角的平分线上的点到角两边的距离.

相等

【分析】
这道题考查角平分线的核心性质，解题时首先回忆角平分线性质的相关内容：我们在学习角平分线时，既可以通过尺规作图的操作直观感知结论，也可以通过全等三角形的证明推导结论，明确性质中“到角两边的距离”指的是点到角两边的垂线段长度，结合识记的性质内容即可直接作答。
【解析】
根据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
我们也可以通过全等三角形推导验证：在角平分线上任取一点，向角的两边作垂线段，可得到两个直角三角形，这两个三角形有公共斜边（角平分线上的点到顶点的线段），有一组相等的锐角（角平分线分得的两个角相等），还有一组直角相等，根据AAS全等判定可证两个三角形全等，因此两条垂线段（即点到两边的距离）相等。
【答案】
相等
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考查对角平分线基本性质的识记与理解，是运用角平分线知识解决更复杂的几何证明、计算问题的基础，需熟练掌握该性质的内容及适用条件。
【难度系数】
0.9

例1 如图，射线OC平分$∠ AOB$，点P在OC上，且$PM⊥ OA$于点M，$PN⊥ OB$于点N.当$PM=2\ \mathrm{cm}$时，PN的长是().


A.1 cm
B.2 cm
C.4 cm
D.无法确定

B

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。先判断题干条件是否满足性质的应用要求：①OC平分∠AOB，说明OC是角平分线，点P在OC上；②PM⊥OA、PN⊥OB，说明PM、PN分别是点P到角两边OA、OB的垂线段，符合性质的使用条件，因此可直接得出PM和PN长度相等，代入已知PM的长度即可求出PN的长。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴根据角平分线的性质，可得PN = PM，
又
∵PM = 2 cm，
∴PN = 2 cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是准确识别角平分线性质的适用条件，牢记性质内容即可快速得出答案，注意使用性质时要同时满足“点在角平分线上”和“存在点到角两边的垂线段”两个前提。
【难度系数】
0.9

例2 如图，在$△ ABC$中，请用无刻度直尺和圆规作$∠ ABC$的平分线，与边AC交于点D.（保留作图痕迹，不要求写作法）

解：
1. 以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；
3. 作射线BP，交AC于点D，则BD即为所求作的∠ABC的平分线，完整保留上述所有圆弧作图痕迹。

【分析】
本题是基础的尺规作图题，要求作∠ABC的平分线，可依据角平分线尺规作图的原理思考：我们可以通过构造全等三角形，利用SSS全等判定得到对应角相等，从而得到角平分线。具体思路如下：首先在∠ABC的两条边BA、BC上截取出到点B距离相等的两个点；再以这两个点为圆心作弧，在角内部找到同时到这两个点距离相等的交点，该点与点B的连线即可平分∠ABC；最后将该连线延长交AC于点D即可，作图时需注意保留所有操作的痕迹。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N；
2. 分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；
3. 作射线BP，交AC于点D，BD即为所求的角平分线，作图时需完整保留所有圆弧的作图痕迹。
【答案】
如图所示，BD即为所求作的∠ABC的平分线，需完整保留所有作图痕迹。
【知识点】
1. 角平分线的尺规作图
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础尺规作图题，主要考查角平分线的标准作图方法，解题时需严格按照规范步骤操作，保留完整的作图痕迹，避免因痕迹缺失失分。
【难度系数】
0.9

1. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ B = 90°$，AD平分$∠ BAC$，交BC于点D，$DE⊥ AC$于点E。若$BD=6$，则DE的长为().

A.4
B.6
C.8
D.10

第1题图 第2题图

B

【分析】
解题时首先梳理已知条件：①AD平分∠BAC，点D在角平分线上；②∠B=90°，即BD是点D到AB的距离；③DE⊥AC，即DE是点D到AC的距离。此时联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可直接推出BD和DE长度相等，代入BD的数值即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠B=90°（即DB⊥AB），DE⊥AC，
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴DE=BD，
又
∵BD=6，
∴DE=6。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题关键是准确识别角平分线上的点到角两边的垂线段，熟记性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$△ ABC$中，$CD$是$AB$边上的高线，$BE$平分$∠ ABC$，交$CD$于点$E$，$BC=7$，$DE=2$，则$△ BCE$的面积是（）.

A.10
B.7
C.5
D.4

B

【分析】
解题时先抓住题目中的关键条件：BE是∠ABC的角平分线，E在BE上，CD是AB边上的高线，即E到AB的距离为DE=2。根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出E到BC边的距离等于DE的长度，这个长度就是△BCE中BC边上的高，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点E作EF⊥BC，垂足为F。
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴根据角平分线的性质，得EF=DE=2。
已知BC=7，根据三角形面积公式：
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2} × BC × EF = \frac{1}{2} ×7×2=7$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题核心是利用角平分线的性质得到三角形BC边上的高，不需要复杂的推理，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7

3.（教材改编）如图，$CD\bot AB$于点D，$BE\bot AC$于点E，BE，CD相交于点O。若$∠ OAB=∠ OAC$，求证：$OB=OC$。

证明：$\because ∠OAB=∠OAC$，$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，$\therefore OD=OE$，$∠ODB=∠OEC=90°$. 在$△ ODB$和$△ OEC$中，$\begin{cases}∠ODB=∠OEC,\\OD=OE,\\∠DOB=∠EOC,\end{cases}$$\therefore △ ODB≌△ OEC(\mathrm{ASA}). \therefore OB=OC.$

【分析】
要证明$OB=OC$，可通过证明$OB$和$OC$所在的$△ ODB$与$△ OEC$全等来实现。首先根据已知$∠ OAB=∠ OAC$，$CD\bot AB$，$BE\bot AC$，结合角平分线的性质，可得到角平分线上的点$O$到角两边的距离相等，即$OD=OE$；再结合垂直得到的直角相等、对顶角相等，即可用ASA判定两个三角形全等，最终由全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：$\because ∠OAB=∠OAC$，$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，
$\therefore OD=OE$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ODB=∠OEC=90°$.
在$△ ODB$和$△ OEC$中，
$\begin{cases}∠ODB=∠OEC,\\OD=OE,\\∠DOB=∠EOC,\end{cases}$
$\therefore △ ODB≌△ OEC(\mathrm{ASA}).$
$\therefore OB=OC.$
【答案】
$OB=OC$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，主要考查角平分线性质与全等三角形相关知识的综合应用，解题关键是先利用角平分线性质得到相等的线段，再结合已知条件凑齐全等三角形的判定条件，能够帮助学生巩固基础的几何证明逻辑。
【难度系数】
0.7