思路如下：首先判断二次函数的开口方向，由二次项系数符号可确定函数是否存在最大值；再结合二次函数顶点式的特征找到顶点坐标；最后验证顶点的横坐标是否在给定的x取值范围内，若在范围内，顶点的纵坐标就是函数的最大值。
【解析】
解：已知面积与边长的函数关系为$y=-(x-12)^2+144(0＜x＜24)$，该式为二次函数的顶点式。
其中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该函数的顶点坐标为$(12,144)$。
验证可得$x=12$满足取值范围$0＜x＜24$，因此当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为$144\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$144\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础应用题型，解题核心是掌握二次函数顶点式的特征，结合开口方向和自变量取值范围判断最值，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要找矩形面积的最大值，本质是求给定二次函数在自变量取值范围内的最大值。解题思路如下：首先判断二次函数的开口方向，由二次项系数符号可确定函数是否存在最大值；再结合二次函数顶点式的特征找到顶点坐标；最后验证顶点的横坐标是否在给定的x取值范围内，若在范围内，顶点的纵坐标就是函数的最大值。
【解析】
解：已知面积与边长的函数关系为$y=-(x-12)^2+144(0＜x＜24)$，该式为二次函数的顶点式。
其中二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，可得该函数的顶点坐标为$(12,144)$。
验证可得$x=12$满足取值范围$0＜x＜24$，因此当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为$144\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$144\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础应用题型，解题核心是掌握二次函数顶点式的特征，结合开口方向和自变量取值范围判断最值，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$开始沿$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿$BC$向点$C$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动。如果点$P$,$Q$分别从点$A$,$B$同时出发,当$△ PBQ$的面积最大时,运动时间$t$为
（第6题）
$2\ \mathrm{s}$
。（第6题）答案
6. $2\ \mathrm{s}$
解析
【分析】
本题是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：首先根据动点的运动速度、时间t，分别表示出直角△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；再利用直角三角形面积公式写出面积关于t的函数表达式，同时明确t的取值范围；最后结合二次函数的性质，求出面积取最大值时对应的t值即可。
【解析】
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$，
∵$∠ B=90°$，
∴$S=\frac{1}{2} · PB · BQ=\frac{1}{2}(8-2t)t=-t^2+4t$，
其中$t$的取值范围为$\begin{cases}t≥0 \\ 8-2t≥0 \end{cases}$，即$0≤ t≤4$。
该二次函数二次项系数为$-1＜0$，图象开口向下，在顶点处取得最大值，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=4$得：
$t=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，符合$0≤ t≤4$的取值要求。
【答案】
$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$
【知识点】
二次函数的最值，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题结合动点场景考查二次函数的实际应用，解题关键是根据几何性质正确建立面积关于运动时间的函数关系，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际运动情况。
【难度系数】
0.7
本题是动点结合二次函数求最值的问题，解题思路如下：首先根据动点的运动速度、时间t，分别表示出直角△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；再利用直角三角形面积公式写出面积关于t的函数表达式，同时明确t的取值范围；最后结合二次函数的性质，求出面积取最大值时对应的t值即可。
【解析】
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，$△ PBQ$的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=(8-2t)\ \mathrm{cm}$，
∵$∠ B=90°$，
∴$S=\frac{1}{2} · PB · BQ=\frac{1}{2}(8-2t)t=-t^2+4t$，
其中$t$的取值范围为$\begin{cases}t≥0 \\ 8-2t≥0 \end{cases}$，即$0≤ t≤4$。
该二次函数二次项系数为$-1＜0$，图象开口向下，在顶点处取得最大值，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1,b=4$得：
$t=-\frac{4}{2×(-1)}=2$，符合$0≤ t≤4$的取值要求。
【答案】
$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$
【知识点】
二次函数的最值，动点问题，三角形面积计算
【点评】
本题结合动点场景考查二次函数的实际应用，解题关键是根据几何性质正确建立面积关于运动时间的函数关系，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际运动情况。
【难度系数】
0.7
7.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门。已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为
$75\ \mathrm{m}^2$
。答案
7. $75\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
这是利用二次函数求面积最大值的实际应用问题，解题思路如下：1. 合理设置自变量，优先设垂直于现有墙的边长为未知数，便于后续表示各边长度；2. 明确材料建墙总长不包含门，因此总墙体（含门位置）的长度为材料总长加3扇门的总宽度；3. 结合图形的墙体结构，表示出平行于墙的边长，再根据矩形面积公式写出面积关于自变量的二次函数表达式；4. 结合二次函数的图象性质，在自变量的实际取值范围内求出最大值即可。
【解析】
设垂直于现有墙的边长为$ x\ \mathrm{m} $，饲养室的总面积为$ S\ \mathrm{m}^2 $。
已知三处门各宽1m，材料可建墙体（不含门）总长为27m，因此所有墙体（含门位置）的总长度为$ 27+3×1=30\ \mathrm{m} $。
观察图形可知垂直于墙的墙体共3段，因此平行于墙的边长为$ (30-3x)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式可得：
$ S=x(30-3x)=-3x^2+30x $
自变量需满足$ \begin{cases}x＞0\\30-3x＞0\end{cases} $，即$ 0＜x＜10 $。
该二次函数二次项系数为$-3＜0$，图象开口向下，在顶点处取得最大值：
顶点横坐标$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-3)}=5 $，符合自变量取值范围。
将$ x=5 $代入得：
$ S_{\mathrm{最大}}=-3×5^2+30×5=75\ \mathrm{m}^2 $
【答案】
$ 75\ \mathrm{m}^2 $
【知识点】
二次函数的最值、列函数关系式、矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型基础题，解题核心是准确梳理墙体长度的数量关系，正确写出面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解，解题时需注意自变量要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是利用二次函数求面积最大值的实际应用问题，解题思路如下：1. 合理设置自变量，优先设垂直于现有墙的边长为未知数，便于后续表示各边长度；2. 明确材料建墙总长不包含门，因此总墙体（含门位置）的长度为材料总长加3扇门的总宽度；3. 结合图形的墙体结构，表示出平行于墙的边长，再根据矩形面积公式写出面积关于自变量的二次函数表达式；4. 结合二次函数的图象性质，在自变量的实际取值范围内求出最大值即可。
【解析】
设垂直于现有墙的边长为$ x\ \mathrm{m} $，饲养室的总面积为$ S\ \mathrm{m}^2 $。
已知三处门各宽1m，材料可建墙体（不含门）总长为27m，因此所有墙体（含门位置）的总长度为$ 27+3×1=30\ \mathrm{m} $。
观察图形可知垂直于墙的墙体共3段，因此平行于墙的边长为$ (30-3x)\ \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式可得：
$ S=x(30-3x)=-3x^2+30x $
自变量需满足$ \begin{cases}x＞0\\30-3x＞0\end{cases} $，即$ 0＜x＜10 $。
该二次函数二次项系数为$-3＜0$，图象开口向下，在顶点处取得最大值：
顶点横坐标$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{30}{2×(-3)}=5 $，符合自变量取值范围。
将$ x=5 $代入得：
$ S_{\mathrm{最大}}=-3×5^2+30×5=75\ \mathrm{m}^2 $
【答案】
$ 75\ \mathrm{m}^2 $
【知识点】
二次函数的最值、列函数关系式、矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型基础题，解题核心是准确梳理墙体长度的数量关系，正确写出面积的函数表达式，再结合二次函数性质求解，解题时需注意自变量要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
