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一、选择题
1. 下列式子从左到右的变形：①$\frac{x}{3x^2}=\frac{1}{3x}$，②$\frac{a+m}{b+m}=\frac{a}{b}$，③$\frac{2}{2+a}=\frac{1}{1+2a}$，④$\frac{2+xy}{xy+2}=1$，⑤$\frac{a^2 -1}{a+1}=a-1$，⑥$\frac{-(x-y)}{(x-y)^2}=-\frac{1}{x-y}$，其中正确的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
1. 下列式子从左到右的变形：①$\frac{x}{3x^2}=\frac{1}{3x}$，②$\frac{a+m}{b+m}=\frac{a}{b}$，③$\frac{2}{2+a}=\frac{1}{1+2a}$，④$\frac{2+xy}{xy+2}=1$，⑤$\frac{a^2 -1}{a+1}=a-1$，⑥$\frac{-(x-y)}{(x-y)^2}=-\frac{1}{x-y}$，其中正确的有(
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. C
解析
【分析】
要判断分式变形是否正确，核心依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。同时题目给出的从左到右的变形，默认左边分式有意义，即左边分母不为0，我们只需逐个验证每个变形是否符合分式基本性质即可。
【解析】
我们逐个判断每个变形的正确性：
1. 对于①：左边$\frac{x}{3x^2}$有意义，则$x≠0$，分子分母同时除以不为0的$x$，可得$\frac{1}{3x}$，变形正确；
2. 对于②：变形是分子分母同时加$m$，不符合分式基本性质（分式基本性质仅针对同乘除同一个非零整式，加减操作不适用），变形错误；
3. 对于③：分子除以2，若要分式值不变，分母也应除以2，得到的分母应为$\frac{2+a}{2}=1+\frac{a}{2}$，不是$1+2a$，变形错误；
4. 对于④：分子$2+xy$和分母$xy+2$是相同的整式，且左边分式有意义则$xy+2≠0$，所以分式的值为1，变形正确；
5. 对于⑤：左边$\frac{a^2-1}{a+1}$有意义，则$a+1≠0$，分子因式分解得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，分子分母同时除以不为0的$a+1$，可得$a-1$，变形正确；
6. 对于⑥：左边分式有意义则$(x-y)^2≠0$，即$x-y≠0$，分子分母同时除以不为0的$x-y$，可得$-\frac{1}{x-y}$，变形正确。
综上，正确的变形有①④⑤⑥，共4个。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分；分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式基本性质的应用，解题时需注意两点：一是仅对分子分母同时进行乘除同一个非零整式的操作时，分式值才不变，加减操作不适用该性质；二是要利用好左边分式有意义隐含的分母不为0的条件，避免不必要的判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断分式变形是否正确，核心依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。同时题目给出的从左到右的变形，默认左边分式有意义，即左边分母不为0，我们只需逐个验证每个变形是否符合分式基本性质即可。
【解析】
我们逐个判断每个变形的正确性：
1. 对于①：左边$\frac{x}{3x^2}$有意义，则$x≠0$，分子分母同时除以不为0的$x$，可得$\frac{1}{3x}$，变形正确；
2. 对于②：变形是分子分母同时加$m$，不符合分式基本性质（分式基本性质仅针对同乘除同一个非零整式，加减操作不适用），变形错误；
3. 对于③：分子除以2，若要分式值不变，分母也应除以2，得到的分母应为$\frac{2+a}{2}=1+\frac{a}{2}$，不是$1+2a$，变形错误；
4. 对于④：分子$2+xy$和分母$xy+2$是相同的整式，且左边分式有意义则$xy+2≠0$，所以分式的值为1，变形正确；
5. 对于⑤：左边$\frac{a^2-1}{a+1}$有意义，则$a+1≠0$，分子因式分解得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，分子分母同时除以不为0的$a+1$，可得$a-1$，变形正确；
6. 对于⑥：左边分式有意义则$(x-y)^2≠0$，即$x-y≠0$，分子分母同时除以不为0的$x-y$，可得$-\frac{1}{x-y}$，变形正确。
综上，正确的变形有①④⑤⑥，共4个。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分；分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式基本性质的应用，解题时需注意两点：一是仅对分子分母同时进行乘除同一个非零整式的操作时，分式值才不变，加减操作不适用该性质；二是要利用好左边分式有意义隐含的分母不为0的条件，避免不必要的判断错误。
