10.若A,B,C三点在同一直线上，且线段AB=4 cm,BC=2 cm,则A,C两点之间的距离为()。

A.2 cm
B.6 cm
C.2 cm或6 cm
D.无法确定

10.C

【分析】
这道题考查同一直线上三点间线段长度的计算，由于题目仅说明A、B、C三点共线，未明确点C的具体位置，因此需要分两种情况讨论：第一种是点C在线段AB上，第二种是点C在线段AB的延长线上，分别计算两种情形下AC的长度即可得到最终结果。
【解析】
根据点C的位置分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时，A、C两点的距离为AB与BC的差，即：
$AC = AB - BC = 4\mathrm{cm} - 2\mathrm{cm} = 2\mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时，A、C两点的距离为AB与BC的和，即：
$AC = AB + BC = 4\mathrm{cm} + 2\mathrm{cm} = 6\mathrm{cm}$
因此A、C两点之间的距离为2cm或6cm，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差计算；两点间的距离；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是仅考虑其中一种位置情况导致漏解，解决同一直线上的线段长度问题时，要先明确不确定点的所有可能位置，再分类计算，保证考虑问题的全面性。
【难度系数】
0.7

11.已知点M在线段AB上，在①$AB=2AM$，②$BM=\frac{1}{2}AB$，③$AM=BM$，④$AM+BM=AB$四个式子中，能说明M是线段AB的中点的式子有()。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

11.C

【分析】
解题时首先要明确线段中点的定义：在线段上，将线段分成两条长度相等的线段的点叫做这条线段的中点。本题已经给出点M在线段AB上，因此只需逐个判断4个式子能否推出AM=BM（或AB=2AM=2BM）即可。思考时要注意区分仅能表示点在线段上的恒成立式子，和能判定中点的特殊式子。
【解析】
已知点M在线段AB上，因此AB=AM+BM恒成立，我们逐个分析式子：
1. 对于①$AB=2AM$：结合$AB=AM+BM$，可得$2AM=AM+BM$，化简得$AM=BM$，符合中点定义，可说明M是AB中点；
2. 对于②$BM=\frac{1}{2}AB$：结合$AB=AM+BM$，可得$BM=\frac{1}{2}(AM+BM)$，两边同乘2得$2BM=AM+BM$，化简得$AM=BM$，符合中点定义，可说明M是AB中点；
3. 对于③$AM=BM$：直接符合线段中点的定义，可说明M是AB中点；
4. 对于④$AM+BM=AB$：只要点M在线段AB上，该式子就恒成立，无法推出$AM=BM$，不能说明M是AB中点。
综上，能说明M是线段AB中点的式子有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题核心是对线段中点判定条件的理解，需要注意只有当点在线段上且分线段为两条等长线段时，才是线段的中点，不要把线段和的恒成立式子错当成中点判定条件。
【难度系数】
0.7

12.已知A,B,C三点在同一条直线上,点M,N分别为线段AB,BC的中点,且AB=50,BC=20,求MN的长。

12.解:因为点M,N分别为AB,BC的中点，
所以$BM=\frac{1}{2}AB=25,BN=\frac{1}{2}BC=10$。
如图①,$MN=BM+BN=25+10=35$；
如图②,$MN=BM-BN=25-10=15$。
综上,MN的长为35或15。

【分析】
本题未明确点C的位置，因此需要分两种情况讨论解题：首先利用线段中点的性质分别求出BM、BN的长度，再结合两种位置下的线段和差关系计算MN的长度，避免漏解。
【解析】
因为点M、N分别为线段AB、BC的中点，根据线段中点的定义：
$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×50=25$，$BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×20=10$。
分两种情况计算：
1. 如图①，点C在点B右侧时，$MN=BM+BN=25+10=35$；
2. 如图②，点C在A、B之间时，$MN=BM-BN=25-10=15$。
综上，MN的长为35或15。
【答案】
MN的长为35或15。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查线段中点性质的应用，易错点是忽略点C的位置存在两种可能性，遇到三点共线且未明确点的顺序的题型时，要注意分类讨论，全面考虑所有位置情况。
【难度系数】
0.65

13.【数学应用】已知平面上四点A,B,C,D(每三点都不在一条直线上)。
(1)经过这四点最多能确定条直线。
(2)如图,现用这四点表示公园里的四个地方,如果点B,C在公园里湖对岸两处,A,D在湖面上,要从B到C筑桥,从节省材料的角度考虑,应选择图中两条路中的哪一条?如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择哪一条?为什么?

