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1. 填一填。
(1) 下图中三角形(涂色部分)的面积和正方形面积的比是 $4:9$。正方形 $ABCD$ 的边长是 $9$ 厘米,三角形 $ADF$ 的 $DF$ 边的长是(
(2) 把梯形 $ABCD$ 分割成一个平行四边形和一个三角形(如图)。已知梯形 $ABCD$ 的面积是 $35$ 平方厘米,$BE:EC = 2:3$,三角形 $CDE$ 的面积是(
(1) 下图中三角形(涂色部分)的面积和正方形面积的比是 $4:9$。正方形 $ABCD$ 的边长是 $9$ 厘米,三角形 $ADF$ 的 $DF$ 边的长是(
8
)厘米。(2) 把梯形 $ABCD$ 分割成一个平行四边形和一个三角形(如图)。已知梯形 $ABCD$ 的面积是 $35$ 平方厘米,$BE:EC = 2:3$,三角形 $CDE$ 的面积是(
15
)平方厘米。答案
1. (1)8 (2)15
解析
(1) 正方形面积：$9 × 9 = 81$（平方厘米）
三角形面积：$81 × \frac{4}{9} = 36$（平方厘米）
三角形面积公式：$\frac{1}{2} × AD × DF = 36$，$AD = 9$厘米
$\frac{1}{2} × 9 × DF = 36$，解得$DF = 8$（厘米）
(2) 设$BE = 2x$，$EC = 3x$，梯形高为$h$。
平行四边形$ABED$面积：$2x · h$，三角形$CDE$面积：$\frac{1}{2} × 3x · h = \frac{3}{2}xh$
梯形面积：$2xh + \frac{3}{2}xh = \frac{7}{2}xh = 35$，则$xh = 10$
三角形$CDE$面积：$\frac{3}{2} × 10 = 15$（平方厘米）
(1)8
(2)15
三角形面积：$81 × \frac{4}{9} = 36$（平方厘米）
三角形面积公式：$\frac{1}{2} × AD × DF = 36$，$AD = 9$厘米
$\frac{1}{2} × 9 × DF = 36$，解得$DF = 8$（厘米）
(2) 设$BE = 2x$，$EC = 3x$，梯形高为$h$。
平行四边形$ABED$面积：$2x · h$，三角形$CDE$面积：$\frac{1}{2} × 3x · h = \frac{3}{2}xh$
梯形面积：$2xh + \frac{3}{2}xh = \frac{7}{2}xh = 35$，则$xh = 10$
三角形$CDE$面积：$\frac{3}{2} × 10 = 15$（平方厘米）
(1)8
(2)15
2. 如图,将一个大的平行四边形分成四个小平行四边形,那么涂色部分的面积是(
6
)平方厘米。答案
2. 6
提示:由题图可知,第一行的两个平行四边形等高,所以第一行左边的平行四边形的底边:第一行右边的平行四边形的底边=第一行左边的平行四边形的面积:第一行右边的平行四边形的面积$=2:8=1:4$。同理,第二行左边的平行四边形和右边的平行四边形的面积之比也为底边之比,即$1:4$。已知第二行左边的平行四边形的面积是3平方厘米,所以第二行右边的平行四边形面积为$3×4=12$(平方厘米)。涂色部分为该平行四边形的一半,面积为$12÷2=6$(平方厘米)。
提示:由题图可知,第一行的两个平行四边形等高,所以第一行左边的平行四边形的底边:第一行右边的平行四边形的底边=第一行左边的平行四边形的面积:第一行右边的平行四边形的面积$=2:8=1:4$。同理,第二行左边的平行四边形和右边的平行四边形的面积之比也为底边之比,即$1:4$。已知第二行左边的平行四边形的面积是3平方厘米,所以第二行右边的平行四边形面积为$3×4=12$(平方厘米)。涂色部分为该平行四边形的一半,面积为$12÷2=6$(平方厘米)。
3. 如图,将一个大长方形分成了 $9$ 个小长方形,其中位于角上的 $3$ 个小长方形的面积分别为 $9$ 平方厘米、$15$ 平方厘米和 $12$ 平方厘米,则第 $4$ 个角上的小长方形的面积等于(
20
)平方厘米。答案
3. 20
提示:将上述题目的结论迁移到这个结论,根据长方形的等长或等宽性质,可以得出这四个长方形的面积存在比例关系,所以左上的长方形的面积:左下的长方形的面积=右上的长方形的面积:右下的长方形的面积,即可解得第4个角上的小长方形的面积等于20平方厘米。
提示:将上述题目的结论迁移到这个结论,根据长方形的等长或等宽性质,可以得出这四个长方形的面积存在比例关系,所以左上的长方形的面积:左下的长方形的面积=右上的长方形的面积:右下的长方形的面积,即可解得第4个角上的小长方形的面积等于20平方厘米。
4. 一个分数,分子与分母的和是 $67$,如果分数的分子加上 $4$,分母加上 $9$,得到的新分数约分后是 $\frac{3}{5}$,那么原来的分数是(
$\dfrac{26}{41}$
)。答案
4. $\dfrac{26}{41}$
解析