【难度系数】
0.7
2. 下面的式子化简正确的是(
A.$\dfrac{2a+1}{2a+1}=0$
B.$\dfrac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=-1$
C.$\dfrac{6-2x}{-x+3}=2$
D.$\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=x+y$
C
)A.$\dfrac{2a+1}{2a+1}=0$
B.$\dfrac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=-1$
C.$\dfrac{6-2x}{-x+3}=2$
D.$\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=x+y$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查分式的化简，核心是运用分式的基本性质和约分规则解题。解题思路是逐个分析选项：首先明确分式约分的前提是分子分母同除以不为0的整式，分式值不变；接着对每个选项的分子、分母先做因式分解，判断是否有公因式，再验证约分结果是否正确，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，逐个分析选项：
A. 当分式有意义即$2a+1≠0$时，$\dfrac{2a+1}{2a+1}=1≠0$，故A错误；
B. 由平方的性质可得$(a-b)^2=(b-a)^2$，当分式有意义即$b-a≠0$时，$\dfrac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=1≠-1$，故B错误；
C. 先对分子分母变形：分子$6-2x=2(3-x)$，分母$-x+3=3-x$，当分式有意义即$3-x≠0$时，约去公因式$3-x$，得$\dfrac{2(3-x)}{3-x}=2$，故C正确；
D. $x^2+y^2$无法分解出因式$x+y$，且$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≠x^2+y^2$，无法约分得到$x+y$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分、因式分解
【点评】
本题是分式化简的基础题，解题时要注意先判断分子分母的公因式，互为相反数的偶次幂是相等的，不要对无法因式分解的整式强行拆分约分，避免出现概念性错误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的化简，核心是运用分式的基本性质和约分规则解题。解题思路是逐个分析选项：首先明确分式约分的前提是分子分母同除以不为0的整式，分式值不变；接着对每个选项的分子、分母先做因式分解，判断是否有公因式，再验证约分结果是否正确，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，逐个分析选项：
A. 当分式有意义即$2a+1≠0$时，$\dfrac{2a+1}{2a+1}=1≠0$，故A错误；
B. 由平方的性质可得$(a-b)^2=(b-a)^2$，当分式有意义即$b-a≠0$时，$\dfrac{(a-b)^2}{(b-a)^2}=1≠-1$，故B错误；
C. 先对分子分母变形：分子$6-2x=2(3-x)$，分母$-x+3=3-x$，当分式有意义即$3-x≠0$时，约去公因式$3-x$，得$\dfrac{2(3-x)}{3-x}=2$，故C正确；
D. $x^2+y^2$无法分解出因式$x+y$，且$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2≠x^2+y^2$，无法约分得到$x+y$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、分式的约分、因式分解
【点评】
本题是分式化简的基础题，解题时要注意先判断分子分母的公因式，互为相反数的偶次幂是相等的，不要对无法因式分解的整式强行拆分约分，避免出现概念性错误。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式与$\frac{x+y}{x-y}$相等的是(
A.$\frac{x+y+5}{x-y+5}$
B.$\frac{2x+y}{2x-y}$
C.$\frac{x^2 - y^2}{(x - y)^2}$
D.$\frac{x^2 + y^2}{x - y}$
C
)A.$\frac{x+y+5}{x-y+5}$
B.$\frac{2x+y}{2x-y}$
C.$\frac{x^2 - y^2}{(x - y)^2}$
D.$\frac{x^2 + y^2}{x - y}$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。接下来我们逐个验证选项：首先排除不符合“同乘除同一不为0整式”要求的选项，再对剩余选项进行因式分解、约分，判断是否和原式相等。要注意分式中分母不为0是约分的前提条件。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一判断选项：
