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10.如图,两只蚂蚁分别位于一个正方形的两个顶点A,B上,它们分别沿AE,BF的路线向BC和CD爬行,如果AE和BF互相垂直,那么它们爬行的距离相等吗?说明理由。
答案
10.相等。提示：利用$AE⊥ BF$和$∠ ABC=90°$,可以得出$∠ EAB=∠ FBC$,所以$△ EAB≌△ FBC(\mathrm{ASA})$。
解析
【分析】
要判断AE和BF是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用正方形的性质得到相等的边和直角，再结合AE与BF垂直的条件推导相等的角，最后用全等三角形判定定理证明三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【解析】
它们爬行的距离相等，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ABC=∠C=90°$，
∵ $AE⊥BF$，
∴ $∠AOB=90°$，可得$∠BAE + ∠ABF = 90°$，
又
∵ $∠CBF + ∠ABF = ∠ABC=90°$，
∴ $∠BAE=∠CBF$（同角的余角相等）。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CBF \\AB=BC \\∠ABE=∠BCF=90°\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=BF$，即两只蚂蚁爬行的距离相等。
【答案】
相等
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定，余角的性质
【点评】
本题是几何中证明线段相等的典型题型，解题关键是结合垂直关系和正方形性质推导等角，通过全等三角形对应边相等得到结论，能够锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断AE和BF是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用正方形的性质得到相等的边和直角，再结合AE与BF垂直的条件推导相等的角，最后用全等三角形判定定理证明三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【解析】
它们爬行的距离相等，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ABC=∠C=90°$，
∵ $AE⊥BF$，
∴ $∠AOB=90°$，可得$∠BAE + ∠ABF = 90°$，
又
∵ $∠CBF + ∠ABF = ∠ABC=90°$，
∴ $∠BAE=∠CBF$（同角的余角相等）。
在$△ ABE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CBF \\AB=BC \\∠ABE=∠BCF=90°\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=BF$，即两只蚂蚁爬行的距离相等。
【答案】
相等
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定，余角的性质
【点评】
本题是几何中证明线段相等的典型题型，解题关键是结合垂直关系和正方形性质推导等角，通过全等三角形对应边相等得到结论，能够锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11.如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,其中∠ABC=∠DEF=90°,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分的面积为
48
。答案
11.48。提示：阴影部分的面积等于梯形AOEB的面积。
解析
【分析】
首先回忆平移的性质：平移前后的图形全等，对应边相等，面积也相等。本题中两个直角三角形全等，△DEF是△ABC平移得到的，因此二者面积相等。观察图形可知两个三角形有公共部分△OEC，两个三角形同时减去公共部分的面积，剩下的面积仍然相等，即阴影部分的面积等于左侧梯形ABEO的面积，这样就把求不规则阴影面积的问题转化为求规则梯形面积的问题，接下来找到梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴△ABC≌△DEF，平移距离BE=6，DE=AB=10，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，
∴$S_{△ ABC}-S_{△ OEC}=S_{△ DEF}-S_{△ OEC}$，即$S_{阴影}=S_{梯形ABEO}$。
已知DO=4，
∴$OE=DE-DO=10-4=6$，
梯形ABEO的上底OE=6，下底AB=10，高BE=6，
根据梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，
代入得：$S_{梯形ABEO}=\frac{(6+10)×6}{2}=48$，
因此阴影部分面积为48。
【答案】
48
【知识点】
平移的性质，全等三角形的性质，梯形面积计算
【点评】
本题运用转化思想，将难以直接计算的阴影部分面积转化为易求解的梯形面积，解题的关键是利用平移前后图形面积相等，减去公共部分后剩余面积也相等的关系，找到面积等价的规则图形。
【难度系数】
0.7
首先回忆平移的性质：平移前后的图形全等，对应边相等，面积也相等。本题中两个直角三角形全等，△DEF是△ABC平移得到的，因此二者面积相等。观察图形可知两个三角形有公共部分△OEC，两个三角形同时减去公共部分的面积，剩下的面积仍然相等，即阴影部分的面积等于左侧梯形ABEO的面积，这样就把求不规则阴影面积的问题转化为求规则梯形面积的问题，接下来找到梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴△ABC≌△DEF，平移距离BE=6，DE=AB=10，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$，
∴$S_{△ ABC}-S_{△ OEC}=S_{△ DEF}-S_{△ OEC}$，即$S_{阴影}=S_{梯形ABEO}$。
已知DO=4，
∴$OE=DE-DO=10-4=6$，
梯形ABEO的上底OE=6，下底AB=10，高BE=6，
根据梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$，
代入得：$S_{梯形ABEO}=\frac{(6+10)×6}{2}=48$，
因此阴影部分面积为48。
【答案】
48
【知识点】
平移的性质，全等三角形的性质，梯形面积计算
【点评】
本题运用转化思想，将难以直接计算的阴影部分面积转化为易求解的梯形面积，解题的关键是利用平移前后图形面积相等，减去公共部分后剩余面积也相等的关系，找到面积等价的规则图形。
【难度系数】
0.7
12.已知△ABC的重心是点O，连接AO并延长交BC于点D。若BC=10 cm，则CD=
5
cm。答案
12.5
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的相关概念：三角形的重心是三条中线的交点，因此过重心连接顶点的线段延长后与对边的交点就是对边的中点，再根据中点平分线段的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的重心，AD过点O且交BC于点D
∴AD是△ABC中BC边上的中线（三角形重心是三条中线的交点）
∴点D是BC的中点
∴$CD=\frac{1}{2}BC$
又
∵$BC=10\mathrm{cm}$
∴$CD=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
三角形重心的定义，线段中点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要明确三角形重心与中线的对应关系，掌握中线平分对边的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形重心的相关概念：三角形的重心是三条中线的交点，因此过重心连接顶点的线段延长后与对边的交点就是对边的中点，再根据中点平分线段的性质即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的重心，AD过点O且交BC于点D
∴AD是△ABC中BC边上的中线（三角形重心是三条中线的交点）
∴点D是BC的中点
∴$CD=\frac{1}{2}BC$
又
∵$BC=10\mathrm{cm}$
∴$CD=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
三角形重心的定义，线段中点的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要明确三角形重心与中线的对应关系，掌握中线平分对边的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