设原来分数的分子为$x$，则分母为$67 - x$。
分子加上$4$后为$x + 4$，分母加上$9$后为$67 - x + 9 = 76 - x$。
由题意可得$\dfrac{x + 4}{76 - x} = \dfrac{3}{5}$，
交叉相乘得$5(x + 4) = 3(76 - x)$，
$5x + 20 = 228 - 3x$，
$5x + 3x = 228 - 20$，
$8x = 208$，
$x = 26$，
分母为$67 - 26 = 41$，
原来的分数是$\dfrac{26}{41}$。
分子加上$4$后为$x + 4$，分母加上$9$后为$67 - x + 9 = 76 - x$。
由题意可得$\dfrac{x + 4}{76 - x} = \dfrac{3}{5}$，
交叉相乘得$5(x + 4) = 3(76 - x)$，
$5x + 20 = 228 - 3x$，
$5x + 3x = 228 - 20$，
$8x = 208$，
$x = 26$，
分母为$67 - 26 = 41$，
原来的分数是$\dfrac{26}{41}$。
5. 学校组织了兴趣小组。文艺组的人数比科技组的多 $31$ 人,若从科技组调 $7$ 人到文艺组,则科技组与文艺组的人数比是 $4:7$。科技组和文艺组原来有多少人?
答案
5. 解:设原来科技组有$a$人,文艺组的人数为$(a + 31)$人。
$(a - 7):(a + 31 + 7)=4:7$ $a = 67$
$67 + 31 = 98$(人)
答:文艺组原来有98人,科技组原来有67人。
$(a - 7):(a + 31 + 7)=4:7$ $a = 67$
$67 + 31 = 98$(人)
答:文艺组原来有98人,科技组原来有67人。
6. 物体平移的速度常用单位时间移动的距离来表示,物体旋转的速度常用单位时间转动的圈数或角度来表示。下面是一个传送系统,由主动轮、从动轮和传送带组成,可以将货物从 $B$ 传送到 $A$,主动轮每秒转 $1$ 圈。(提示:大齿轮齿数×大齿轮圈数 = 小齿轮齿数×小齿轮圈数)
这个系统把货物从 $B$ 传送到 $A$,大约要多少秒?($π$ 取 $3$)
这个系统把货物从 $B$ 传送到 $A$,大约要多少秒?($π$ 取 $3$)
答案
6. $12:24 = 1:2$ $18÷(3×0.6÷2)=20$(秒)
答:大约要20秒。
答:大约要20秒。
7. 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是:大客车 $30$ 元,小客车 $15$ 元,小轿车 $10$ 元。某日通过该收费站的大客车和小客车的数量之比是 $5:6$,小客车与小轿车的数量之比是 $4:11$,收取小轿车的通行费比大客车多 $210$ 元。求这天三种车辆通过的数量。
答案
7. 大客车:小客车$=5:6$ 小客车:小轿车$=4:11$ 大客车:小客车:小轿车$=10:12:33$
大客车钱:小客车钱:小轿车钱$=(10×30):(12×15):(33×10)=10:6:11$
$210÷(11 - 10)=210$(元) $10×33 - 30×10 = 30$(元)
$210÷30 = 7$(组) $10×7 = 70$(辆) $12×7 = 84$(辆) $33×7 = 231$(辆)
答:这天大客车通过70辆,小客车通过84辆,小轿车通过231辆。
提示:大客车:小客车:小轿车$=10:12:33$。以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组,因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多$10×33 - 30×10 = 30$(元),所以这天通过的车辆共有$210÷30 = 7$(组),所以这天通过大客车$10×7 = 70$(辆),小客车$12×7 = 84$(辆),小轿车$33×7 = 231$(辆)。
大客车钱:小客车钱:小轿车钱$=(10×30):(12×15):(33×10)=10:6:11$
$210÷(11 - 10)=210$(元) $10×33 - 30×10 = 30$(元)
$210÷30 = 7$(组) $10×7 = 70$(辆) $12×7 = 84$(辆) $33×7 = 231$(辆)
答:这天大客车通过70辆,小客车通过84辆,小轿车通过231辆。
提示:大客车:小客车:小轿车$=10:12:33$。以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为一组,因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多$10×33 - 30×10 = 30$(元),所以这天通过的车辆共有$210÷30 = 7$(组),所以这天通过大客车$10×7 = 70$(辆),小客车$12×7 = 84$(辆),小轿车$33×7 = 231$(辆)。