A. 该选项是分子、分母同时加5，不属于同乘或同除同一个整式，不符合分式基本性质，与原式不相等，排除；
B. 该选项仅将分子、分母中含x的项乘2，y项没有变化，不是同乘同一个整式，不符合分式基本性质，与原式不相等，排除；
C. 先对分子因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分母为$(x-y)^2=(x-y)(x-y)$。由于原式$\frac{x+y}{x-y}$有意义，故$x-y≠0$，因此可将分子、分母同时除以不为0的$(x-y)$，约分后得$\frac{x+y}{x-y}$，与原式相等，符合要求；
D. 分子$x^2+y^2$无法分解出因式$(x+y)$，不能通过约分得到原式，与原式不相等，排除。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式、分式约分
【点评】
本题考查对分式基本性质的掌握应用，要注意分式的基本性质仅适用于分子分母同乘除同一个不为0的整式，加减相同的数或整式时，分式的值会发生变化；约分时要注意利用分母不为0的隐含条件，确保约分合法。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。接下来我们逐个验证选项：首先排除不符合“同乘除同一不为0整式”要求的选项，再对剩余选项进行因式分解、约分，判断是否和原式相等。要注意分式中分母不为0是约分的前提条件。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一判断选项：
A. 该选项是分子、分母同时加5，不属于同乘或同除同一个整式，不符合分式基本性质，与原式不相等，排除；
B. 该选项仅将分子、分母中含x的项乘2，y项没有变化，不是同乘同一个整式，不符合分式基本性质，与原式不相等，排除；
C. 先对分子因式分解：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分母为$(x-y)^2=(x-y)(x-y)$。由于原式$\frac{x+y}{x-y}$有意义，故$x-y≠0$，因此可将分子、分母同时除以不为0的$(x-y)$，约分后得$\frac{x+y}{x-y}$，与原式相等，符合要求；
D. 分子$x^2+y^2$无法分解出因式$(x+y)$，不能通过约分得到原式，与原式不相等，排除。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、平方差公式、分式约分
【点评】
本题考查对分式基本性质的掌握应用，要注意分式的基本性质仅适用于分子分母同乘除同一个不为0的整式，加减相同的数或整式时，分式的值会发生变化；约分时要注意利用分母不为0的隐含条件，确保约分合法。
【难度系数】
0.8
4. 下列分式中是最简分式的是(
A.$\frac{2x^2}{x^2+1}$
B.$\frac{4}{2x}$
C.$\frac{x-1}{x^2-1}$
D.$\frac{1-x}{x-1}$
A
)A.$\frac{2x^2}{x^2+1}$
B.$\frac{4}{2x}$
C.$\frac{x-1}{x^2-1}$
D.$\frac{1-x}{x-1}$
答案
4. A
解析
【分析】
解题前先回忆最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为逐个分析每个选项的分子、分母是否存在公因式：若存在公因式说明可以约分，就不是最简分式；若不存在公因式，就是最简分式。判断前可先对能因式分解的多项式先因式分解，更方便找公因式。
【解析】
根据最简分式的判定规则（分子、分母不含公因式）逐一分析选项：
A. 分子为$2x^2$，分母为$x^2+1$，$x^2+1$无法因式分解，且分子分母没有公共因式，不能约分，属于最简分式；
B. 分子4和分母$2x$有公因式2，约分后为$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
C. 分母$x^2-1$用平方差公式因式分解为$(x-1)(x+1)$，和分子$x-1$有公因式$x-1$，约分后为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
D. 分子$1-x=-(x-1)$，和分母$x-1$有公因式$x-1$，约分后为$-1$，不是最简分式。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的判定，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式基础题，核心考查最简分式的判断方法，解题时要注意先对分子分母中的多项式因式分解，再排查公因式，避免因漏看可分解的多项式出错。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为逐个分析每个选项的分子、分母是否存在公因式：若存在公因式说明可以约分，就不是最简分式；若不存在公因式，就是最简分式。判断前可先对能因式分解的多项式先因式分解，更方便找公因式。
【解析】
根据最简分式的判定规则（分子、分母不含公因式）逐一分析选项：
A. 分子为$2x^2$，分母为$x^2+1$，$x^2+1$无法因式分解，且分子分母没有公共因式，不能约分，属于最简分式；