13.解:(1)6
(2)从节省材料的角度考虑,应选择题图中路线②;如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光,应选择题图中路线①。
因为两点之间线段最短,所以路线②比路线①短,可以节省材料;而路线①较长,可以在桥上较长时间观赏湖面风光。(答案合理即可)

【分析】
(1) 解题思路：根据“两点确定一条直线”的性质，题目明确四点中每三点都不在同一条直线上，要计算最多能确定的直线数，只需统计所有两点组合的情况，注意不要重复计数即可。
(2) 解题思路：解决路径选择问题需要用到线段的核心性质：两点之间，线段最短。节省材料对应路径长度要尽可能短，因此优先选更短的路径；想要长时间观赏风光则需要路径长度更长，对应另一条路径，结合性质说明原因即可。
【解析】
(1) 因为两点确定一条直线，且已知四点中任意三点不共线，我们可枚举所有的直线：直线AB、直线AC、直线AD、直线BC、直线BD、直线CD，总计6条。
(2) 观察两条路线：路线②是直接连接B、C两点的线段，根据“两点之间，线段最短”的性质，路线②的长度更短，因此从节省材料的角度考虑，选择路线②；路线①是B→A→D→C的折线，长度比路线②更长，行走时花费的时间更久，所以想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线①。
【答案】
(1) $\boxed{6}$
(2) 从节省材料的角度考虑，应选择路线②；想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线①。
原因：两点之间线段最短，路线②比路线①短，可以节省材料；路线①较长，行走时可以在桥上较长时间观赏湖面风光。
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活场景考查直线和线段的基础性质，属于基础应用题，解题的关键是熟记相关性质，结合实际需求选择对应路径，注意直线计数时避免重复、遗漏。
【难度系数】
0.8

14.【综合与实践】如图，A，B，C是一条公路上的三个村庄，A，B间的路程为100 km，A，C间的路程为40 km。现计划在A，B之间建一个车站P，设P，C之间的路程为x km。
(1)用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和。
(2)若路程之和为102 km，则车站应建在何处？
(3)若要使车站到三个村庄的路程总和最小，则车站应建在何处？路程总和的最小值是多少？

14.解:(1)路程之和为 $PA+PB+PC=AB+PC=(100+x)\mathrm{km}$。
(2)因为 $100+x=102$,所以 $x=2$,所以车站应建在 C 左侧或右侧 2 km 处。
(3)当 $x=0$ 时,$x+100=100$,所以要使车站到三个村庄的路程总和最小,车站应建在 C 处,且路程总和的最小值为100 km。

【分析】
(1) 首先明确点P位于A、B之间，因此车站到A、B的路程和$PA+PB$恰好等于A、B之间的总路程100km，再加上车站到C的路程$PC=x\ \mathrm{km}$，将两部分相加即可得到路程之和的代数式。
(2) 第二问将路程和102km代入第一问得到的代数式，解一元一次方程求出x的值，即可确定车站的位置。
(3) 第三问要使路程总和最小，由于100是定值，只需让x取最小值即可，根据路程的非负性，x最小为0，此时对应车站位置为C点，代入即可得到最小路程和。
【解析】
(1)
∵点P在A、B之间，
∴$PA + PB = AB = 100\ \mathrm{km}$，又$PC = x\ \mathrm{km}$，
∴车站到三个村庄的路程之和为$PA + PB + PC = 100 + x = (100+x)\ \mathrm{km}$。
(2) 由题意得$100 + x = 102$，
解得$x = 2$，
即车站应建在C村庄左侧或右侧2km处。
(3)
∵路程总和为$100+x$，且x表示P、C之间的路程，故$x≥0$，
∴当$x=0$时，路程总和取得最小值，最小值为$100+0=100\ \mathrm{km}$，此时P与C重合，即车站建在C村庄处。
【答案】
(1) $\boxed{(100+x)\mathrm{km}}$
(2) 车站建在C左侧或右侧2 km处
(3) 车站建在C处，路程总和最小值为$\boxed{100\mathrm{km}}$
【知识点】
线段和差计算，一元一次方程应用，最值分析
【点评】
本题结合生活中的建站问题，考查线段和差的实际应用，解题的核心是发现$PA+PB$为定值，简化了求和过程，同时结合非负性分析最值，难度不大，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8