13.规定:不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”。若抛物线$y=x^2+bx+c$经过$(0,3),(1,2)$。
(1)求抛物线的表达式。
(2)求抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴的“亲近距离”。
(3)如图,在求抛物线$y=x^2-2x+3$与直线$y=x-1$的“亲近距离”的过程中,有人提出:过抛物线的顶点向$x$轴作垂线与直线$y=x-1$相交,则“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离,你同意他的看法吗?请说明理由。

13.解:(1)分别把$(0,3),(1,2)$代入 $y=x^2+bx+c$,得$\begin{cases}c=3,\\1+b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2,\\c=3。\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=x^2-2x+3$。
(2)$\because y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$,
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。
$\therefore$ 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的“亲近距离”为 2。
(3)不同意他的看法。
理由:如图,设 $P(t,t^2-2t+3)$ 为抛物线 $y=x^2-2x+3$ 上的任意一点,过点 $P$ 作$PQ// y$ 轴交直线 $y=x-1$ 于点 $Q$,则 $Q(t,t-1)$。
$\therefore PQ=t^2-2t+3-(t-1)=t^2-3t+4=(t-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$。
$\therefore$ 当 $t=\frac{3}{2}$ 时,$PQ$ 的值最小,为$\frac{7}{4}$。
$\because$ 抛物线的顶点坐标为$(1,2)$,
$\therefore$ 不同意他的看法。

【分析】
(1)求抛物线表达式可采用待定系数法，将已知的两个点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，进而得到解析式；
(2)根据“亲近距离”的定义，抛物线与x轴（y=0）的竖直方向最短距离就是抛物线的最小y值，先将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点的纵坐标，即为所求的亲近距离；
(3)要判断该看法是否正确，不能直接默认顶点处距离最小，可设抛物线上任意一点的横坐标为t，过该点作y轴平行线交直线于另一点，两点的纵坐标差即为竖直距离，将这个距离表示为关于t的二次函数，求其最小值，再与顶点处的竖直距离对比，若不相等则说明该看法错误。
【解析】
(1) 分别把$(0,3),(1,2)$代入 $y=x^2+bx+c$，得$\begin{cases}c=3,\\1+b+c=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2,\\c=3。\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=x^2-2x+3$。
(2)$\because y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。
$\therefore$ 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴的“亲近距离”为 2。
(3)不同意他的看法。
理由:设 $P(t,t^2-2t+3)$ 为抛物线 $y=x^2-2x+3$ 上的任意一点,过点 $P$ 作$PQ// y$ 轴交直线 $y=x-1$ 于点 $Q$,则 $Q(t,t-1)$。
$\therefore PQ=t^2-2t+3-(t-1)=t^2-3t+4=(t-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}$。
$\therefore$ 当 $t=\frac{3}{2}$ 时,$PQ$ 的值最小,为$\frac{7}{4}$。
$\because$ 抛物线的顶点坐标为$(1,2)$,顶点处竖直距离为$2-(1-1)=2≠\frac{7}{4}$，所以“亲近距离”不是抛物线顶点与交点之间的距离。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-2x+3}$
(2) $\boldsymbol{2}$
(3) 不同意他的看法，理由见解析。

【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数最值；新定义应用
【点评】
本题结合新定义“亲近距离”考查二次函数的相关知识，需要先准确理解新定义的含义，将陌生问题转化为熟悉的二次函数最值问题求解，第三问需要通过设参数计算验证结论，侧重考查知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.6