B. 分子4和分母$2x$有公因式2，约分后为$\frac{2}{x}$，不是最简分式；
C. 分母$x^2-1$用平方差公式因式分解为$(x-1)(x+1)$，和分子$x-1$有公因式$x-1$，约分后为$\frac{1}{x+1}$，不是最简分式；
D. 分子$1-x=-(x-1)$，和分母$x-1$有公因式$x-1$，约分后为$-1$，不是最简分式。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的判定，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式基础题，核心考查最简分式的判断方法，解题时要注意先对分子分母中的多项式因式分解，再排查公因式，避免因漏看可分解的多项式出错。
【难度系数】
0.8
5. 化简$\frac{x^2 - y^2}{x - y}$的结果是(
A.$x+y$
B.$x-y$
C.$y-x$
D.$-x-y$
A
)A.$x+y$
B.$x-y$
C.$y-x$
D.$-x-y$
答案
5. A
解析
【分析】
要化简这个分式，首先观察分子的结构，分子$x^2-y^2$符合平方差公式的形式，第一步先利用平方差公式对分子因式分解，再找分子和分母的公因式，根据分式的基本性质，在公因式不为0的前提下可以约去公因式，从而得到化简结果。
【解析】
1. 对分子因式分解：根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，可得$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$；
2. 代入原式得：$\frac{x^2 - y^2}{x - y} = \frac{(x+y)(x-y)}{x-y}$；
3. 分式有意义时，分母$x-y ≠ 0$，因此可以约去分子分母的公因式$x-y$，化简后得到$x+y$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，分式约分，分式的基本性质
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的因式分解方法，同时要注意分式约分的前提是所约的公因式不为0，避免出现逻辑漏洞。
【难度系数】
0.9
要化简这个分式，首先观察分子的结构，分子$x^2-y^2$符合平方差公式的形式，第一步先利用平方差公式对分子因式分解，再找分子和分母的公因式，根据分式的基本性质，在公因式不为0的前提下可以约去公因式，从而得到化简结果。
【解析】
1. 对分子因式分解：根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，可得$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$；
2. 代入原式得：$\frac{x^2 - y^2}{x - y} = \frac{(x+y)(x-y)}{x-y}$；
3. 分式有意义时，分母$x-y ≠ 0$，因此可以约去分子分母的公因式$x-y$，化简后得到$x+y$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，分式约分，分式的基本性质
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的因式分解方法，同时要注意分式约分的前提是所约的公因式不为0，避免出现逻辑漏洞。
【难度系数】
0.9
二、填空题
1. 分式$\frac{-5}{2a},\frac{1}{a^2b},\frac{7}{3ab^3}$的最简公分母是
1. 分式$\frac{-5}{2a},\frac{1}{a^2b},\frac{7}{3ab^3}$的最简公分母是
$6a^2b^3$
.答案
1. $6a^2b^3$
解析
【分析】
要确定几个分式的最简公分母，可按固定思路逐步推导：第一步先找各分母系数的最小公倍数；第二步梳理各分母中出现的所有字母，相同字母取次数最高的；第三步将系数的最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。
【解析】
首先列出三个分式的分母分别为$2a$、$a^2b$、$3ab^3$：
1. 求系数的最小公倍数：2、1、3的最小公倍数是$2×3=6$；
2. 确定字母的最高次幂：三个分母中出现的字母有$a$和$b$，其中$a$的最高次数为2次，对应$a^2$，$b$的最高次数为3次，对应$b^3$；
3. 组合得到最简公分母：将系数最小公倍数和各字母最高次幂相乘，即$6× a^2× b^3=6a^2b^3$。
【答案】
$6a^2b^3$
【知识点】
最简公分母的确定，最小公倍数计算，幂的认识
【点评】
本题属于基础题型，核心考查最简公分母的求解规则，只要掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂、所有出现的字母都要包含”的原则，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
要确定几个分式的最简公分母，可按固定思路逐步推导：第一步先找各分母系数的最小公倍数；第二步梳理各分母中出现的所有字母，相同字母取次数最高的；第三步将系数的最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。
【解析】
首先列出三个分式的分母分别为$2a$、$a^2b$、$3ab^3$：
1. 求系数的最小公倍数：2、1、3的最小公倍数是$2×3=6$；
2. 确定字母的最高次幂：三个分母中出现的字母有$a$和$b$，其中$a$的最高次数为2次，对应$a^2$，$b$的最高次数为3次，对应$b^3$；
3. 组合得到最简公分母：将系数最小公倍数和各字母最高次幂相乘，即$6× a^2× b^3=6a^2b^3$。
【答案】
$6a^2b^3$
【知识点】
最简公分母的确定，最小公倍数计算，幂的认识
【点评】
本题属于基础题型，核心考查最简公分母的求解规则，只要掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂、所有出现的字母都要包含”的原则，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8
2. 分式$\frac{1}{x(x-3)}$与$\frac{2}{x^2 -9}$的最简公分母是
$x(x-3)(x+3)$
.答案
2. $x(x-3)(x+3)$
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，需遵循最简公分母的确定步骤思考：首先将两个分式的分母分别因式分解，再找出所有出现过的不同因式，最后取每个因式的最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。
【解析】
步骤1：对两个分式的分母分别因式分解
第一个分式的分母为$x(x-3)$，已经是整式乘积的形式，所含因式为$x$、$(x-3)$；
第二个分式的分母为$x^2-9$，符合平方差公式的结构，分解得：$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$，所含因式为$(x+3)$、$(x-3)$。
步骤2：确定所有不同因式及最高次幂
两个分母中出现的不同因式有$x$、$(x-3)$、$(x+3)$，所有因式的最高次幂均为1次。
步骤3：计算最简公分母
将所有不同因式的最高次幂相乘，得最简公分母为$x(x-3)(x+3)$。
【答案】
$x(x-3)(x+3)$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先正确对各分母因式分解，再按规则选取因式相乘，掌握该知识点可为后续分式通分、加减运算打好基础。
【难度系数】
0.8
要确定两个分式的最简公分母，需遵循最简公分母的确定步骤思考：首先将两个分式的分母分别因式分解，再找出所有出现过的不同因式，最后取每个因式的最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。
【解析】
步骤1：对两个分式的分母分别因式分解
第一个分式的分母为$x(x-3)$，已经是整式乘积的形式，所含因式为$x$、$(x-3)$；
第二个分式的分母为$x^2-9$，符合平方差公式的结构，分解得：$x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)$，所含因式为$(x+3)$、$(x-3)$。
步骤2：确定所有不同因式及最高次幂
两个分母中出现的不同因式有$x$、$(x-3)$、$(x+3)$，所有因式的最高次幂均为1次。
步骤3：计算最简公分母
将所有不同因式的最高次幂相乘，得最简公分母为$x(x-3)(x+3)$。
【答案】
$x(x-3)(x+3)$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先正确对各分母因式分解，再按规则选取因式相乘，掌握该知识点可为后续分式通分、加减运算打好基础。
【难度系数】
0.8
3. 将$\frac{m^2 - 16}{3m - 12}$约分得
$\frac{m+4}{3}$
.答案
3. $\frac{m+4}{3}$
解析
【分析】
解决分式约分问题需遵循三步思路：第一步对分子、分母分别进行因式分解，第二步找出二者的公因式，第三步约去公因式得到最简分式。本题中分子$m^2-16$是平方差的形式，可利用平方差公式分解；分母$3m-12$存在公因式3，可提公因式分解。结合分式有意义的条件，公因式$m-4≠0$，可直接约去公因式得到结果。
【解析】
解：首先对分子、分母分别因式分解：
分子：$m^2 - 16 = m^2 - 4^2 = (m+4)(m-4)$
分母：$3m - 12 = 3(m - 4)$
$\because$ 原分式有意义时，分母$3m-12≠0$，即$m≠4$，$\therefore m-4≠0$
约去公因式$(m-4)$可得：
$\frac{m^2 - 16}{3m - 12} = \frac{(m+4)(m-4)}{3(m-4)} = \frac{m+4}{3}$
【答案】
$\frac{m+4}{3}$
【知识点】
平方差公式，提公因式因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式约分的基础考查题，核心是熟练掌握因式分解的常用方法，准确识别分子分母的公因式，同时要注意约分时需保证公因式不为0，符合分式有意义的要求。
【难度系数】
0.85
解决分式约分问题需遵循三步思路：第一步对分子、分母分别进行因式分解，第二步找出二者的公因式，第三步约去公因式得到最简分式。本题中分子$m^2-16$是平方差的形式，可利用平方差公式分解；分母$3m-12$存在公因式3，可提公因式分解。结合分式有意义的条件，公因式$m-4≠0$，可直接约去公因式得到结果。
【解析】
解：首先对分子、分母分别因式分解：
分子：$m^2 - 16 = m^2 - 4^2 = (m+4)(m-4)$
分母：$3m - 12 = 3(m - 4)$
$\because$ 原分式有意义时，分母$3m-12≠0$，即$m≠4$，$\therefore m-4≠0$
约去公因式$(m-4)$可得：
$\frac{m^2 - 16}{3m - 12} = \frac{(m+4)(m-4)}{3(m-4)} = \frac{m+4}{3}$
【答案】
$\frac{m+4}{3}$
【知识点】
平方差公式，提公因式因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式约分的基础考查题，核心是熟练掌握因式分解的常用方法，准确识别分子分母的公因式，同时要注意约分时需保证公因式不为0，符合分式有意义的要求。
【难度系数】
0.85
4. 在海南黎族“三月三”节庆期间，一位阿婆正在制作一幅精美的黎锦挂毯.挂毯上有一块正方形图案，面积为$(4x^2 -8x +4)$平方分米.为了给其染上天然的植物染料，阿婆准备了$(16 -16x)$升染料，则这块图案平均每平方分米需要
$\frac{4}{1-x}$
升染料.（用最简式表示）答案
4. $\frac{4}{1-x}$
解析
【分析】
要计算平均每平方分米需要的染料量，首先明确核心数量关系：单位面积染料用量=染料总升数÷正方形图案面积。解题按三步进行：①先对正方形面积的多项式因式分解，简化分母；②将染料总量与面积代入数量关系得到分式；③利用分式的基本性质对分式约分，约分时可借助平方的恒等变形简化符号处理，最终得到最简分式即可。
【解析】
第一步，对正方形图案的面积多项式因式分解：
$4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x-1)^2$，
由平方的性质可知$(x-1)^2=(1-x)^2$，因此面积可表示为$4(1-x)^2$平方分米。
第二步，代入数量关系列分式：
单位面积染料用量$=\frac{染料总量}{图案面积}=\frac{16-16x}{4x^2 -8x +4}$
第三步，化简分式：
先将分子变形为$16(1-x)$，代入分式得：
$\frac{16(1-x)}{4(1-x)^2}$，
实际问题中$1-x≠0$（保证面积不为0），根据分式的基本性质约去公因式$4(1-x)$，可得$\frac{4}{1-x}$。
【答案】
$\frac{4}{1-x}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，分式化简
【点评】
本题结合生活情境出题，需要先找准数量关系，再综合运用因式分解、分式约分的知识求解，解题时可利用偶次幂的恒等变形减少符号错误，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
要计算平均每平方分米需要的染料量，首先明确核心数量关系：单位面积染料用量=染料总升数÷正方形图案面积。解题按三步进行：①先对正方形面积的多项式因式分解，简化分母；②将染料总量与面积代入数量关系得到分式；③利用分式的基本性质对分式约分，约分时可借助平方的恒等变形简化符号处理，最终得到最简分式即可。
【解析】
第一步，对正方形图案的面积多项式因式分解：
$4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x-1)^2$，
由平方的性质可知$(x-1)^2=(1-x)^2$，因此面积可表示为$4(1-x)^2$平方分米。
第二步，代入数量关系列分式：
单位面积染料用量$=\frac{染料总量}{图案面积}=\frac{16-16x}{4x^2 -8x +4}$
第三步，化简分式：
先将分子变形为$16(1-x)$，代入分式得：
$\frac{16(1-x)}{4(1-x)^2}$，
实际问题中$1-x≠0$（保证面积不为0），根据分式的基本性质约去公因式$4(1-x)$，可得$\frac{4}{1-x}$。
【答案】
$\frac{4}{1-x}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，分式化简
【点评】
本题结合生活情境出题，需要先找准数量关系，再综合运用因式分解、分式约分的知识求解，解题时可利用偶次幂的恒等变形减少符号错误，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 约分：
(1) $\frac{-10ab}{15ac}$
(2) $\frac{1.6x^2 y}{-3.2x^3 y}$
(3) $\frac{a^2 -8a +16}{a^2 -16}$
(4) $\frac{x^n(y^{2n} -1)}{x^{n+1}(y^n +1)}$
1. 约分：
(1) $\frac{-10ab}{15ac}$
(2) $\frac{1.6x^2 y}{-3.2x^3 y}$
(3) $\frac{a^2 -8a +16}{a^2 -16}$
(4) $\frac{x^n(y^{2n} -1)}{x^{n+1}(y^n +1)}$
答案
1. (1)$-\frac{2b}{3c}$ (2)$-\frac{1}{2x}$ (3)$\frac{a-4}{a+4}$ (4)$\frac{y^n -1}{x}$
解析
【分析】
约分的核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路如下：1. 若分子分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者组合为公因式，约去公因式即可，注意符号处理；2. 若分子分母是多项式，先对分子分母分别因式分解，再找公因式约去，最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 分子$-10ab$和分母$15ac$的公因式为$5a$，根据分式基本性质，分子分母同除以$5a$：
$\frac{-10ab}{15ac}=\frac{-10ab÷5a}{15ac÷5a}=-\frac{2b}{3c}$
(2) 分子$1.6x^2y$和分母$-3.2x^3y$的公因式为$1.6x^2y$，分子分母同除以$1.6x^2y$：
$\frac{1.6x^2 y}{-3.2x^3 y}=\frac{1.6x^2y÷1.6x^2y}{-3.2x^3y÷1.6x^2y}=-\frac{1}{2x}$
(3) 先对分子分母因式分解：
分子$a^2-8a+16=(a-4)^2$（完全平方公式），分母$a^2-16=(a+4)(a-4)$（平方差公式），公因式为$(a-4)$，约去公因式：
$\frac{a^2 -8a +16}{a^2 -16}=\frac{(a-4)^2}{(a+4)(a-4)}=\frac{a-4}{a+4}$
(4) 先对分子中$y^{2n}-1$因式分解：$y^{2n}-1=(y^n)^2-1^2=(y^n+1)(y^n-1)$（平方差公式），分母$x^{n+1}=x· x^n$，公因式为$x^n(y^n+1)$，约去公因式：
$\frac{x^n(y^{2n} -1)}{x^{n+1}(y^n +1)}=\frac{x^n(y^n+1)(y^n-1)}{x· x^n(y^n+1)}=\frac{y^n -1}{x}$
【答案】
(1)$-\frac{2b}{3c}$ (2)$-\frac{1}{2x}$ (3)$\frac{a-4}{a+4}$ (4)$\frac{y^n -1}{x}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础训练题，区分了单项式和多项式两类不同形式的分式约分场景，需要注意多项式约分前必须先因式分解，约分时要把公因式找全，最终结果需为最简分式，同时要注意分母不为0的隐含前提。
【难度系数】
0.8
约分的核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路如下：1. 若分子分母是单项式，先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者组合为公因式，约去公因式即可，注意符号处理；2. 若分子分母是多项式，先对分子分母分别因式分解，再找公因式约去，最终结果化为最简分式。
【解析】
(1) 分子$-10ab$和分母$15ac$的公因式为$5a$，根据分式基本性质，分子分母同除以$5a$：
$\frac{-10ab}{15ac}=\frac{-10ab÷5a}{15ac÷5a}=-\frac{2b}{3c}$
(2) 分子$1.6x^2y$和分母$-3.2x^3y$的公因式为$1.6x^2y$，分子分母同除以$1.6x^2y$：
$\frac{1.6x^2 y}{-3.2x^3 y}=\frac{1.6x^2y÷1.6x^2y}{-3.2x^3y÷1.6x^2y}=-\frac{1}{2x}$
(3) 先对分子分母因式分解：
分子$a^2-8a+16=(a-4)^2$（完全平方公式），分母$a^2-16=(a+4)(a-4)$（平方差公式），公因式为$(a-4)$，约去公因式：
$\frac{a^2 -8a +16}{a^2 -16}=\frac{(a-4)^2}{(a+4)(a-4)}=\frac{a-4}{a+4}$
(4) 先对分子中$y^{2n}-1$因式分解：$y^{2n}-1=(y^n)^2-1^2=(y^n+1)(y^n-1)$（平方差公式），分母$x^{n+1}=x· x^n$，公因式为$x^n(y^n+1)$，约去公因式：
$\frac{x^n(y^{2n} -1)}{x^{n+1}(y^n +1)}=\frac{x^n(y^n+1)(y^n-1)}{x· x^n(y^n+1)}=\frac{y^n -1}{x}$
【答案】
(1)$-\frac{2b}{3c}$ (2)$-\frac{1}{2x}$ (3)$\frac{a-4}{a+4}$ (4)$\frac{y^n -1}{x}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础训练题，区分了单项式和多项式两类不同形式的分式约分场景，需要注意多项式约分前必须先因式分解，约分时要把公因式找全，最终结果需为最简分式，同时要注意分母不为0的隐含前提。
【难度系数】
0.8
